高等数学C3导数与微分课件

《高等数学C3导数与微分课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学C3导数与微分课件（86页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2013 2013 2013C1.函数与向量函数与向量C2.极限与连续极限与连续C4.中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用C5.定积分与不定积分定积分与不定积分C3.导数与微分导数与微分主要内容主要内容C8.微分方程微分方程C6.二重积分与曲线积分二重积分与曲线积分C7.无穷级数无穷级数C9.概率论基础概率论基础2013第三章导数与微分第三节第三节 高阶导数、高阶偏导数高阶导数、高阶偏导数第一节第一节 导数、偏导数及其运算导数、偏导数及其运算 第二节第二节 微分与全微分微分与全微分第四节第四节 参数方程与隐函数方程微分法参数方程与隐函数方程微分法习题课习题课2013 导数、偏导数及其运算导

2、数、偏导数及其运算 一、导数的定义一、导数的定义二、函数的求导运算法则二、函数的求导运算法则三、偏导数的概念与计算三、偏导数的概念与计算2013一、一、导数的定义导数的定义引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t则 到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落体运动xyo)(xfy C引例引例2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线)(:xfyCNT0 xM在 M 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M T(当 时)切线 MT

3、的斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 2013变化率问题引出导数的定变化率问题引出导数的定义义定义定义1.设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义,在点0 x处可导可导,在点0 x的导数导数.2013运动质点的位置函数)(tfs so0t)(0tf)(tft在 时刻的瞬时

4、速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线)(:xfyC在 M 点处的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx)(0tf)(0 xf 说明说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.20130limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在,在点 不可导.0 x若,lim0 xyx也称)(xf在0 x若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxx

5、fd)(d0就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.2013例例1.用定义推导下列求导公式:0)()1(C(C 为常数)解解:C xCCx0lim0即0)(C)N()()2(1 nnxxnn解解:hxhxnn )(0lim h(lim0 h1nx2 nxh32 nxh)1 nh1 nxnxxfxxf)()(0limx)(nx说明：说明：对一般幂函数xy(为常数)1)(xx（以后将证明）2013例如，例如，)(x,21x x1,12x )1(xx4743x现在先应用一般公式可以得到aaaxxln)()3(haaxhx 解解:)(xa0limhhaahxh)1(lim0 heaahhx1l

6、imln0 hahahxlnlim0 aaxln 特殊地,xxee )(2013hxhxhsin)sin(lim0 xxcos)(sin)4(解解:令,sin)(xxf 则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(coshxx1)(ln)5(解解:hxhxhln)ln(lim0)(ln x)1(lnxh0limhh1x1xelnx1x12013例例2.证明函数xxf)(在 x=0 不可导.证证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0

7、不存在,.0不可导在即xx例例3.设)(0 xf 存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解:原式0limhhhxf2)(0)(0 xf)(210 xf)(210 xf)(0 xf)(2 )(0hhxf)(0 xf20131.导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf xyo0 x),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf思考思考:曲线3xy 哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线131xy平行?写出其切线方程.0 x提示提

8、示:在原点(0,0)有垂直切线在点(1,1),(1,1)处,023 yx2013证证:设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在,因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在 x=0 处连续,但不可导.即2.一元函数的可导性与连续性的关系一元函数的可导性与连续性的关系处可导在点xxf)(定理定理1.处连续在点xxf)(2013在点0 x的某个右右 邻域内3.单侧导数单侧导数)(xfy 若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称

9、此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0(x)0(x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x=0 处有,1)0(f1)0(fxyoxy 定义定义2.设函数有定义,存在,2013定理定理2.函数在点0 x)(xfy,)()(00存在与xfxf且)(0 xf.)(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写为在点处右右 导数存在0 x定理定理3.函数)(xf)(xf在点0 x必 右右 连续.(左左)(左左)若函数)(xf)(af)(bf与都存在,则称)(xf显然:)(xf在闭区间 a,b 上可导,

10、)(baCxf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必要条件是且2013二、函数的求导运算法则二、函数的求导运算法则 1.函数的四则运算求导法则函数的四则运算求导法则具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且)()()()()1(xvxuxvxu)()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面省略证明,给出相应的推论和例题.)0)(xv2013和差法则可推广到任意有限项的情形.wvuwvu)(,例如)()1uC)()2wvu

11、uC wvuwvuwvu)log()3xaaxlnlnaxln1(C为常数)积法则可有推论:2vvCvC(C为常数)商法则可有推论:2013例例4.求解下列导数问题:解解:,3lnsin32)1(2 xxy.1xyy 及求 y0cos34 xxxxcos34 1 xy1cos34 ,)2(xxeyx 解解:y)(43 xex)()(4343 xexexxy 求414343 xexexx)43(41 xexx2013)(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin(3).求证,sec)(tan2xx证证:.cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(

