第四章导热基本定律及稳态导热讲义

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1、1第四章第四章导热的理论基础及计算导热的理论基础及计算4-1 4-1 导热的基本概念和定律导热的基本概念和定律4-2 4-2 导热微分方程导热微分方程4-3 4-3 初始条件和边界条件初始条件和边界条件4-4 4-4 热扩散率热扩散率4-5 4-5 一维稳态导热一维稳态导热4-6 4-6 通过肋片的导热分析通过肋片的导热分析2一、温度场1.1.温度场：温度场：各时刻物体中各点温度分布称为温各时刻物体中各点温度分布称为温度场，它是时间和空间坐标的函数度场，它是时间和空间坐标的函数 ，记为：，记为：),(zyxft t t为温度为温度;x,y,zx,y,z为空间坐标为空间坐标;-时间时间 4-1

2、导热的基本概念和定律0t稳态温度场稳态温度场 稳态导热稳态导热（Steady-state conduction）0t非稳态温度场非稳态温度场 非稳态导热非稳态导热（Transient conduction）三维稳态温度场：三维稳态温度场：),(zyxft 一维稳态温度场一维稳态温度场:)(xft 42.等温面与等温线：等温面：温度场中同一瞬时温度相同各点连成的面。5等温线：等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个平面上得到一个等温线簇等温线簇等温面与等温线的特点：等温面与等温线的特点：(1)(1)温度不同的等温面或等温线彼此不能相交温度不同的等温面

3、或等温线彼此不能相交(2)(2)在连续的温度场中，等温面或等温线在连续的温度场中，等温面或等温线不会终止不会终止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止于物体的边界上就终止于物体的边界上(3)(3)物体的温度通常用等温面或等温线表示。物体的温度通常用等温面或等温线表示。6n等温线图的物理意义：等温线图的物理意义：n等温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大小。如等温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大小。如图所示是用等温线图表示温度场的实例。图所示是用等温线图表示温度场的实例。7二、导热基本定律1 1、傅立叶定律、傅立叶定律定义：在

4、导热现象中，单位时间内通过单位截面积的导热量定义：在导热现象中，单位时间内通过单位截面积的导热量正比于垂直于截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向正比于垂直于截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反。与温度升高的方向相反。xtA数学表达式数学表达式：xtA负号表示热量传递的方向指向温度降低的方向负号表示热量传递的方向指向温度降低的方向8（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）xtq傅里叶定律用热流密度表示：傅里叶定律用热流密度表示：其中其中 热流密度热流密度(单位时间内通过单位单位时间内通过单位面积的热流量面积的热流量)物体温度沿物

5、体温度沿 x x 轴方向的变化率轴方向的变化率 qxt92.温度梯度（Temperature gradient）tqgradtnn 是空间某点的是空间某点的温度梯度温度梯度；是通过该点等温线上的法向是通过该点等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的单位矢量，指向温度升高的方向；方向；是该处的是该处的热流密度矢量热流密度矢量。gradtnq式中：式中：10热流线热流线 ：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。热流密度矢量与热流线的关系：热流密度矢量与热流线的关系：

6、相邻两个热流线之间所传相邻两个热流线之间所传递的热流密度矢量处处相等，构成一热流通道。递的热流密度矢量处处相等，构成一热流通道。3、温度梯度与热流密度矢量的关系11三、导热系数（三、导热系数（Thermal conductivity Thermal conductivity）定义定义 :导热系数在数值上等于单位温度梯度作导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位时间内通过单位面积的热量用下单位时间内通过单位面积的热量。gradtq/w/(mk)导热系数导热系数:物性参数物性参数.导热系数的数值取决于导热系数的数值取决于物质种类与温度物质种类与温度等因素。等因素。12物质导热性能比较：物质导热性

