教育专题：椭圆及其标准方程教案

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1、课题：椭圆及其标准方程授课教师：王建华 材料：人教社高中数学必修教材试验修订本第二册一 教材分析（一）：教材所处的地位和作用 “椭圆及其标准方程”是人教社高中数学必修教材试验修订本第二册第八章第一节的内容，教学对象为高二学生。椭圆及其标准方程有着广泛的实际应用，例如太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道等等,所以它在新教材中保留了下来。本节课是本章的重点，从知识体系上看，椭圆及其标准方程有着承前启后的作用：它是曲线与方程和圆这些内容的的延续，圆实质上是一种特殊的椭圆；学习椭圆又为进一步学习双曲线，抛物线等内容打下基础。 从思想方法上看，它是培养提高学生思维能力的好题材。学习椭圆要动手、观察、分析、

2、概括，要综合运用前面的知识解决圆锥曲线的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。（二）教学内容本节是利用椭圆的定义推导椭圆的标准方程，能运用椭圆定义及方程推导解决简单的运用。（三）教学目标（1）知识目标：掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程； 能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程。 （2）能力目标： 通过类比圆的性质引入椭圆，培养学生知识的迁移能力。 通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力，通过对定值范围的讨论培养学生思维的严密性。 通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法

3、，提高运用坐标法解决几何问题的能力。（3）情感目标：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识通过小组讨论，培养学生的合作交流能力（四）：教材的重点、难点重点：椭圆定义及其标准方程说明：（1）利用电脑动态演示两焦点位置的改变而引起椭圆形状变化，以及定值变化而产生的变化，以加深对定义的理解。（2） 通过例题以及练习加深对标准方程的运用。难点：椭圆标准方程的推导（1）坐标系的建立：利用椭圆对称性以及类比圆的方程建立坐标系，对学生提出的其它方法作为作业让其课后思考。（2）根式方程化简：让学生自己动手去用不同的方法实践，教师根据学生的不同特点帮助不同

4、的学生完善自己的思路，然后让学生展示小结根式方程化简的常规处理方法，针对每种不同的方法进行小结。（3）配合图形的几何含义启发学生理解a,c的含义，以此来引入c，使方程形式简单。（4）让学生练习推导焦点在y轴的情况，以检验学习情况。二：学生的现状分析（1） 知识结构 1：学生已掌握了求曲线方程的一般思路，可以自己推导椭圆方程。 2：学生已有根式以及代数方程的化简能力。（2） 年龄特点 1；好奇心强，喜欢动手操作，对亲身经历产生深刻的印象。 2：表现欲强，喜欢展示自己的成果。三：教学方法 通过类比圆的性质引出椭圆定义；引导学生动手实验得到椭圆图形；利用学过曲线与方程思想，采用启研的方法，让学生讨论

5、得到椭圆标准方程；利用数形结合的思想拓展学生思维，引导学生下一步对椭圆性质的研究；同时充分利用现代教育手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率。四：教学过程一、 复习引入1、在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线。曲线和方程的关系是什么?如果曲线上任意一点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，同时以方程f(x，y)=0的解为坐标的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线。2、圆的定义是：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆?【教案设计说明】：椭圆也是一种曲线，所以前面所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标

6、准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念 平面上到两个定点(距离为2R)距离的平方和等于定值a(a=(2R)2)的点的轨迹是圆,由此引导学生猜想平面上到两个定点距离的和等于定值a的点的轨迹是什么？3、拿出细绳和画板演示实验4、电脑展示太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，让学生动手削圆萝卜，观察它的切片。【教案设计说明】：数学来源于实践，利用3让学生动手画图得到直观认识。培养学生自己解决问题的能力。通过4的展示让学生发现椭圆在生活中的重要性，从而激发他们探究的兴趣。 二讲授新课 1、引出定义请学生再次观察并思考两个问题。 (1)动点是在怎样的条件下运动的?(2)动点运动出的轨迹是什么?是否到两个