12、sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx2013 )(xf2、反函数的求导法则、反函数的求导法则 y 的某邻域内单调可导,证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0)(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)(lim0yyxyxdd 1)(1yf11)(1yf1120131例例5.求反三角函数及指数函数的导数.解解:1)设,arcsin xy 则,s

13、in yx,)2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy,则2013在点 x 可导,3、复合函数求导法则、复合函数求导法则)(xgu)(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy)(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,例如,)(,)(,)(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.2013例例6.求下列导

14、数:;)()2(;)()1(xxx 解解:(1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3).设,)cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee(4).设,)1(ln2xxy.y求解解:y112xx11212xx2112x2013)1,0,0()5(babaaxxbbaybax两边取对数yln利用复合函数求导法则,两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb解解:即2013指数求导法指数求导法两边求对数)

15、()(xvxuy )ln(ln uveyuv对于幂指函数)ln(lnuuvuveuv )ln(uuvuvuv 对数求导法对数求导法)(ln)(lnxuxvy )(ln)()()(xuxvxvexuy uvuuvyy 两边求导)ln(uuvuvuyv 可以使用下列两种方法:即 其实对数求导法适合更一般的情形,如类似前例(5)复杂积商函数情形.2013初等函数的求导问题初等函数的求导问题 由常数和基本初等函数的导数公式(P76),有限次四则运算的求导法则 与复合函数求导法则可得结论:且导数仍为初等函数初等函数在定义区间内可导,2013三、三、偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法),(yxfz

16、在点),(),(lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数极限设函数x;),(00yxfx;),(00yxxz.),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:20130),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,),(,),(1yxfyxf

17、x),(,),(2yxfyxfy),(0 xf),(0 xfy记为yy00y或 y 偏导数存在,yzyfyz2013),(zyxfx例如例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.lim0 x),(zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为(请自己写出)2013二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0

18、处的切线斜率.是曲线yxz0 xyToxT0y0M对 y 轴的2013多元函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy00注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.2013例例7.求223yyxxz解法解法1:xz)2,1(xz解法解法2:)2,1(xz在点(1,2)处的偏导数.)2,1(yz,32yx yzyx23,82312)2,1(yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz2013例例8.设，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2

19、ln1 证证:xzyzxxzyxln1 例例9.求222zyxr的偏导数.解解:xryryyxx yz求证,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry2013偏导数记号是一个例例10.已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp,pTRV,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数),Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,2013 微分与全微分微分与全微分一、微分的概念与计算一、微分的概念与计算二、全微分的概念与计算二、全微分的概念与计算2013一、微分的概念与计算一、微分的概念与计算:引例引例:一块正方形金属

20、薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则,2xA面积的增量为220)(xxxA20)(2xxx关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边长由其定义定义1:若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy(常数A 不依赖于x)(xoxA的微分微分,则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd在点0 x可微可微,2013定理定理1 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy,)(0 xfA且即dxxfy)(d0 习惯上xx

21、d证证:必要性必要性已知)(xfy 在点 可微,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)(xoxA)(xfy 在点0 x可导,且充分性充分性:已知)(lim00 xfxyx)(xfy)(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(d0在点 的可导,0 x)0)(0时 xf则自变量的微分自变量的微分,为称 x记作2013说明说明:0)(0 xf时,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时,有近似公式x

22、yyd与是等价无穷小,当故当微分的几何意义切线纵坐标的增量xx0 xyo)(xfy 0 xyyd则有)(ddxfxy导数也叫作微商2013例如例如,3xy yd02.0d2xx23xxd02.0d2xx24.0,arctanxy ydxxd112由基本初等函数的求导公式可以推出对应的微分公式,又如又如,还可以得到下列的微分运算法则微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,则)(d.1vu)(d.2uC(C 为常数)(d.3vu)0()(d.4vvuvudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv2013分别可微,)(,)(xuufy)(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)

23、(d微分形式不变微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数2013例例1.求下列微分问题:,)1(ln)1(2xey 求.dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe(2)设,0)cos(sinyxxy求.dy解解:利用一阶微分形式不变性,有0)d(cos()sin(dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d)sin(cosyxxyxyxsin)sin(2013(3)在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd)d()1 tt dcos)d()2 221xtsin1说明说明:上述微分的反问题是不定

