勾股定理典型例题归类总结

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1、RtABC的周长为2低，其中斜边AR，求这个三角形的面积。10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广(1)如图，以RtAABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S、S、S之间有123何关系？并说明理由。2如图，以RtABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S、S、S之间有何关系？1233如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面 积之间的关系，并说明理由。此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”题型二：利用勾股定理测量长度例1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯

2、子可以到达建筑物的高度是多少米?事 廿 _ 1 I I-a I- I II - zf_- - I1=跟踪练习：1.如图8，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇, 拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC?出水部分BC的长是團2x+0.5升DE心图32座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最 长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是A、12 米 B、13 米C、14 米D、15 米3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行A、8 米 B、10 米 C、1

3、2 米D、14 米题型三：勾股定理和逆定理并用1例3.如图3,正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FBAB那么 DEF是直4角三角形吗？为什么？注：此题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：1.如图，正方形ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且DF=3CF，求证：ZAEF=90。例1.如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落 在BC边上的点F,求CE的长.跟踪练习：1如图，将一个有45度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另 边沿上，测得三角板的一边与

4、纸带的一边所在的直线成30角，求三角板的最大边AB的长.2.如图，在 ABC 中，AB=BC，ZABC=90，D 为 AC 的中点，DE丄DF，交 AB 于 E,父 BC 于 F,1 求证：BE=CF; 假设AE=3, CF=1,求EF的长.3.如图，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZECD=90,D 为 AB 边上的一点.假设 AD=1, BD=3，求 CD 的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直一一例1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自 动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：1如图，每个小正方

5、形的边长都是1，ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断AABC的形的值2以下各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是1 1 1A、9，12，15 B、7,24,25 C、 - D、：，4,:3.在 ABC 中，以下说法ZB=ZC-ZA； ；ZA:ZB:ZC=3： 4： 5；a:b:c=5:4:3；:=1:2:3，其中能判断 ABC为直角三角形的条件有A、2个B、3个C、4个D、5个4在 ABC中，ZA、ZB、ZC的对边分别是a、b、c.判断以下三角形是否为直角三角形？并判断哪一个 是直角？_1a=26, b=10, c=24;2a=5, b=7, c=9;3a=2,:，一A、2

6、个B、3 个C、4 个 D、5 个5.已知 ABC的三边长为a、b、c,且满足，则此时三角形一定是A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、锐角三角形c= n2 +1，贝ABC 是6.在 ABC 中，假设 a= n2 -1, b=2n,A、锐角三角形 B、钝角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7如图，正方形网格中的 ABC是A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形8.已知在厶ABC中，ZA、ZB、ZC的对边分别是a、b、c,以下说法中，错误的选项是A、如果 ZC-ZB=ZA,那么 ZC=90B、如果 ZC=90，那么-*C、如果a+ba-b=那么 ZA=9

7、0D、如果ZA=30,那么 AC=2BC 9.已知 ABC的三边分别为a, b, c,且a+b=3, ab=1, 八，求 匸的值，试判断厶ABC的形状, 并说明理由10. 观察以下各式：匸厂丨, IT I， J -，根据其中规律,写出下一个式子为11. 已知，mn, m、n为正整数，以ttf d, 2mn,川+打为边的三角形是三角形.12. 一个直角三角形的三边分别为n+1, n-1, 8,其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？ 题型六：旋转问题：PA=2,PB=2U3 ,PC=4,求厶ABC 的边长.跟踪练习1.如图， ABC为等腰直角三角形，Z BAC=90 , E、F是B

8、C上的点，且Z EAF=45。，试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题7.如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm, BC=6cm, E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B 恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.跟踪练习1.如图，AD是厶ABC的中线，ZADC=45，把 ADC沿直线AD翻折，点C落在点C勺位置，BC=4, 求BC的长.A（一）折叠直角三角形1.如图，在 ABC中，ZA = 90。，点D为AB上一点，沿CD折叠 ABC，点A恰好落在BC边上的A处,AB=4，AC=3，求 BD 的长。2.如图，RtAABC中，ZB=90, AB=3, AC

