椭圆的几何性质（4课时）

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1、课题212椭圆的简单几何性质(1)上课日期： 主稿人： 邱仕军 审核人：丁莹莹星期 三维目标知识与技能1、 了解用方程的方法研究图形的对称性；2、 理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念.过程与方法通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质,培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力.情感态度与价值观培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新 教学重点椭圆的简单几何性质及其探究过程教学难点利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出教学过程（导入、授课内容、总结、作业、板书设计）备注1、创设情景、引入概念（多媒体演示）体育场的平面图、卫

2、星绕地球运行的动画，描绘出运行轨迹。提问：体育场的外墙、卫星的运行轨迹是什么图形？请同学再列举一些椭圆形的例子，教师指出椭圆在生活中很常见，今天我们就一起学习-椭圆（给出课题）。教师指出：通过前面的学习知道，圆是平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹，那么椭圆又是满足什么条件的点的轨迹呢？我们一起来探究。2、尝试探究、形成概念让学生拿出课前准备的纸板、细绳、图钉，设问：用这些工具如何来画椭圆呢？教师先用多媒体演示画法，再让学生动手，使其尝试到成功的喜悦，同时提醒学生注意绳长要大于两图钉之间的距离。依据上面的作图实践及多媒体演示的画法，请学生思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹？教师启发、提问，并由

3、学生归纳出椭圆的定义。3、新课讲授过程（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质 （ii）椭圆的简单几何性质 范围：由椭圆的标准方程可得，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲

4、线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（），； 3、 例题讲解（书本P46例4、例5）4、 椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。5、作业P49 2,3反思课题212椭圆的简单几何性质(2)上课日期： 主稿人： 邱仕军 审核人：丁莹莹星期 三维目标知识与技能1、进一步掌握椭圆的几何性质2、理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的准线方程及准线的几何意义，进一步理解离心率的几何意义。过程与方法通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质, 掌握用坐标法求曲线方程及由方程研究图形性质的方法.情感态度

5、与价值观培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新 教学重点椭圆的第二定义及性质教学难点利用数形结合、分类讨论、类比的思想、特殊到一般给出椭圆第二定义教学过程（导入、授课内容、总结、作业、板书设计）备注1、复习回顾前一节学习了椭圆的几何性质，大家回忆一下：椭圆的几何性质的内容是什么？注意：椭圆的焦点一定在椭圆的长轴上。什么叫做椭圆的离心率？ec/a2、探索研究(按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师书写)解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合由此得将上式两边平方，并化简，得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)设a2c2b2,就可化成x2/a2y2/b21，这是椭圆

6、方程，所以点M的轨迹是长轴长为2a，长轴长为2b，焦点在x轴上的椭圆。小结：椭圆的第二定义：当点M与定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e=c/a(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。对于椭圆x2/a2y2/b21，相应于焦点F2(c,0)的准线方程是l：xa2/c，根据椭圆对称性，相应于焦点F1(c,0)的准线方程是l：xa2/c；对于椭圆x2/ b 2y2/ a 21，相应于焦点F2(0,c)的准线方程是l：ya2/c，根据椭圆对称性，相应于焦点F1(0,c)的准线方程是l：ya2/c。离心率的几何意义是：椭圆上的点M与焦点F

7、和它到准线l(与焦点F相对应的准线)的距离的比。指导学生归纳知识一览表（见几何画板）3、反思应用例1已知椭圆x2/100y2/361上一点P到其左、右焦点距离的比为13，求点P到两条准线的距离。分析：由椭圆标准方程可知a10，b6，c8，ec/a4/5。|PF1|PF2|20，|PF1|PF2|13，|PF1|5，|PF2|15设点P到左准线的距离为d1, 点P到右准线的距离为d2,根据椭圆的第二定义，有d1|PF1|/e25/4，d275/4。变：已知椭圆x2/100y2/361上一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，求|PF1|、|PF2|。小结：点P(x0,y0)是椭圆x2/a2y2/

8、b21上的一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，点P到左准线的距离为d1, 点P到右准线的距离为d2，则d1a2/cx0, d2a2/cx0,|PF1|ed1aex0，|PF1|ed2aex0。已知椭圆x2/100y2/361内有一点P(2，3), F2为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使的值最小，求点M的坐标。4、归纳总结数学思想：数形结合、分类讨论、类比的思想、特殊到一般数学方法：图象法、公式法、待定系数法、知识点：范围、顶点、对称性、离心率、椭圆第二定义、焦半径5、课后作业:课时训练. 反思课题212椭圆的简单几何性质(3)上课日期： 主稿人： 邱仕军 审核人：丁莹莹星期 三维目标知识

9、与技能1.理解直线与椭圆的各种位置关系；2.掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；3.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧。过程与方法通过利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系。情感态度与价值观进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想。教学重点理解并会判别直线与椭圆的各种位置关系。教学难点利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等问题。教学过程（导入、授课内容、总结、作业、板书设计）备注（一）设置情境 导入新课在初中已经研究过直线与圆的各种位置关系，通常用圆心到直线的距离的变化来判断直线与圆的各种不同的位置关系

