推荐理论力学空间力系与重心

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1、Theory of Mechanics 理论力学理论力学第四章第四章空间力系和重心空间力系和重心231.Fx=FcosFy=FcosFz=Fcoscos2+cos2+cos2=1参见动画：空间力在正交轴上的投影参见动画：空间力在正交轴上的投影4 Fx=Fsin cosFy=Fsin sinFz=FcosFxy=Fsin 参见动画：二次投影法参见动画：二次投影法5 参见动画：例题参见动画：例题1(1)6 Fxy=Fcos30oFx=-Fcos30ocos45oFy=Fcos30osin45oFz=Fsin30o参见动画：例题参见动画：例题1(2)78参见动画：参见动画：圆柱斜齿轮受力分析圆柱斜齿

2、轮受力分析9cos sinnnFFFFxyz10 coscos cos sincos sinnnFFFFFFxyyxyxkFjFiF)sin()coscos()sincos(nnnFFFzyxcossinnnFFFFxyz11空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。用线通过汇交点。niinRFFFFFF1321kFjFiFFziyixiR合力合力FR的大小为的大小为:222)()()(ziyixiRFFFF合力合力FR的方向余弦为的方向余弦为:RziRyiRxiFFFFFFcos,cos,cos12kN 6kN 2kN 1kN

3、 4kN 3,kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10,kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1zyxFFFF1F2F3F4单位Fx1202kNFy1015510kNFz3412kN13kN 6,kN 30,kN 5zyxFFFkN 31kN 6305222RF316,cos3130,cos315,cosRRRkFjFiF8.78,6.14,7.83,RRRkFjFiF14000zyxFFF空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。即01niiRFF空间汇交力系平衡的必要和充分条件

4、为：该力系的该力系的合力等于零。合力等于零。称为平衡方程称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程15参见动画：例题参见动画：例题41617030 cos30 sin45 cos30 sin45 cos,0030cos45 cos30 cos45 cos30 sin,0045 sin45 sin,021 2121GFFFFFFFFFFFAzAyxkN 66.8kN 3.5421AFFF18OABOAdFFM2)(矢量的模：矢量的模：矢量的方位：矢量的方位：和力矩作用面的法线方向相同和力矩作用面的法线方向相同矢量的指向：矢量的指向：由右手螺旋法则确定由右手螺旋法则确定力对点的矩矢等

5、于矩心到力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢该力作用点的矢径与该力的矢量积。量积。力矩矢力矩矢FrFMO)(参见动画：参见动画：空间力对点的矩空间力对点的矩19kzj yi xr由于zyxOFFFzyxkjiFrFM)(xyzOzxyOyzxOyFxFFMxFzFFMzFyFFM)()()(kFjFiFFzyxkyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()(力矩矢不可任意移动为定位矢量。力矩矢不可任意移动为定位矢量。20 力对轴之矩：是使物体绕轴转动效应的度量。力对轴之矩：是使物体绕轴转动效应的度量。21OABxyxyOzAdFFMFM2)()(参见动画：参见动画：力对轴的矩

6、力对轴的矩(1)22右手螺旋法则：右手螺旋法则：拇指指向与拇指指向与z轴一致为正，反之为负。轴一致为正，反之为负。1、定义、定义参见动画：参见动画：力对轴的矩力对轴的矩(2)23当力与轴在同一平当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩面时，力对该轴的矩等于零。等于零。参见动画：参见动画：力对轴的矩等于零力对轴的矩等于零24 xyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFMFFF如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则)()()(yzxzxyOzMMMMFFFF(xyzyFxFMF参见动画：参见动画：力对轴的矩解析表达式力对轴的矩解析表达式25三、力对点的矩与

7、力对通过该点的轴的矩的关系三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对于力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对于该轴的矩。该轴的矩。)()()()()()(FMFMFMFMFMFMzzOyyOxxOkFMjFMiFMFrFMzOyOxOO)()()()(kFMjFMiFMzyx)()()(又由于所以力对点所以力对点O的矩为：的矩为：222)()()()(FMFMFMFMzyxO力对点之矩的计算可以先计算力对轴之矩，然后自用上式来力对点之矩的计算可以先计算力对轴之矩，然后自用上式来求力对点之矩。求力对点之矩。)()(cos,)()(cos,)(