24、积分要研究的内容.CC注意:数学中的反问题往往出现多值性.29sin的近似值.(4)求180 x解解:设,sin)(xxf取300 x,6由18029sin6sin6cos)180(29sin2123)0175.0(485.0)()(00 xfxxfyxxf)(02013当xx,00很小时,xffxf)0()0()(由x1 )1()1xxxxx1 xsin)2 xe)3 xtan)4 )1ln()5xxxfxfxxfxf )()()()(0005245的近似值.解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048.3(5).计算xx1)1(常用近似公式常用近

25、似公式:可以推出2013二、全微分的定义与计算、全微分的定义与计算 定义定义2:如果函数 z=f (x,y)在定义域 D 的内点(x,y),(),(yxfyyxxfz可表示成,)(oyBxAz其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，称为函数),(yxf在点(x,y)的全微分全微分,记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.yBxA 1.全微分的定义全微分的定义2013(2)偏导数连续)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数 z=f

26、(x,y)在点(x,y)可微),(lim00yyxxfyx由微分定义:得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即2.可微的条件与连续性的关系可微的条件与连续性的关系:2013定理定理2 2(必要条件)若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微可微,则该函数在该点偏导数yzxz,yyzxxzzd必存在,且有反例反例:函数),(yxf注意注意:.偏导数存在函数 不一定可微 0,2222yxyxyx0,022 yx易知,0)0,0()0,0(yxff 但)0,0()0,0(yfxfzyx 22)()(yxyx0因此,函数在点(0,0)不可微.定理2 的逆定理不成立,即20

27、13定理定理3(充分条件)yzxz,若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.反例反例:函数),(yxf注意注意:.偏导数连续是可微的充分条件,但不是必要的!0,1sin)(222222 yxyxyx0,022 yx易知,0)0,0()0,0(yxff 且)0,0()0,0(yfxfzyx 1sin2 0但偏导函数在点(0,0)不连续.),(),(yxfyxfyx2013yyzxxzzd3.全微分叠加原理全微分叠加原理:若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微可微,常记为ydyzxdxzz d习惯上把自变量的增量用微分表示,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题

28、.例如,三元函数),(zyxfu 的全微分为ud记作uxdyyudzzudxxuduyduzd故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分偏微分.uuuzyxd,d,d2013例例2.求下列函数的全微分:在点(2,1)处的全微分.yxez 解解:xz222)1,2(,)1,2(eyzexzyexezd2dd22)1,2(2).计算函数的全微分.zyeyxu2sin解解:udxd1yyd)cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez(1)计算函数2013)(),(ttfz4.多元复合函数求导的微分法则多元复合函数求导的微分法则定理定理4.若函数,)(,)(可导在

29、点ttvtu),(vufz 处偏导连续,),(vu在点在点 t 可导,tvvztuuztzddddddz则复合函数且有链式法则vutt说明说明:1)若定理中 ),(),(vuvuf在点偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在,则定理结论不一定成立.2)若定理中 ),(),(vuvuf在点偏导数连续偏导数连续减弱为可微可微,则定理结论依然成立.2013推广推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微.tzdd321fff2)中间变量是多元函数的情形.例如,),(,),(,),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxt

30、tttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(,)(,)(twtvtu2013多元复合函数的全微分形式不变性多元复合函数的全微分形式不变性:设函数),(,),(,),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数)(fz),(,),(yxyxudvzvd都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.2013例例3.设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解法一解法一:xzv

31、eusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 )cos()sin(yxyxeyx解法二解法二:)(dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyxveusinvveudcos )cos()sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx)cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy可得出同样结论!2013例例4.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:)(222222zyxdeduzyx yxyxeyyxy2422si

32、n4)cossin(2)222(222zdzydyxdxezyx )sin222(2222yzdxydyxdxezyx )cossin2(2222222ydyxydxxzydyxdxezyx )cos(2)sin21(22222dyyzxydxyzxezyx yu xu yxyxeyxx2422sin22)sin21(2 2013例例5.设,sintvuz.ddtztzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu,costv 解解:tusintcos思考一下如何用其他方法呢?,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy例例6.已知求.),(22xy

33、yxf解解:由1),(2xxf两边对 x 求导02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf得由2013 高阶导数、高阶偏导数高阶导数、高阶偏导数一、高阶导数一、高阶导数二、高阶偏导数二、高阶偏导数2013一、高阶导数的概念与计算一、高阶导数的概念与计算)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)(sa引例引例：变速直线运动定义定义1.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)(yy或)dd(dddd22xyxxy)(xf的二阶导数二阶导数,记作y)(xf 的导数为则称类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的