7、能比较：非金属金属气体液体固体保温材料保温材料：导热系数小的材料称为保温材料。：导热系数小的材料称为保温材料。国家标准国家标准：凡平均温度不高于：凡平均温度不高于350350导热系数不导热系数不大于大于0.12w/(m.k)0.12w/(m.k)的材料称为保温材料。的材料称为保温材料。K)(/9W39m纯铜K)(/W7.36m碳钢(293K)K)(/0.0259W干空气m(293K)K)(/0.599W水m13同一种物质的导热系数也会同一种物质的导热系数也会因其状态参数的不同而改变，因其状态参数的不同而改变，因而因而导热系数是温度和压力导热系数是温度和压力的函数的函数。一般把一般把导热系数仅仅

8、视为温导热系数仅仅视为温度的函数度的函数，而且在一定温度，而且在一定温度范围还可以用一种线性关系范围还可以用一种线性关系来描述来描述 )1(0bT144-2 导热微分方程一维导热问题一维导热问题：根据傅立叶定律积分，可获：根据傅立叶定律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。得用两侧温差表示的导热量。多维导热问题多维导热问题：首先获得：首先获得温度场的分布函数温度场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间各点的，然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流热流密度矢量密度矢量。15定义：定义：根据根据能量守恒定律能量守恒定律与与傅立叶定律傅立叶定律，建立导热物体中，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，

9、称为导热微分方程。的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。导热微分方程的数学表达式导热微分方程的数学表达式：导热微分方程的推导，假定导热物体是各向同性的。导热微分方程的推导，假定导热物体是各向同性的。导热微分方程导热微分方程 理论基础：理论基础：能量守恒定律能量守恒定律与与傅立叶定律傅立叶定律 16 导热微分方程式导热微分方程式通过空间任一点任一通过空间任一点任一方向的热流量也可分方向的热流量也可分解为解为 x x、y y、z z 坐坐标方向的标方向的分热流量分热流量。17 导热微分方程式导热微分方程式 通过通过 x x、y y、z z，三个微元表面而，三个微元表面而导入微元体的热导入微

10、元体的热流量流量：x x 、y y 、z z 的计算。的计算。根据傅立叶定律得根据傅立叶定律得 xyztdydzxtdxdzytdxdyz (a)18 导热微分方程式导热微分方程式 通过通过 x+dx x+dx、y+dy y+dy、z+dz z+dz 三个微元表面而三个微元表面而导出微元导出微元体的热流量体的热流量x+dxx+dx 、y+dyy+dy 、z+dzz+dz 的计算。根据傅立叶定的计算。根据傅立叶定律得：律得：x dxxxy dyyyz dzzztdxdydz dxxxxtdydxdz dyyyytdzdxdy dzzzz (b)19 导热微分方程式导热微分方程式 对于任一微元体根

11、据能量守恒定律，在对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系：任一时间间隔内有以下热平衡关系：导入微元体的总热流量导入微元体的总热流量 +微元体内热源微元体内热源的生成热的生成热 =导出微元体的总热流量导出微元体的总热流量 +微元微元体热力学能（内能）的增量体热力学能（内能）的增量 （C C）20 导热微分方程式导热微分方程式微元体热力学能的增量微元体热力学能的增量=tcdxdydz微元体内热源的生成热微元体内热源的生成热=vq dxdydzcv、q其中其中 微元体的密度、微元体的密度、比热容、单位时间内单位体积内热源的生比热容、单位时间内单位体积内热源的生成热及时间。成

12、热及时间。21导入微元体的总热流量导入微元体的总热流量导出微元体的总热流量导出微元体的总热流量 xyz 入x dxy dyz dz 出 导热微分方程式导热微分方程式22将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：()()()vttttcqxxyyzz这是笛卡尔坐标系中这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达三维非稳态导热微分方程的一般表达式式。物理意义：物理意义：物体的温度随时间和空间的变化关系物体的温度随时间和空间的变化关系。导热微分方程式导热微分方程式231 1）对上式化简：）对上式化简：导热系数为常数导热系数为常数 222222()vqtttta