8、)(cosFMFMFMFMFMFMOzOyOx26参见动画：参见动画：例题例题527 sincos cos blFCDABFMMFlBCFMMblFCDABFMMxxzzzZyyzZxxFFFFFF FFF FFzyxcos0sin280,zblylx cos,0,sinFFFFFzyx sin sin0 cos cos0 cos0 cos blFFblyFxFMFlFlxFzFMblFFblzFyFMxyzzxyyzxFFF29在轴在轴AB的手柄的手柄BC的一端的一端作用着力作用着力F，试求这力对试求这力对轴轴AB的矩。已知的矩。已知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50N，且且=45

9、，=60。30 mN 18.3 FFBABMM cos cosBCF311212FFFF1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1 1）大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（2 2）方向：转动方向；方向：转动方向；（3 3）作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。32力偶矩矢力偶矩矢FrMBA33作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。则它们彼此等效。3F3Fxzy3F3F空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而空间力偶可以平移到与其作用面平行

10、的任意平面上而不改变力偶对刚体的作用效果；不改变力偶对刚体的作用效果；可以同时改变力与力偶臂的大小或将在其作用面内任可以同时改变力与力偶臂的大小或将在其作用面内任意移转，意移转，只要力偶矩矢的大小只要力偶矩矢的大小、方向不变，其作用效果不、方向不变，其作用效果不变。变。力偶矩矢是空间力偶系的唯一度量。力偶矩矢是空间力偶系的唯一度量。二、空间力偶等效定理二、空间力偶等效定理34任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。矢等于各分力偶矩矢的矢量和。niinMMMMMM1321;222zyxMMMM三、空间力偶系的合成

11、与平衡条件三、空间力偶系的合成与平衡条件即：即：MMMMMMzyxcos,cos,cosniizzniiyyniixxMMMMMM111;合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦1、空间力偶系的合成、空间力偶系的合成35，36mN 1.19345 cos45 cosmN 80mN 1.19345 cos45 cos5412543MMMMMMMMMMzyxmN 6.284222zyxMMMM6786.0cos2811.0,cos6786.0,coskMjMiM,A参见动画：参见动画：空间力偶系的合成空间力偶系的合成370iMM01nixM2、空间力偶系的平衡条件、空间力偶系的平衡条件

12、空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。即：即：01niyM01nizM空间力偶系的平衡方程空间力偶系的平衡方程空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系中的所空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系中的所有力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。有力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。38 图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F 1）的矩M1=20 Nm；力偶（F2，F 2）的矩M2=2

13、0 Nm；力偶（F3，F 3）的矩M3=20 Nm。试求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。F1F2F31F3F2F390321xxxxMMMMmN 2.11321yyyyMMMMmN 2.41321zzzzMMMM参见动画：参见动画：例题例题1140mN 7.42222zyxMMMM90,0,cosiMiMMMx8.74,262.0,cos jMjMMMy2.15,965.0,coskMkMMMzM1M2M341参见动画：参见动画：力系向点简化力系向点简化42)(FMMFFOiiii=1，2，n43空间任意力系向一点空间任意力系向一点O简化，可得一力和一力偶。这简化，可

14、得一力和一力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心；这力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。中心；这力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位主矢与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。置有关。kFjFiFFFniziniyinixiniiR1111iniiiniOniiOFrFMMM111)(kFyFxjFxFziFzFyMnixiiyiiniziixiiniyiiziiO111)()()(44RxFRyFRzFOxMOyMOzM俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头偏航力矩

15、偏航力矩飞机转弯飞机转弯滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x轴滚转轴滚转侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移有效升力有效升力飞机上升飞机上升有效推进力有效推进力飞机向前飞行飞机向前飞行空间力系简化的实际意义空间力系简化的实际意义参见动画：参见动画：空间力系简化的实际意义空间力系简化的实际意义45（1 1）若）若 则力系可合成一个则力系可合成一个合力偶合力偶，其矩等，其矩等于原力系对于简化中心的主矩于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置此时主矩与简化中心的位置无关无关。0,0ORMFRF（2 2）若）若 ，则力系可合成为一个，则力系可合成为一个合力合力，主矢，主矢 等于原力系合力矢等于原力系