9、=5.将AABC折叠使C与A重合，折痕为DE,求BE的长.C二折叠长方形1如图，长方形ABCD中，AB=4, BC=5, F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC 上的点E处，求CF的长。2.如图，长方形ABCD中，AD=8cm, AB=4cm，沿EF折叠，使点D与点B重合，点C与C重合.1 求DE的长；2求折痕EF的长.3. 2013常德如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为CE,且D点落 在对角线D处假设AB=3, AD=4，则ED的长为AE 卫4.如图，长方形ABCD中，AB=6, AD=8,沿BD折叠使A到A，处DA交BC于F点.1求证：FB=

10、FE2求证：CABD求 DBF的面积7.如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将ADE沿AE对折至 AFE，延长EF交边BC于点G,G DE为BC的中点，连结AG、CF. 求证：AGCF;2求匚的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距 离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行 驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校 受到影响的时间为多少？例2.一辆装满货物高为米，宽米的卡车要通过一个直

11、径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗?跟踪练习：1. 某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60方向 移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。2辆装满货物的卡车，其外形高米，宽米，要开进厂门形状如以下图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的 厂门？3.有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？结果保留整 数4.如图，铁路上A,B两点相距25km, C,D为两村庄,DA丄AB于A,CB丄AB于B,已知D

12、A=15km,CB=10km, 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C, D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站 多少km处？题型九：关于最短性问题例1、如右图1 19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正 上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而 是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美 餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？n取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算1-19例2.跟踪练习：1.如图为一棱长为3cm的正方体，把所有

13、面都分为9个小正方形，其边长都是lcm，假设一只蚂蚁每秒爬 行2cm，则它从下地面A点沿外表爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？2. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和lcm, A和B是这个台阶的两 个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台 阶面爬到B点，最短线路是多少？3. 个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，6cm， 12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能 帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？B4. 如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和

14、12厘米的长方体无盖盒子中,能全部放进去吗?题型十：勾股定理与特殊角（一）直接运用30或45的直角三角形1.如图，在 ABC中，ZC = 90,ZB = 30, AD是厶ABC的角平分线，假设AC=2*3，求AD的长。2.如图，在 ABC 中，ZACB = 90，AD 是厶ABC 的角平分线，CD丄AB 于 D，ZA= 30，CD=2，求 AB 的长。3.如图，在 ABC 中，AD丄BC 于 D，ZB= 60，Z,C= 45，AC=2，求 BD 的长。（二）作垂线构造30或45的直角三角形（1） 将105。转化为45和601.如图，在 ABC 中，ZB= 45，ZA=105，AC=2，求 BC

15、 的长。2.如图，在四边形ABCD中，ZA=ZC= 45,ZADB=ZABC=105，假设AD=2,求AB的长；假设 AB+CD= 2 込 +2，求 AB 的长。将75转化为30和453.如图，在 ABC 中，ZB= 45,ZBAC=75, AB6，求 BC 的长。d题型十一：运用勾股定理列方程一直接用勾股定理列方程AD 平分ZCAB 交 CB 于 D, CD=3,BD=5，求 AD 的长。2.如图，在 ABC 中，AD丄BC 于 D,且ZCAD=2ZBAD，假设 BD=3，CD=8，求 AB 的长。（二）巧用“连环勾”列方程1.如图，在ABC 中, AB=5, BC=7, AC=4迈，求Sa

16、bcCD丄AB 于 D, AC=3, BC=4,求 AD 的长。CD丄AB 于 D, AD=1, BD=4，求 AC 的长4.如图，AABC 中，ZACB=90。，CD丄AB 于 D, CD=3, BD=4，求 AD 的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一）锐角与钝角不明时需分类讨论 1.在厶ABC 中，AB=AC=5,求 BC 的长2.在厶ABC 中，AB=15, AC=13, ADABC 的高，且 AD=12，求 ABC 的面积。二腰和底不明时需分类讨论3.如图1,AABC中，ZACB=90。，AC=6, BC=8，点D为射线AC上一点，且ABD是等腰三角形，求 ABD的周长.三直角边和斜边