13、xyzc式中，式中，称为，称为热扩散率热扩散率。)/(ca导热系数为常数导热系数为常数 、无内热源（、无内热源（傅里叶方程傅里叶方程）222222()ttttaxyz 导热微分方程式导热微分方程式24 导热微分方程式导热微分方程式导热系数为常数导热系数为常数 、稳态（、稳态（泊松方程泊松方程）2222220vqtttxyz 导热系数为常数导热系数为常数 、稳态、稳态 、无内热源（、无内热源（拉普拉斯方程拉普拉斯方程）2222220tttxyz25 导热微分方程式导热微分方程式1 1）圆柱坐标系中的导热微分方程圆柱坐标系中的导热微分方程：2 2）球坐标系中的导热微分方程球坐标系中的导热微分方程：

14、211()()()vttttcrqr rrrzz22222111()()(sin)sinsinvttttcrqrrrrr 26 导热微分方程式导热微分方程式说明：说明：（1 1）导热问题仍然服从）导热问题仍然服从能量守恒定律能量守恒定律；（2 2）等号左边是单位时间内）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量微元体热力学能的增量（非（非稳态项）；稳态项）；（3 3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量在单位时间内增加的能量 (扩散项扩散项 )；（4 4）等号右边最后项是）等号右边最后项是源项源项；（5 5）若某坐标方向

15、上温度不变，该方向的净导热量为零，）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。27导热过程的单值性条件：导热过程的单值性条件：对特定的导热过程：需要得到满足该过程对特定的导热过程：需要得到满足该过程 的唯一解的唯一解单值性条件：单值性条件：确定唯一解的附加说明条件确定唯一解的附加说明条件单值性条件包括四项：单值性条件包括四项：几何几何、物理物理、时间时间、边界边界完整数学描述：完整数学描述：导热微分方程导热微分方程 +单值性条件单值性条件4-3 初始条件和边界条件1 1、几何条件、几何条件如：平壁或圆筒壁；厚度、直

16、径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等说明导热体的几何形状和大小说明导热体的几何形状和大小2 2、物理条件、物理条件如：物性参数如：物性参数 、c c 和和 的数值，是否随温度变化；的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；是否各向同性有无内热源、大小和分布；是否各向同性说明说明导热体的物理特征导热体的物理特征3 3、时间条件、时间条件稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件 与时间无关与时间无关说明在时间上导热过程进行的特点说明在时间上导热过程进行的特点对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布时间条件又称为时间条件

17、又称为初始条件初始条件（Initial conditionsInitial conditions）0()tfr、边界条件、边界条件说明导热体说明导热体边界上过程进行的特点边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的条件反映过程与周围环境相互作用的条件边界条件一般可分为三类：边界条件一般可分为三类：第一类第一类、第二类第二类、第三类第三类边界条件边界条件（Boundary conditionsBoundary conditions）（1 1）规定了边界上的温度值规定了边界上的温度值，称为，称为第一类边界条件第一类边界条件。对。对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：于非稳态导热，这类

18、边界条件要求给出以下关系式：0wtf时（2 2）规定了规定了边界上的热流密度值边界上的热流密度值，称为，称为第二类边界条件第二类边界条件。对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：20()()wtfn时（3 3）规定了边界上物体与周围流体间的规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数表面传热系数及及周围流体的温度周围流体的温度，称为，称为第三类边界条件第三类边界条件。第三类边界条。第三类边界条件可表示为件可表示为()()wwfth ttn若物性参数若物性参数 、c c 和和 均为常数：均为常数：热扩散率热扩散率 反映了导热过程中材料的反映了

19、导热过程中材料的导热能力导热能力（）与沿途物质与沿途物质储热能力储热能力（c c）之间的关系）之间的关系 值大，即值大，即 值大或值大或 c c 值小，说明值小，说明物体的某一部分物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分各部分温度趋向于均匀一致的能力温度趋向于均匀一致的能力2222222();or vvqqtttttaatxyzcc 2 m sac 热扩散率（导温系数）2 拉 普 拉 斯 算 子aa4-4 热扩散率：32一维、稳态、常物性、无内热源情况，考

