平面向量数乘运算

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1、平面向量的数乘运算一、知识精讲1向量的数乘运算(1) 向量的数乘运算的概念：实数入与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作入a,其长度与方向规定如下： |入a|=|入|a|;当时，与a方向相同； 入a(aO)的方向|当时，与a方向相反.特别地，当2=0或a=0时，0a=0或20=0.(2) 向量数乘的运算律：l(a)=(2“)a；(2+)a=2a+“a；l(a+b)=2a+2b.(3) 向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a,b,以及任意实数2、“1、色，恒有2(“a土“少)=2“申“中.2共线向量定理向量a(a/0)与b共线，当且仅当有唯个实数2

2、，使b=2a.小问题大思维1.若2a=0，则2=0对吗？提示：不对当2a=0时，2=0或a=0.2共线向量定理中b=Aa,a若为0如何？提示：当a=0时，则1不存在(b0时)或者不唯一(b=0时).3已知向量a,b不共线，则m=a-3b与n=-2a+6b共线吗?提示：n=-2m，故m与n共线.4与非零向量a共线的单位向量是什么？提示:由于单位向量的长度总等于1,所以与非零向量a共线的单位向量应为各.|a|二、典例精析例13(2a+8b)一2b)啲结果是()A2abB2baCbaDab答案B变式练习：1.若a=b+c,化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=()A-aB-bC.-cD.

3、以上都不对解析：3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2(b+c)又a=b+c,故原式=-a答案：A例2如图所示，四边形OADB是以向量OA=a,OB=b为邻边的平行四边形又bm=3bC,CN=3cD,试用a,b表示OM,ON,MN.OM=OBBM变式练习：1、在本例条件中，试用a,b表示CM.2、设D、E、F分别是ABC的三边BC、CAAB上的点，且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,则AD+BF+CF与BC()A反向平行B同向平彳亍C互相垂直答案：AD既不平行也不垂直例3设两非零向量a和b不共线，如果AB二a+b,CD=3(a-b),=

4、2a+8b求证：A、B、D三点共线.证明:TRDnCD=(2a+8&)+3巧=创+兹庆AB=a+b,AB=BD-ABIIBDt又AB.而有公共Ab,、B.D三点共线.变式练习：已知勺,e2是两个不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2若a与b是共线向量，求实数k的值.解题高手：如图所示，已知平行四边形ABCD的边BC、CD的中点分别为KL，且AK=e1,AL=e2,试用e1,e2表示BC,CD法二：=XtCD=y则吕蛊=DL=-令由AB+BK=AKtAD+RL=-7尹=如1x_尹=弧-2x+碍g2x=eilei:解得亦一芒i),=j(2e?-)=|e2-jfT2,42同法得jF=-2i

5、+旳)即CI=-g的+护*三、课后检测一、选择题m1.已知两不共线的向量a,b,若对非零实数m,n有ma+nb与a2b共线，则n=()HlA.2B.2C.2D*2解析：ma+nb=l(a-2b),m，,m_1,一“n2Ln=-2x,答案：C2.如图，向量OA,OB,OC的终点在同一直线上，且AC=解析：AC=-3CB,AB=-2CB=2BC,.r=OC2pT2q,答案!A3.在ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若AC=a，BD=b，则AF=()A.：a+；b21Ba+sb解析：如图.DEF7BEA.DF=DE=1AB=EB=3.DF=3aB=3dC.

6、cf=2dc.AF=AC+CE=a+3CD=a+3(CO+OD)JJa+b2+2b,=2+3b.答案：B4.已知平面内有一点P及一个ABC，若PA+PB+PC=AB，贝y（）A.点P在ABC外部B.点P在线段AB上C.点P在线段BC上D.点P在线段AC上解析：由PA+PB+PC=AB,得AB-PB=PA+PC,=3CA+2CB,则22答案：2即AP=PA+PC,.2AP=PC.答案：D二、填空题5.在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB,CD等于解析：由AD=2DB,_得CD-CA=2(CB-CD戸CD=3CA+；CBJJ所以2=2：6.在口ABCD中,E,F分别在DC和AB上,且D

7、E=13DC,AF=2AB,则AE与CF的关系是.解析：设AD=a,AB=b.112：DE=13dc,af=13ab,AE=AD+DE=a+113CF=CB+BF=-al3b=-AE.答案：CFAE在门ABCDB=aAAb,A阳=3NC为BC的中点，则MN=答案：一4。+4bfiD8.如图，在三角形ABC中，AB=a,BC=b,AD为BC边的中线，G为AABC的重心，用a、b表示向量AG=.解析：TD是BC的中点，G是重心，_Ag=2AD=3(AB+BD)=2(AB+；BC)=2+1.21答案：3。+3方三、解答题9.已知a,b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，则实数t为何值时，a,tb,；(a+b)三向量的终点共线？解：由已知，存在唯一实数使a-tb=la-1i(a+b),化简得(?-1)a=(3-t)b.由于a,b不共线，故3m,3,0,3212即t=；时，三向量的终点共线.10.设O是AABC内部一点，且OA+OC=-3OB,求AAOB与厶AOC的面积之比.解：如图，由平行四边形法则，知OA+OC=OD，其中E为AC的中点.所以OA+OC=2OE=-3OB所以OB=-2OE,|OBl=；lOEI.设点BD的距离则，aob=2|OB卜hSS-AOC=2S-AOE=IOE卜，所以SAAOC；lOBVh1|OB|12=XIOE|h2IOE|2313.