7、定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢? 当两个定点位置变化时，轨迹发生了怎样的变化?（小组讨论）【教案设计说明】当两个定点重合时，轨迹变化为圆；可见圆是椭圆的特例。当定值等于两个定点间的距离时，轨迹是一条线段。当定值小于两个定点间的距离时，无意义。培养学生思维的严密性。 观察计算机演示“通过两焦点位置的改变而引起椭圆形状变化的课件”，首先从一个点分裂为两个点，曲线从圆变成椭圆；随着两点间距离的增大，椭圆越来越扁，直到动点到此两点距离之和恰好等于两点间距离时，动点的运动曲线变成了线段，然后随着两点间距离的缩小，曲线再变成椭圆；当两点重合时，曲线又变成了圆，如此反复。从而启发学生发现椭圆定

8、义中的条件，然后师生共同小结，教师可用投影进行完整的总结。 在平面上到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹为 最后由学生口述教师板书：把平面内与两个定点距离之和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，其中。两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c(c0)表示。【教案设计说明】：利用计算机动态的演示变化过程，让学生产生直观的印象，加深对知识的理解。同时让学生明白各种知识、事物都是相互联系的，学会知识的融会贯通。2推导椭圆的标准方程。(1)建立适当坐标系推导椭圆方程【教案设计说明】：（i）复习求曲线方程的一般步骤： 建立坐标系设动点坐标： 寻找动点满足的几何条件； 把几何条件坐标化； 化简得方程； 检验其完备性。（i

9、i）观察图形的对称性合理建立坐标系 取一个定点为原点，以所在直线为x轴建立直角坐标系， 以所在直线为y轴，线段的中点为原点建立直角坐标。 以所在直线为x轴，线段的中点为原点建立直角坐标系，最后选定此方案。（2）方程式的化简（让学生自已讨论，教师解答） 解：以所在直线为x轴，线段的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)， 则M满足：， 坐标化即：两边平方得： ， 即两边再平方得： ， 整理得：。【教案设计说明】：（i）小结根式处理的一般步骤方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有

10、一个根式考虑共轭根式（*）（#）由（*）（#）式得 （+）平方得整理得：。(ii)此形式还不够简洁，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢? (这里，数学审美成为研究发现的动力。) 学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图228，a与c可以看成Rt的斜边和直角边。令，则方程就变形为 (ab0)注意椭圆方程中a,b,c的几何含义（iii）观察（+），提醒学生正确理解本式，为椭圆的第二定义打下基础(iv)自己根据对称性猜想焦点在y轴上的椭圆方程,然后练习推导（v）Ax2+By2=C方程中只要A,B,C同号就是椭圆方程，注意焦点在哪个轴上要

11、根据A，B，C的大小判断，如2x2+3y2=5(vi) 椭圆也是一种曲线，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析。三：例题与练习 例1 平面内两个定点间的距离为8，写出到这两个定点距离之和为10的点的轨迹方程。(由学生完成) 解

12、 所求轨迹是椭圆，两个定点为焦点，用表示，不妨以所在直线为X轴，线段的中垂线为Y轴，建立直角坐标系，则2a=10，2c=8，因为 故所求轨迹方程为。 (另一种情况也可以，但只有一解。) 【教案设计说明】：1，简单复习利用所有知识。2，很多学生不建立坐标系就写出了方程。强调建立不同的坐标系会得到不同的方程，因此当题目中没有给定坐标系时，首先应选择合适的坐标系。 课堂练习1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程(其中(1)、(2)学生回答)。 (1)a=4，b=1，焦点在x轴上； 答：所求方程为：。 (2)a=4，焦点在y轴上； 答：所求方程为：。 (2)两个焦点的坐标分是：（-2，0）和(2，0)，