20、察平一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热。板和圆柱内的导热。()()()vttttcqxxyyzz一一、单层平壁的导热单层平壁的导热几何条件：单层平板；几何条件：单层平板；物理条件：物理条件：、c c、常数常数；无内热源无内热源 时间条件：稳态导热时间条件：稳态导热 0 t 边界条件：第一类边界条件：第一类o o t t1 1t tt t2 24-5 一维稳态导热33xot1tt2120,xttxtt直接积分，得：直接积分，得：211 cxctcdxdt根据上面的条件可得：根据上面的条件可得：第一类边条件：第一类边条件：()vttcqxx带入边界条件带入边界条件12121t

21、cttc线性关系线性关系220d tdx34ARr热阻分析法适用于热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源一维、稳态、无内热源的情况的情况21()tttqtA 21121ddtttxttttx带入带入Fourier Fourier 定律定律35二二、多层平壁的导热多层平壁的导热t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热三层平壁的稳态导热多层平壁：由几层不同材料组成多层平壁：由几层不同材料组成第一类边第一类边界条件界条件：1110nniittxttx热阻：热阻：nnnrr,11136由热阻分析法由热阻分析法niiinniinttrttq111111第一层：第一层：11122111)(qttt

22、tq第二层：第二层：22233222)(qttttq第第 i i 层：层：11()iiiiiiiiqttttq372112111hhttqniiiff2wm单位：单位：tf1t2t3tf2t1t2t3t2三层平壁的稳态导热三层平壁的稳态导热h h1 1h h2 2多层、第三类边界条件多层、第三类边界条件38 通过多层平壁的导热通过多层平壁的导热39三、三、单层圆筒壁的导热单层圆筒壁的导热圆柱坐标系：圆柱坐标系：211()()()vttttcrqr rrrzz假设单管长度为假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长度的圆筒壁的外半径小于长度的1/101/10一维、稳态、无内热源、常物性：一维、稳态、

23、无内热源、常物性：0)dd(ddrtrr(a)(a)第一类边界条件第一类边界条件2211wwttrrttrr时时40对方程对方程(a)(a)积分两次积分两次:211ln crctcdrdtr22122111ln ;lncrctcrctww)ln(ln)(;)ln(121121212121rrrtttcrrttcwwwww211121 ln()ln()wwwttttr rr r温度呈对数曲线分布温度呈对数曲线分布41圆筒圆筒壁内温度分布壁内温度分布：)ln()ln()(121211rrrrttttwww212212212211)ln(;1)ln(rrrttdrtdrrrttdrdtwwww212

24、2:0 wwd tttdr若向上凹2122:0 wwd tttdr若向上凸42圆筒壁内部的热流密度和热流分布圆筒壁内部的热流密度和热流分布:1221ddln()wwtttqrrr r 1212212 ln()2wwwwttttrlqr rRl)ln()ln()(121211rrrrttttwwwrrrttdrdtww1)ln(1221虽然此时为稳态情况虽然此时为稳态情况，但热流密度，但热流密度 q q 与与半径半径 r r 成反比！成反比！长度为长度为 l 的圆筒壁的圆筒壁的的导热热阻导热热阻43四、四、n n层圆筒壁层圆筒壁由不同材料构成的由不同材料构成的多层圆筒多层圆筒壁壁，其导热热流量可

25、按总温，其导热热流量可按总温差和总热阻计算差和总热阻计算mW ln21W ln2111)1(111)1(1niiiinwwlniiiinwwrrttqrrLtt44单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热)(2ln21)(222222122111111fwrlwwlwfrltthrqrrttqtthrq1221112212111ln222 W mfflfflttqrhrrhrttRh1h2 通过单位长度圆筒壁传热过程通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻的热阻 mK/WmK/WlR45 通过多层圆筒壁的导热通过多层圆筒壁的导热46对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的