34、导数称为 n 阶导数,依次类推,分别记作2013,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,例例1.求下列函数的n 阶导数:(1)设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232)1(nnxann依次类推,nnany!)(233xa可得思考思考:设,)(为任意常数xy?)(nynnxnx)1()2)(1()()(问2013nx)1(,3xaeay (2).设求解解:特别有:解解:!)1(n规定 0!=1思考思考:,xaey.)(ny,xaeay,2xaeay xanneay)(xnxee)()(3).设,)1(lnx

35、y求.)(ny,11xy,)1(12xy,)1(21)1(32xy )(ny1)1(n,)1(lnxy)(nynxn)1(!)1(,2013(4)设,sinxy 求.)(ny解解:xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n2013二、高阶偏导数的概念与计算二、高阶偏导数的概念与计算设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfy

36、zyzyyy则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数:2013类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzx,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理定理.本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.(证明略)例如例如,对三元函数 u=f(x,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzx

37、yyzx当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有2013yxe22例例2.求函数yxez2.23xyz解解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yzyxe2yxe22yxe2yxe22yxe24的二阶偏导数及 说明说明:函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等2013注意注意:,22xyzyxz但这一情形并不总成立.例如例如,),(yxf0,222222yxyxyxyx0,022 yx)0,0(yxf)0,0(xyf,1 1,022 yx当当,022 yx当当),(),(yxfyxfy

38、xyx 二者不等二者不等二者相等二者相等2013例例3.证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性,有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r02013为简便起见,引入记号,2121vuffuff),(1zyxzyxf例例4.设 f 具有二阶连续偏导数,),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解:令,zyxvzyxuxw),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f2222121

39、1)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 222013思考思考:设二阶偏导数连续,),(yxfu 证明下列表达式在极坐标系下的形式:22222)(1)()()(uuyuxu 2222yuxu22 u2221 u u12013 参数方程与隐函数方程微分法参数方程与隐函数方程微分法一、参数方程确定的函数求导一、参数方程确定的函数求导二、隐函数确定的函数求导二、隐函数确定的函数求导2013一、由参数方程确定的函数的导数一、由参数方程确定的函数的导数若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(,)(tt可导,且,0)()(22tt则0)(t时,有xyd

40、dxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数)关系,2013若上述参数方程中)(,)(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)(t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数.利用新的参数方程,可得)()()(ttt 例例1:,1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:求.dd22xy2013例例2.设)(tfx,且,0)(tf求.dd22xy ddxy)(tft)(tf ,t dd22xy1)(tf 解解:)(

41、)(tftfty)(,)(tyytxx为两可导函数yx,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:2013例例3.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?500h解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h=500m 时,1tan22tan1sec,2sec2tdd14050012114.0)minrad/(201331xy二、隐函数方程确定的函数求导二、隐函数方程确

42、定的函数求导若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数,由)(xfy 表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y2013例例4.求由方程03275xxyy)(xyy 在 x=0 处的导数.0ddxxy解解:方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x=0 时 y=0,故210ddxxy0确定的隐函数2013例例5

43、.求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即03843 yx2013例例6)4)(3()2)(1(xxxxyuuu)ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x解解:,求导函数?2013 下面利用偏导数来考虑隐函数方程确定的函数求导问题.定理定理1.1.设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数

44、y=f(x),)(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略.具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数2013例例7.验证方程01sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数,)(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解:令,1sin),(yxeyyxFx,0)0,0(F,yeFxx连续,由 定理1 可知,1)0,0(yF0,)(xfy 导的隐函数 则xyFy cos在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0,0yx0dd22xxy)cos(

45、ddxyyexx100yyx320130 xy30dd22xxy)(,01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x=0,注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0,0(cosxyyex导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导2013定理定理2.若函数),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数,则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数,),(000yxfz 定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略.满足0),(000zyxF0),(000zyxF

46、z 在点满足:某一邻域内可唯一确2013例例8.设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)(2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导2013解法解法2 利用公式设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz2013 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形,但这里仅给出实例解法,对Jacobi行列式表达形式只作简单介绍!0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yx

47、vvyxuu由 F、G 的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即下例方法的一般化可推出P92 定理3 的结论.2013例例9.设,1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习:求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有2013P92 1(1)(2),2(1)(3),3(1)(3)(5)(6);作业作业P93 4(2)(4)(6)(7),5(2)(3)(4),6;P93 7(1)(3)(4),8,9(2);P95 18(2)(4),19(1)(4),20;P95 21(2),22;P95 23(1)(2),24(2)(4)(5),25;P94 10(2)(3),12,13(1)(2),15,16(2);P96 27,30;