16、合力矢 ，合力，合力 通过简化中心通过简化中心O点。点。（此时与（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）0,0ORMFRFRF0,0ORMF（3 3）若若 此时分三种情况讨论此时分三种情况讨论。即：即：ORMFORMF/既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时ORMF与46ORMdF合力作用线距简化中心为合力作用线距简化中心为d可进一步简化为一合力。可进一步简化为一合力。若若ORMF0,0ORMF0,0ORMF若若 ORMF/为力螺旋的情形为力螺旋的情形（又移动又转动）（又移动又转动）力螺旋中心轴过简化中心力螺旋中心轴过简化中心47参见动画：参见动画

17、：用改锥拧螺钉时施加的力螺旋用改锥拧螺钉时施加的力螺旋参见动画：参见动画：钻头钻孔时施加的力螺旋钻头钻孔时施加的力螺旋48sinORMdF时，空间力系为平衡力系时，空间力系为平衡力系0,0ORMF当当力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为当当 既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时ORMF与（4 4）若）若拧螺丝拧螺丝炮弹出膛时炮弹螺线炮弹出膛时炮弹螺线49空间任意力系平衡的必要和充分条件是：该力系的主空间任意力系平衡的必要和充分条件是：该力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。矢和对于任一点的主矩都等于零。1.空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程0,0,00,0,0zyxzyx

18、MMMFFF空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程0,0,0yxzMMF2.2.空间约束类型举例空间约束类型举例P88表4-150参见动画：参见动画：球铰约束结构以及约束球铰约束结构以及约束力与示意简图力与示意简图参见动画：参见动画：带有销子的夹板带有销子的夹板513.解题步骤、技巧与注意问题解题步骤、技巧与注意问题：1)解题步骤解题步骤：选研究对象选研究对象 (与平面的相同与平面的相同)画受力图画受力图 选坐标、列方程选坐标、列方程 解方程、求出未知数解方程、求出未知数 4.4.空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例 2)解题技巧解题技巧：用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。用取矩轴代

19、替投影轴，解题常常方便。一般从整体一般从整体局部的研究方法。局部的研究方法。525354 55,0 X030sin)(43FFFFBxAx,0Z0)(30 cos)(2143FFFFFFBzAz,0 xM075.030 cos)(25.125.043FFFFBZAZ,0yM02.0)(4.0)(4321FFFF,0zM075.030 sin)(25.125.043FFFFBxAx56,0 xF030sin)(43FFFFBxAx,0Z0)(30 cos)(2143FFFFFFBzAz,0 xM0130cos)(5.125.0)(4321 FF FFFBZ,0yM02.0)(4.0)(4321

20、FF FF,0zM0130sin)(5.143 FF FBx575802.0)(4.0)(4321 FF FF,0OM59,0AM0130cos)(5.125.0)(4321 FF FFFBZ,0zF0)(30 cos)(2143FFFFFFBzAz600130sin)(5.143 FF FBx,0 xF030sin)(43FFFFBxAx,0AM61 空间平行力系，当它有合力空间平行力系，当它有合力时，合力的时，合力的作用点作用点C 就是此就是此空间空间平行力系的中心平行力系的中心。一、空间平行力系的中心一、空间平行力系的中心由合力矩定理由合力矩定理：niiOROFMFM1)()(nnRCF

21、rFrFrFr2211 物体重心问题可以看成是空物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例间平行力系中心的一个特例。62niFFFFFFiiRR,2,1,00令nnCRrFrFrFrF2211iiiRnnCFrFFrFrFrFr2211RiiCRiiCRiiCFzFzFyFyFxFx ,:投影式nnRCFrFrFrFr221163二、重心坐标公式二、重心坐标公式重心就是平行力系的中心。重心就是平行力系的中心。PPzzPPyyPPxxiCiCiC,VzdVzVydVyVxdVxVcVcVc,1 1重心坐标的一般公式重心坐标的一般公式2 2均质物体的重心坐标公式均质物体的重心坐标公式这时的重