26、一维导对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时，一维时，一维Fourier定律：定律：五、五、其它变面积或变导热系数问题其它变面积或变导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热问题的主要途径分两步：(1)(1)求解导热微分方程，获得温度场求解导热微分方程，获得温度场(2)(2)根据根据FourierFourier定律和已获得的温度场计算热流量定律和已获得的温度场计算热流量 ddtAx 471221)(ttdtttt21)()(21xxxAdxtt)()()()()(12121212212121

27、tttttttttdttxAdxttttxx当当 随 温 度 呈 线 性 分 布 时，即随 温 度 呈 线 性 分 布 时，即 则则2210ttad()()dtt A xx 分离变量后积分，分离变量后积分，当当 时，时，,tAA x0at481 1 通过等截面直肋的导热通过等截面直肋的导热l l已知：已知：矩形直肋矩形直肋肋跟温度为肋跟温度为t t0 0，且且t t0 0 t t 肋片与环境的表肋片与环境的表面传热系数为面传热系数为 h h.，h h和和A Ac c均保持均保持不变不变(Ac-Ac-截面积截面积)求：求：温度场温度场 t t 和热流量和热流量 六、六、通过肋片的导热通过肋片的导

28、热分析：分析：严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无内热严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无内热 源、常物性、第三类边条的导热问题。但由于三维源、常物性、第三类边条的导热问题。但由于三维 问题比较复杂，故此，在问题比较复杂，故此，在忽略次要因素忽略次要因素的基础上，的基础上，将将问题简化为一维问题问题简化为一维问题。简化：简化：a a 宽度宽度 l 且肋片宽度方向温度均匀且肋片宽度方向温度均匀 b b 大、大、H H，认为温度沿厚度方向均匀，认为温度沿厚度方向均匀边界：边界：肋根：第一类；肋端：绝热；四周：对流换热肋根：第一类；肋端：绝热；四周：对流换热50能量守恒：能量守恒：dxxxs

29、Fourier Fourier 定律：定律：xtAcxddxxtAxxcxxxxxdddddd22d()()sh Pdx ttNewtonNewton冷却公式：冷却公式：0)(dd22ttAhPxtc关于温度的二阶非关于温度的二阶非齐次常微分方程齐次常微分方程P：截面积周长510)(dd22ttAhPxtc导热微分方程：导热微分方程：混合边界条件：混合边界条件：0dd000 xHxttx时，时，引入过余温度引入过余温度 。令令ttconstcAhPm222ddmx则有：则有：方程的通解为：方程的通解为：mxmxecec21应用边界条件可得：应用边界条件可得：mHmHmHmHmHmHeeecee

30、ec0201)(ch)(ch0)()(0mHxHmeeeemHmHxHmxHm最后可得等截面内的最后可得等截面内的过余温度分布过余温度分布：xxxxxxxxeeeexeexeex)(th;2)(ch;2)(sh双曲余弦函数双曲余弦函数双曲正切函数双曲正切函数双曲正弦函数双曲正弦函数53稳态条件下肋片表面的散热量稳态条件下肋片表面的散热量 =通过肋基导入肋片的热量通过肋基导入肋片的热量000th()th()ccxdhPAAmmHmHdxm 肋端过余温度：肋端过余温度：即即 x x H H)(ch1)(ch)(ch00mHmHxHm54几点说明：几点说明：(1)(1)上述推导中忽略了肋端的散热上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。（认为肋端绝热）。对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若必须考虑肋端散热，取：必须考虑肋端散热，取：H Hc c=H H+/2/2(2)(2)上述分析上述分析近似认为肋片温度场为一维近似认为肋片温度场为一维。当当Bi=Bi=h h/0.05 0.05 时，误差小于时，误差小于1%1%。对于短而厚的肋片。对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传热系数面传热系数h h不是均匀一致的不是均匀一致的 数值计算数值计算