不完全信息静态博弈

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1、7第八章 不完全信息静态博弈这一章里我们讨论不完全信息静态博弈，也称为贝叶斯博弈(Bayes)。不完全信息博弈 中，至少有一个参与者不能确定另一参与者的收益函数。非完全信息静态博的一个常见例子 是密封报价拍卖(sealedbid auction)：每一报价方知道自己对所售商品的估价，但不知道任 何其他报价方对商品的估价；各方的报价放在密封的信封里上交，从而参与者的行动可以被 看作是同时的。静态贝叶斯博弈问题的主要来源也是现实经济活动，许多静态博弈关系都有 不完全信息的特征，研究贝叶斯博弈不仅是完善博弈理论的需要，也是解决实际问题的需要。8.1 静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡为了更好的说明不完全

2、信息与完全信息之间的差异，我们用一个典型静态贝叶斯博弈作 为例子，自然的引进静态贝叶斯博弈概念。8.1.1不完全信息古诺模型考虑如下两寡头进行同时决策的产量竞争模型。其中市场反需求函数由P(Q) = a - Q给出，这里Q = q + q为市场中的总产量。企业1的成本函数为C (q ) = cq，不过企业1 2 1 1 1 12的成本函数以0的概率为C (q )二c q，以10的概率为C (q )二c q，这里2 2 H 2 2 2 L 2c q*,当c = c ，1 i j2 H22 Hq*(c ) -3 h，选择拳击是最优的。hw解联立方程组whh 2 + 3h - x 0解二次方程得 当

3、 x 趋于 0 时，该式的值趋于 23。也就是说，随着不完全信息的消失，参与者在此不完 全信息博弈纯战略贝叶斯纳什均衡下的行动趋于其在原完全信息博弈混合战略纳什均衡下 的行动。8.2.2 暗标拍卖我们用贝叶斯纳什均衡的思想，来讨论暗标拍卖问题。基本的暗标拍卖规则是各投标人 密封标书投标，统一时间开标，标价最高者中标。如果出现标价相同的情况，用抛硬币或类似方法决定中标者。假设有两个投标人，分别为1、2,投标人i对商品的估价为v 即i如果投标人i付出价格p得到商品，则i的收益为v - p。两个投标人的估价相互独立，并i服从0， 1区间上的均匀分布。投标价格不能为负，且双方同时给出各自的投标价。出价

4、较 高的一方得到商品，并支付他报的价格；另一方的收益和支付都为0。投标方是风险中性的， 所有以上都是共同信息。为把这一问题化为标准式的静态贝叶斯博弈，我们必须确定行动空间、类型空间、推断及收益函数。参与者i的行动是给出一个非负的投标价b，其类型即他的估价v (在抽象博ii弈G A , A ;T ,T ;p ,p ;u ,u 中表示为，行动空间A. 0,Q，类型空间T 0,1)。12121212ii由于估价是相互独立的，参与者i推断vj服从0，1区间上的均匀分布，而不依赖于vi的值。最后，参与者 i 的收益函数为u (b , b ; v , v )= bij当b = bij当b b +(v 一

5、b )Pb = b b i ii j 2 i ii ji我们寻找该问题的一组线性均衡解，即假设b (v )和b (v )都是线性函数。1 1 2 2b (v ) = a + cv及b (v ) = a + c v，并据此对上式进彳丁简化。但应注意我们不是限制1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 了参与者的战略空间，使之只包含了线性战略；而是允许参与者任意地选择战略，而只看是 否存在线性的均衡解。我们会发现由于参与者的估价是均匀分布的，这样的线性均衡解不仅 存在。而且是惟一的。其结果为b (v ) = v /2，也就是说，每一参与者以其对商品估价的i ii1/2作为投标价。这样，一个投标价格反

6、映出投标方在拍卖中遇到的最基本的得失权衡：投 标价格越高，中标的可能性越大；投标价格越低，一旦中标所得的收益就越大。假设参与者j采取战略b (v ) = a + c v，对一个给定的v值，参与者i的最优反应j jj j ji为下式的解1max(v 一 b )Pb a + c v + (v 一 b )Pb = b b i ii j j j 2 i ii ji因为v服从均匀分布，所以b (v ) = a + c v )服从均匀分布，Pb = b = 0。由于ijj jj j ji j的投标价应高于参与者j最低的可能投标价格，否则没有意义，同时应低于j最高的可能投标价格，我们有a b a + c，于

7、是，上式变为j i j jb 一 a b 一 abii i j c jbiimax(v -b )Pb a + c v = max(v -b )Pv j = maxjbc ij一阶条件为bi=(v + a )/2。在v a时，b = (v + a )/2 ab(v.)彳 i j当 i j11 a当 v ajij如果0 a 1，则一定存在某些v的值，使v 1 及ja 0，但这时a 1便意味着 jjb (v ) v，而这对于参与人j肯定不是最优的。因此，如果要求b (v )是线性的，则一定 j jji i有a 0，这时b (v ) = (v + a )/2 = a + c v，于是可得a = a /2及c = 1/2。ji ii ji i iiji同样对参与者j重复上面的分析，得到类似的结果a二a /2及c二1/2。解这两组结果构j ii成的方程组，可得a二a二0及c二1/2，即b (v )二v /2。ijii ii