17、不明时需分类讨论1已知直角三角形两边分别为2和3,则第三边的长为2.在 ABC中，ZACB=90。，AC=4, BC=2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，求 CD的长3如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写 出落在x轴上的顶点坐标.题型十三：或问题的证明1.如图1,AABC中，CA=CB,ZACB=90。，D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上一点，且DM丄DN. 1求证：CM+CN -BD2如图2,假设M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系式。ii! i2.已知ZBCD=a，ZBAD=p，C

18、B=CD. 如图 1,假设 a=P=90，求证：AB+AD= - AC； 如图 2, 假设 a=P=90，求证：AB-AD - AC；3如图 3,假设 a=120。，卩=60。，求证：AB=AD=- -；AC；4 如图 3,假设 a=P=120，求证：AB-AD= AC；lH 1囲2A/ Jf题型十四：一 .1问题的证明1.如图，OA=OB, OC=OD, ZAOB=ZCOD=90。，M、N 分别为 AC、BD 的中点，连 MN、ON.求证：MN=、-ON.2.已知 ABC 中，AB=AC,ZBAC=90, D 为 BC 的中点，AE=CF,连 DE、EF. 1如图 1,假设 E、F分别在AB

19、、AC上，求证：EF=DE；如图2,假设E、F分别在BA、AC的延长线上，贝V(1 )中 的结论是否仍成立？请说明理由.3.如图，AABD中，0为AB的中点，C为DO延长线上一点，ZACO=135,ZODB=45。探究OD、0C、 AC之间相等的数量关系.4.如图，AABD 是等腰直角 ,ZBAD=90。，BCAD, BC=2AB，CE 平分ZBCD，交 AB 于 E,交 BD 于H.求证：D DC=、-DA； BE=、-DH题型十五：勾股定理逆定理与网格画图1如图，每个小正方形的边长为1, A、B、C是小正方形的顶点，则ZABC的度数为.2如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个三角形，

20、使它的三边长分别是32、，且三角形 的三个顶点都在格点上.3如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上.4在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个.r1;.口p I I II I iM I I I5如图，在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中,6.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按以 下要求画图：1画一条线段MN,使MN=；2画厶ABC,三边长分别为3,7如图，在5x5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格

21、点上.1图1中以AB为腰的等腰三角形有个，画出其中的一个，并直接写出其底边长. 图2中，以AB为底边的等腰三角形有个,画出其中的一个，并直接写出其底边上的高.题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直1.如图，在 ABC中，点D为BC边上一点，且AB=10, BD=6, AD=8, AC=7，其求CD的长.2.如图，在四边形ABCD 中，ZB=90。，AB=2,，CD=5，AD=4，求.3.如图，在 ABC中，AD为BC边上的中线，AB=5,AC=13,AD=6，求BC的长.4.已知 ABC中，CA=CB, ZACB=a，点P为厶ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转a得到CD,连AD./1图21如图

22、1,当 a=60, PA= 10, PB=6, PC=8 时，求ZBPC 的度数 2如图 2,当 a=90, PA=3, PB=1, PC=2 时，求ZBPC 的度数题型十七：勾股定理综合纯几何问题1.已知，在RtAABC中，ZC=90。，D是AB的中点，ZEDF= 90。，DE交射线AC于E, DF交射线CB 于F.C图21如图1,当AC=BC时,EFS吕严之间的数量关系为直接写出结果;2如图2,当ACBC时，试确定 、之间的数量关系，并加以证明；3如图3,当ACBC时，（2）中结论是否仍成立？2.已知AOMN为等腰直角 ,ZMON=90。，点B为NM延长线上一点，0C丄0B,且OC=OB.

23、ffi 1用Z阳1如图1,连CN,求证：CN=BM; 如图2,作ZBOC的平分线交MN于A,求证：-3如图3,在的条件下，过A作AE丄ON于E,过B作BF丄0M于F, EA、BF的延长线交于P, 请探究 、 之间的数量关系式.题型十八：勾股定理综合二与代数结合OA=OB.1如图1,求点B的坐标；2如图2, AD丄y轴于D, M为OB的中点，求DM的长;2.已知点A、B分别在x轴、y轴上，OA=OB,点C为AB的中点，AB=12：、二IB 1CH Z1如图1,求点C的坐标2如图2, E、F分别为OA上的动点，且ZECF=45。，求证:匸广 ;:-3在图2中，假设点E的坐标为(3, 0),求CF的长