13、且经过； 略解2c=4，故设所求方程为。 因为经过求得， 故所求方程为。 例2 已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程。 解 已知圆化为： 圆心Q(3，0)，r=8，所以P在定圆内。 设动圆圆心为M(x，y)，则为半径。 又圆M和圆Q内切，做， ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以2a=8，故动圆圆心M的轨迹方程是：。 课堂练习2： 已知：ABC的一边长BC=6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。 略解 以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角坐标系，设顶点A(x，y)，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得顶点A的轨

14、迹方程为（y0）（特别强调检验）因为A为ABC的顶点，故点A不在x轴上，所以方程中要注明y0的条件。【教案设计说明】利用此题进一步加深对椭圆定义的理解。四、小结 1知识方面：椭圆的定义(要注意定义中的条件)以及椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系； 2能力方面：巩固了求曲线方程的步骤与方法，要学会用运动变化的观点研究问题； 3体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美。五、作业 1、课本95页96页2、对照图形思考椭圆的还有那些性质？3、思考我们研究了到两个定点距离的和等于定值a的点的轨迹是椭圆，那么到两个定点距离的差等于定值a的点的轨迹会是什么？五：教案设计说明1：复习引入由圆的定义

15、引入椭圆定义：平面上到两个定点(距离为2R)距离的平方和等于定值a(a=(2R)2)的点的轨迹是圆,由此引导学生猜想平面上到两个定点距离的和等于定值a的点的轨迹是什么？然后让学生动手画图得到直观认识，培养学生自己解决问题的能力。接着利用计算机动态的展示让学生发现椭圆在生活中的重要性，从而激发他们探究的兴趣。2：讲授新课 在前面引入椭圆定义后，为了强调的条件，利用计算机演示：当两个定点重合时，轨迹变化为圆；可见圆是椭圆的特例。当定值等于两个定点间的距离时，轨迹是一条线段。当定值小于两个定点间的距离时，无意义。即加深对条件的理解，也培养学生思维的严密性。 接着推导椭圆的标准方程：先复习求曲线方程的

16、一般思路，然后让学生建立坐标系，此时学生可能有各种不同的建立方法，教师引导学生注意观察图形的对称性，选择一种合理的方法讲解，其余方法留给学生练习。建好系后的化简也是一个重点，教师可让学生自己推导分小组讨论，当学生有问题时加以引导、纠正。若学生无重下手，教师可提示根式处理的一般步骤方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其它项移至另一侧；方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式考虑共轭根式。对于第二种方法是课本上的推导方法，学生也较易接受，推导完注意引入椭圆的几何含义使式子化简形式简洁，同时强调a,b,c的几何含义，为下节课作好铺垫；对于第三种方法可适当

17、补充，由此可引入椭圆的第二定义，为以后学习打好基础。这样就能使学生对于根式的处理有一个完整的认识，同时下面引出椭圆性质及第二定义也不觉得突然。那么学生对于推导方法究竟有没有掌握？可让学生练习推导焦点在y轴上的情况，同时注意a,b,c几何含义。最后教师引导学生注意：Ax2+By2=C方程中只要A,B,C同号就是椭圆方程，注意焦点在哪个轴上要根据A，B，C的大小判断，让具体知识上升到抽象的内容。同时教师简单提一下：椭圆也是一种曲线，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程

18、的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析。3：例题与练习 利用例1简单复习利用所有知识；此外很多学生会不建立坐标系就写出了方程，教师要强调建立不同的坐标系会得到不同的方程，因此当题目中没有给定坐标系时，首先应选择合适的坐标系。 例2回归到椭圆最基本的定义，同时加强与解析几何的联系，数形结合拓展思维，然后一组练习巩固此法，特别练习2，强调求曲线方程完备性与纯粹性，要注意检验。4：小结小结是很有必要的，使学生对本节课形成一个完整的体系，同时强调一下重点和难点。5：作业 分3个层次：简单运用（课本习题）；巩固加深（自己推导其它性质）；拓展延伸（引出双曲线）。借此培养学生知识的迁移、拓展能力，以及自己发现问题、分析问题、解决问题的能力。