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1、,第五章 定积分及其应用,第一节 定积分及其计算,第二节 定积分在几何上的应用,第三节 定积分在物理上的应用,第一节 定积分及其计算,一.定积分的概念与性质,二.微积分基本公式,本节主要内容:,三.定积分的积分法,四.反常积分,一.积分的概念与性质,(一)定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.,观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 .,观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.,播幻灯片 75放,解决步骤:,1) 分割,
2、2) 取近似,3) 求和,4) 取极限,2. 变速直线运动的路程,解决步骤:,1) 分割,2) 取近似,3) 求和,4) 取极限,解决步骤:,1) 分割,将它分成,在每个小段上物体经,2) 近似,得,n 个小段,过的路程为,2. 变速直线运动的路程,3) 求和,4) 取极限,上述两个问题的共性:,(二) 定积分的概念,定义5.1.1 设函数 f(x)在区间a,b上有定义, 分割: 任取分点 把区间 a,b 分割成 n个小区间 xi-1, xi , 第i个小区间的长度为 ，记 近似: 在每个小区间xi-1, xi上任取一点 i (i=1, 2 n) 求和：作和式,取极限：当0时, 若极限 存在(
3、这 个极限值与区间 a, b 的分法及点 i 的取法无关 ) ， 则称函数 f(x) 在a, b 上可积, 并称这个极限为函数 f(x) 在区间a,b上的定积分，记作 , 即,说明：,1. 闭区间上的连续函数是可积的; 闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的,2. 定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)和积分区间a,b，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有,3. 在定积分的定义中, 有ab , 为了今后计算方便，我们规定:,(三) 定积分的几何意义,: 介于曲线f(x) , x轴及两条直线x=a,x=b之 间的各部分面积的代数和,设A为曲边梯形面积, 则,各部分面积的代数和,
4、例1 利用定积分的几何意义, 证明,梯形是单位圆位于x轴上方的半圆.,因为单位圆的面积，所以半圆的面积为/2 .,思考,(四) 定积分的性质,性质1,性质2,性质3 (积分区间的可加性): 对任意的点c，有,性质4 如果被积函数 f(x)=C ( C为常数 )，则,性质5 (积分的保序性) : 如果在区间a,b上, 恒有 f(x)g(x) , 则,例2 比较定积分 与 的大小 .,性质6 (积分估值定理) 如果函数 f(x)在区间 a,b上有最大值 M 和最小值 m , 则,M (ba),y=f (x),f (x) dx,m(ba),则 f(x) 在-1,1上的最小值为m=1/e , 最大值为
5、M=1，由定积分的估值性质，,例3 估计定积分 的值 .,设,比较 x=0 及区间端点 x=1 的函数值，有,性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续， 则在积分区间a, b上至少存在一个点x ，使下式成立:,exit,性质8 (对称区间上奇偶函数的积分性质) 设f(x)在对称区间-a, a上连续， 如果f(x)为奇函数，则 ; 如果f(x)为偶函数，则 .,例如,exit,二. 微积分基本公式,在变速直线运动中, 已知位置函数 s(t) 与,速度函数,之间有关系:,考虑时间间隔,实际问题,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,这种积分与原函数的关系在一定条件下
6、具有普遍性.,(一)积分上限函数,定理5. 1. 1 如果函数 f(x) 在区间 a, b上连续, 则变上限积分函数 在a, b上可导，且它的导数是 f(x) , 即,例4 计算,例5 计算,例6 计算,说明：,1. 解决了原函数的存在性问题: a,b 上的连续函数一定存在原函数,且(x)是f(x) 的一个原函数这一基本结论.,为寻找定积分的计算方法提供了理论依据,(二) 微积分基本公式(牛顿莱布尼兹公式),定理5. 1. 2 设 f (x) 在 a, b 上连续, 且 F(x)是 f (x) 原函数, 则,例7 计算,例8 计算,例9 计算,例10 设 求,例11 计算,练一练,三.定积分的
7、积分法,(一) 定积分的换元积分法,定理5. 1. 2 设函数 f (x)在区间 a,b上连续, 并且 满足下列条件: (1) x = (t), 其值域含于a, b, 且 a=(), b=() ; (2) (t) 在区间, 或, 上有连续的导数 (t) ; 则有,说明：,例12 计算,法一 设t=cosx, 则dt = - sinxdx,法二,例13 计算,例14 计算,设 , 则x= t2-1, dx=2tdt,例15 计算,例16 计算,例17 计算,原式,例18 设f(x)在区间-a, a上连续, 证明: (1)如果f(x)为奇函数, 则 ; (2)如果f(x)为偶函数, 则,例19 设
8、函数f(x)在0, 1上连续, 证明:,设,例20 求下列定积分:,(1),例21 求定积分:,奇函数,原式,偶函数,单位圆的面积,练一练,(二) 分部积分法,定理5.1.4 设函数u=u(x)和v=v(x)在区间a,b上有 连续的导数, 则有:,例22 求,例23 求,例24 求,令 则,例25 求,例26 求,例 27 证明,解得In 的递推公式, , 继续使用递推公式知道 I1 和 I0 , 得,例28 求,例29 求,定义5. 1. 2 设函数 f (x) 在区间 a,+) 上连续, 取ba，若极限 存在, 则称此极限为函 数 f (x)在a,+)上的广义积分, 记作 ， 即 此时也称
9、广义积分 收敛; 如果上述极限 不存在, 就称 发散.,类似可定义:,只要有一个极限不存在 , 就称,发散 .,引入记号,则有类似 N L 公式的计算表达式 :,例30 求,例31 讨论 的敛散性.,例32 求,例33 求,(二) 无界函数的广义积分瑕积分,定义5. 1. 3 设函数 f (x) 在区间(a, b上连续且 . 取 Aa, 如果极限 存在, 则称此极限为函数 f (x) 在 (a, b 上的广义积分, 记作 即 此时也称广义积分 收敛, 否则就称广义积分 发散. A 称为瑕点 .,类似可定义:,（1）x=b 为 f(x) 的无穷间断点时:,（2）无穷间断点x=c位于区间(a, b
10、) 内:,若瑕点,的计算表达式 :,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点, 则,若 a 为瑕点, 则,若 a , b 都为瑕点, 则,则,当上式右边两个广义积分都收敛, 称广义积分收敛.,例34 求,所以广义积分发散 .,例35 讨论 的敛散性 .,内容小结:,1.定积分的概念与性质,2.微积分基本公式,8个性质,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,3,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,13,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,23,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯
11、形面积的关系,33,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,43,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,53,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,63,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,73,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,83,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,93,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,103,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,113,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,123,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,133,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,143,
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