高等数学定积分及其计算教学ppt
《高等数学定积分及其计算教学ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等数学定积分及其计算教学ppt(96页珍藏版)》请在装配图网上搜索。
1、,第五章 定积分及其应用,第一节 定积分及其计算,第二节 定积分在几何上的应用,第三节 定积分在物理上的应用,第一节 定积分及其计算,一.定积分的概念与性质,二.微积分基本公式,本节主要内容:,三.定积分的积分法,四.反常积分,一.积分的概念与性质,(一)定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.,观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 .,观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.,播幻灯片 75放,解决步骤:,1) 分割,
2、2) 取近似,3) 求和,4) 取极限,2. 变速直线运动的路程,解决步骤:,1) 分割,2) 取近似,3) 求和,4) 取极限,解决步骤:,1) 分割,将它分成,在每个小段上物体经,2) 近似,得,n 个小段,过的路程为,2. 变速直线运动的路程,3) 求和,4) 取极限,上述两个问题的共性:,(二) 定积分的概念,定义5.1.1 设函数 f(x)在区间a,b上有定义, 分割: 任取分点 把区间 a,b 分割成 n个小区间 xi-1, xi , 第i个小区间的长度为 ,记 近似: 在每个小区间xi-1, xi上任取一点 i (i=1, 2 n) 求和:作和式,取极限:当0时, 若极限 存在(
3、这 个极限值与区间 a, b 的分法及点 i 的取法无关 ) , 则称函数 f(x) 在a, b 上可积, 并称这个极限为函数 f(x) 在区间a,b上的定积分,记作 , 即,说明:,1. 闭区间上的连续函数是可积的; 闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的,2. 定积分是一个确定的常数,它取决于被积函数f(x)和积分区间a,b,而与积分变量使用的字母的选取无关,即有,3. 在定积分的定义中, 有ab , 为了今后计算方便,我们规定:,(三) 定积分的几何意义,: 介于曲线f(x) , x轴及两条直线x=a,x=b之 间的各部分面积的代数和,设A为曲边梯形面积, 则,各部分面积的代数和,
4、例1 利用定积分的几何意义, 证明,梯形是单位圆位于x轴上方的半圆.,因为单位圆的面积,所以半圆的面积为/2 .,思考,(四) 定积分的性质,性质1,性质2,性质3 (积分区间的可加性): 对任意的点c,有,性质4 如果被积函数 f(x)=C ( C为常数 ),则,性质5 (积分的保序性) : 如果在区间a,b上, 恒有 f(x)g(x) , 则,例2 比较定积分 与 的大小 .,性质6 (积分估值定理) 如果函数 f(x)在区间 a,b上有最大值 M 和最小值 m , 则,M (ba),y=f (x),f (x) dx,m(ba),则 f(x) 在-1,1上的最小值为m=1/e , 最大值为
5、M=1,由定积分的估值性质,,例3 估计定积分 的值 .,设,比较 x=0 及区间端点 x=1 的函数值,有,性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点x ,使下式成立:,exit,性质8 (对称区间上奇偶函数的积分性质) 设f(x)在对称区间-a, a上连续, 如果f(x)为奇函数,则 ; 如果f(x)为偶函数,则 .,例如,exit,二. 微积分基本公式,在变速直线运动中, 已知位置函数 s(t) 与,速度函数,之间有关系:,考虑时间间隔,实际问题,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,这种积分与原函数的关系在一定条件下
6、具有普遍性.,(一)积分上限函数,定理5. 1. 1 如果函数 f(x) 在区间 a, b上连续, 则变上限积分函数 在a, b上可导,且它的导数是 f(x) , 即,例4 计算,例5 计算,例6 计算,说明:,1. 解决了原函数的存在性问题: a,b 上的连续函数一定存在原函数,且(x)是f(x) 的一个原函数这一基本结论.,为寻找定积分的计算方法提供了理论依据,(二) 微积分基本公式(牛顿莱布尼兹公式),定理5. 1. 2 设 f (x) 在 a, b 上连续, 且 F(x)是 f (x) 原函数, 则,例7 计算,例8 计算,例9 计算,例10 设 求,例11 计算,练一练,三.定积分的
7、积分法,(一) 定积分的换元积分法,定理5. 1. 2 设函数 f (x)在区间 a,b上连续, 并且 满足下列条件: (1) x = (t), 其值域含于a, b, 且 a=(), b=() ; (2) (t) 在区间, 或, 上有连续的导数 (t) ; 则有,说明:,例12 计算,法一 设t=cosx, 则dt = - sinxdx,法二,例13 计算,例14 计算,设 , 则x= t2-1, dx=2tdt,例15 计算,例16 计算,例17 计算,原式,例18 设f(x)在区间-a, a上连续, 证明: (1)如果f(x)为奇函数, 则 ; (2)如果f(x)为偶函数, 则,例19 设
8、函数f(x)在0, 1上连续, 证明:,设,例20 求下列定积分:,(1),例21 求定积分:,奇函数,原式,偶函数,单位圆的面积,练一练,(二) 分部积分法,定理5.1.4 设函数u=u(x)和v=v(x)在区间a,b上有 连续的导数, 则有:,例22 求,例23 求,例24 求,令 则,例25 求,例26 求,例 27 证明,解得In 的递推公式, , 继续使用递推公式知道 I1 和 I0 , 得,例28 求,例29 求,定义5. 1. 2 设函数 f (x) 在区间 a,+) 上连续, 取ba,若极限 存在, 则称此极限为函 数 f (x)在a,+)上的广义积分, 记作 , 即 此时也称
9、广义积分 收敛; 如果上述极限 不存在, 就称 发散.,类似可定义:,只要有一个极限不存在 , 就称,发散 .,引入记号,则有类似 N L 公式的计算表达式 :,例30 求,例31 讨论 的敛散性.,例32 求,例33 求,(二) 无界函数的广义积分瑕积分,定义5. 1. 3 设函数 f (x) 在区间(a, b上连续且 . 取 Aa, 如果极限 存在, 则称此极限为函数 f (x) 在 (a, b 上的广义积分, 记作 即 此时也称广义积分 收敛, 否则就称广义积分 发散. A 称为瑕点 .,类似可定义:,(1)x=b 为 f(x) 的无穷间断点时:,(2)无穷间断点x=c位于区间(a, b
10、) 内:,若瑕点,的计算表达式 :,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点, 则,若 a 为瑕点, 则,若 a , b 都为瑕点, 则,则,当上式右边两个广义积分都收敛, 称广义积分收敛.,例34 求,所以广义积分发散 .,例35 讨论 的敛散性 .,内容小结:,1.定积分的概念与性质,2.微积分基本公式,8个性质,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,3,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,13,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,23,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯
11、形面积的关系,33,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,43,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,53,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,63,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,73,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,83,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,93,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,103,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,113,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,123,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,133,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,143,
- 温馨提示:
1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
2: 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
3.本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 装配图网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。