22、心称为643薄壳的重心薄壳的重心SzdSSSzzSydSSSyySxdSSSxxSiicSiicSiic4均质等截面细杆的重心均质等截面细杆的重心这时的重心称为lzdlllzzlydlllyylxdlllxxliicliicliic这时的重心称为65三、物体重心的求法三、物体重心的求法1 1简单几何形状物体的重心简单几何形状物体的重心 对称性对称性:矩形矩形,圆圆 查表查表表表6-2 P1232用组合法求物体的重心用组合法求物体的重心组合物体由简单几何图形的物体组合而成，而这些物体组合物体由简单几何图形的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，利用重心坐标公式即可求出组合形物体的的重心是已知的

23、，利用重心坐标公式即可求出组合形物体的重心。重心。若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的重心，可若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的重心，可应用分割法，只是切去部分的面积（或体积）应取负值。应用分割法，只是切去部分的面积（或体积）应取负值。（1 1）分割法）分割法（2）负面积法（负体积法）负面积法（负体积法）663用实验法求物体的重心用实验法求物体的重心对于形状复杂不易用公式计算的物体，工程中还采用实对于形状复杂不易用公式计算的物体，工程中还采用实验方法来测定复杂形状物体的重心验方法来测定复杂形状物体的重心 （1）悬挂法）悬挂法两直线相交于点两直线相交于点C即为重心即为重心 图图a中左右

24、两部分的重量是否一定相等？中左右两部分的重量是否一定相等？67（2）称重法）称重法22211CFFzrlHPH1CP xF l1CFxlP则则2CFxlP有有整理后，得整理后，得68解解：由于对称关系，该圆弧重心必在由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即轴，即yC=0。取微段取微段dRdLLdLxxLCsinRxC求半径为求半径为R，顶角为顶角为2 的均质圆弧的重心的均质圆弧的重心。RdR2cos 2cosRx O69解解：方法：利用积分来求重心；方法：利用积分来求重心；又：求半径为求半径为R，顶角为顶角为2 的均质扇形面积的重心的均质扇形面积的重心。方法：利用刚才所求弧方法：利用刚才所求弧长

25、长 重心的结果：重心的结果：sin32RxC即为半园形面积若,234RxC重心：即：R32OdA求半径为求半径为 弧长的重心，弧长的重心，sinRxC70将将图图形截面分割为三部分，形截面分割为三部分，每部分都是矩形。设坐标每部分都是矩形。设坐标Oxy，它们的面积和坐标分别为：它们的面积和坐标分别为：A1=1030=300（cm2）；x1=-15（cm），y1=45（cm）A2=4010=400（cm2）；x2=5（cm），y2=30（cm）A3=3010=300（cm2）；x3=15（cm），y3=5（cm）71)(2 cmSAxxiic)(27 cmSAyyiicA1=1030=300（c

26、m2）；x1=-15（cm），y1=45（cm）A2=4010=400（cm2）；x2=5（cm），y2=30（cm）A3=3010=300（cm2）；x3=15（cm），y3=5（cm）72设坐标设坐标Oxy，其中其中Oy轴为对轴为对称轴。根据对称法性，称轴。根据对称法性，xC=0。将偏心块分割为三部分：将偏心块分割为三部分：半径为半径为R的半圆的半圆半径为半径为（r+b）的半圆的半圆半径为半径为r的小圆的小圆解：解：73y3=0221RS341Ry 2)(22brS3)(42bry23rS半径为半径为R的半圆的半圆半径为半径为（r+b）的半圆的半圆半径为半径为r的小圆的小圆74偏心块重心偏心块重心C的坐标分别为：的坐标分别为：xC=0，yC=3.9（cm）)(9.3)3.1310(3)310(4)(3)(4)(2)(2)(02)(3)(42342223322233222222321332211cmrbrRbrRrbrRrbrbrRRSSSSySySySSyyiic75