10、.但这种方法能用于直线与椭圆的位置关系的讨论吗？不能！那么怎么办？将两个方程联立，转化为一个关于x (有时也可以转化为关于y)的一元二次方程来研究、讨论.而我们对一元二次方程是比较熟悉的，那么今天就是用熟悉的“武器”来研究、讨论、解决陌生的直线与椭圆的位置关系及其有关问题.（二）探索研究问题1： 当实数m分别取何值时，直线l：y=x+m与椭圆9x2+16y2=144 相交、相切、相离？分析：将直线和椭圆的方程联立，得关于x的一元二次方程25x2+32mx+16m2-144=0，=576(25- m2)，当(1)0，即 -5m5时，直线l与椭圆相交；(2)=0，即m=5，或m= -5时，直线l与

11、椭圆相切；(3)0，即m5，时，直线l与椭圆相离. 将曲线位置关系的研究的问题转化为方程根的讨论的问题，这是本节课的核心。在不同的范围内取值时，决定了直线与椭圆的不同的位置关系，体现了量变到质变的哲学思想。APBlC问题2： 过椭圆内一点M(2，1)作椭圆的弦，点M恰为该弦的中点，求该弦所在直线l的方程(如图)。问题3 ： 椭圆C的焦点分别为F1(-2，0)、F2(2，0)，椭圆E以C的焦点为焦点，且过直线x+y-9=0上的一点P，当椭圆E的长轴最短时，求椭圆E的方程.问题4的变式 ： 将直线OM的斜率改变为，将条件“OAOB”改为“弦AB的长|AB|为”，求椭圆的方程.（三）课堂练习 （四）

12、提炼总结1.解决椭圆与直线的位置关系的问题时，一般是将曲线问题转化为方程或方程组的问题，从而以“数”为工具解决“形”的问题，这种“数”与“形”之间的互相转换是多种数学思想的充分体现；2.在解决有关问题时，首先要努力设法运用常规的方法，即“通性、通法”，这是学习数学的一条最重要的准则，所以必须熟练掌握有关的基础知识和基本技能，并努力做到融会贯通和灵活运用；3.解决这类问题并不需要多么高的智商，只要基础比较扎实，再加上个人的良好的个性品质，就能做到无往而不胜.（五）作业布置 P48 6,7 反思课题212椭圆的简单几何性质(4)上课日期： 主稿人： 邱仕军 审核人：丁莹莹星期 三维目标知识与技能（

13、1）能解决弦中点等有关问题； （2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。过程与方法（1） 综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题。（2） 通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。情感态度与价值观（1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。 （2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。 教学重点点差法适用范围教学难点（1）弦中点问题的求解思路灵活运用（2）双曲线的中点弦存在性问题；（3）弦中点的轨迹应在曲线内。教学过程（导入、授课内容、总结、作业、板书设计）备注

14、1、创设情景、引入概念引言：我们把不能解决的案子，称为悬案。在圆锥曲线中也有三大弦案:中点弦、直角弦、焦点弦。今天我们学的就是中点弦。2、新课讲解 A，例题引导例1、过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在的直线方程 请学生口述过程，找到处理这种问题的所在方法 例2、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。请学生演板，学生只求出直线方程。两位同学用了二种方法，一种韦达定理，一种点差法 B、归纳总结问题1：例题1中的直线是不是也要验证呢？问题2是否也可以不验证0而只需通过点M与双曲线的位置关系来判断呢？也就是说中点弦的存在是否只与中点（定点）的位置有关呢答：可以。如果点

15、M在双曲线的内部，那么以该点为中点的弦一定存在，此时不需验证；如果点M在双曲线的外部（如问题2），那么以该点为中点的弦可能存在也可能不存在，此时必须验证0。 师：归纳得很好，操作性很强。以后再求解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再验证0是否成立，也可通过定点与椭圆、双曲线的位置关系来判断以定点为中点的直线是否存在。不过对于解答题，从考试得分的角度看，还是借助于判别式判断较为稳妥。注意1解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再验证0是否成立。在求范围，考虑直线存在性，求多个值去增根时我们用得较多。由例2请学生总结韦达定理法和点差法到底哪一种更好？生：点差法好，运算简单，形式有美感那么双曲线中我们是否有相应的结论呢？请学生分小组总结，并寻找记忆公式方法。定理2(椭圆中点弦的斜率公式)：设为椭圆弦（不平行且垂直轴）的中点，则有： 3、比较点差法和一般方法的优势及注意事项小结前两个题为什么我们可以用点差法?请演板的同学回答生：例1 是知弦中点坐标，曲线方程，求弦斜率生：例2 是知弦斜率，曲线方程，求弦中点总结：这三者知二而求一，这是用点差法的依据4、例题讲解：全优设计活动探究3及迁移与应用。5、小结：点差法步棸。6、作业布置：课时训练。反思