第四章误差理论与数据处理 一般测量问题中的数据处理方法

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1、第四章 一般测量问题中的数据处理方法 前面几章已对测量误差的性质及特征规律作了必要的论述，这是正确处理测量数据的基础。研究数据处理的目的就是要恰当地处理测量所得的数据，最大限度地减少测量误差的影响，以便给出一个尽可能精确的结果，并对这一结果的精确程度作出评价。 本章主要讨论广泛使用的几个基本的数据处理方法，它们分别用来解决不同的数据处理问题。这些数据处理方法不仅用于处理已获得的测量数据，更重要的是它们为拟定测量方法提供了基本依据。 关于测量结果的精确程度(不确定度)的内容将在第五章和第六章中讨论。4.1 算术平均值原理 不同测量问题的数据应恰当地使用相应的数据处理方法，以便最大限度地减小测量误

2、差的影响。对同一量进行多次等精度重复测量而得到的数据应按算术平均值原理处理，所得结果才是最可靠的，即测量的随机误差的影响是最小的。 一、算术平均值原理 若对某个量X进行n次等精度重复测量(各次测量的标准差相同)，得到n个测量数据，则被测量X的最佳估计量应为全部测量数据的算术平均值 这就是算术平均值原理，它可由最大似然原理或最小二乘法推出。 等精度的多次重复测量结果xi的算术平均值作为被测量X的估计量，具有一致性、无偏性和最优性。 (1)一致性 设测量数据xi的测量误差为，应有 即 故 式中，为算术平均值的误差 若测量误差为服从正态分布的随机误差，则其数学期望为零，即 因此，当测量次数足够多时，

3、有 即 可见，以算术平均值作为X的估计量具有一致性。 (2)无偏性 由(4-3)式可知，算术平均值的误差是各测量误差的线性和，因而也是正态分布的随机变量，且具有对称性，数学期望为零即 因此 可见，是X的无偏估计(即的波动中心是X)。 (3)最优性 可以证明，当测量误差服从正态分布时，算术平均值的方差恰好达到估计量的方差下界，即 式中 测量数据的标准差； 正态分布的概率密度。 因此可以说，算术平均值是被测量X的最佳估计量。 一般来说，无论测量误差具有何种分布，只要具有对称性，其数学期望就为零，以算术平均值作为被测量的估计量就具有最优性。这是随机误差抵偿性的必然结果，按算术平均值原理处理等精度重复

4、测量数据可充分利用这一抵偿性，从而使随机误差对最终结果的影响减小到最低限度。因此，也可以说随机误差抵偿性是算术平均值原理的基础。 但应指出，算术平均值仍为随机变量，它不可能完全排除随机误差的影响，只不过是减小了这一影响而已。 其次，由于系统误差不具有随机抵偿性，按算术平均值原理处理数据般是没有上述的抵偿效果的，因此算术平均值原理的功效只是减小随机误差的影响。在一般情况下，不能指望通过取算术平均值减小系统误差的影响。 因此，算术平均值原理在提高精度的效果上是有限度的。 最后应注意，算术平均值原理只适用于对同一量的等精度测量数据的处理。所谓“等精度”是指各次测量的标准差相同，而并非指各测量数据具有

5、相同的误差。事实上，各测量数据的误差并不相同。 二、等精度测量数据的残差及其性质 通常，被测量的真值是未知的，由测量误差定义获得的真误差也是未知的，因而无法用测量的真误差对测量的精度作出估计。 考虑到算术平均值接近于被测量X，采取与测量误差的定义类似的办法，定义 为测量数据xi的残差(剩余误差)。 更一般地，残差的定义可推广为 式中，为X的估计量，可由包括算术平均值原理在内的某一方法给出。 由于残差易于获得，所以它广泛地应用于精度估计、粗差的判断及某些系统误差的判别规则中。由算术平均值给出的等精度测量数据的残差有如下性质： (1)残差的代数和为零，即 这一性质常用于检验所计算的算术平均值和残差

6、有无差错，也用于某些其他运算和检验规则中。 (2)残差平方和最小，即 测量结果与其他量之差的平方和都比残差平方和大，这一性质与最小二乘法一致。 三、算术平均值的标准差 由上述可知，算术平均值仍含有一定的随机误差。为评定这一随机误差的影响，也应使用相应的标准差或不确定度。 设对量X进行n次等精度重复测量，得测量数据，将各数据视为独立的随机变量(而不是具体的数值)，则算术平均值的方差为 即 因为是等精度测量，即，故 即 而算术平均值的标准差则为 式中测量标准差可按下式估计 上式就是用残差估计标准差的贝塞尔(Bessel)公式。关于这部分内容将在下一章里详细讨论。由于测量的标准差为估计量s，故公式(

7、4-9)应写为 上式表明，算术平均值的标准差为测量数据标准差的。因此，测量次数n越大，所得算术平均值的标准差就越小，其可靠程度就越高。 不过，靠增加测量次数n来给出更高精度的结果是有一定限度的。这是因为： (1)算术平均值的标准差与测量次数的平方根成反比。如图4-1所示，随着n的增加，的减小速度下降。当n较大时(如，n20)，靠进一步增大n来减小，其效果并不明显。 (2)测量次数n过大，不仅经济上耗费大，而且测量时间增长，易于因测量条件变化而引入新的误差。 (3)当随机误差远远小于系统误差时，进步增大n已无实际意义，应从减小系统误差着手进一步提高测量结果的精度。 因此，测量次数的规定要适当，应

8、顾及到实际效果，一般取n10。在较高精度测量中，若以随机误差为主，并且测量条件较好，则测量次数可大些。 算术平均值的精度也可用扩展不确定度来表示，即 式中k为置信系数。对于正态分布，常取k=3。 四、算术平均值的简便算法 测量数据的有效数字较多时，按式(4-1)计算算术平均值，各数据直接相加较为繁琐，且易出错，此时可采用下面的简便计算方法。 设对被测量X进行n次等精度的重复测量，得测量数据，为简化算术平均值的计算，任选一接近测量数据的数值，相减得 则有 故 即算术平均值可表示为与的算术平均值之和。应注意值的选取应使的值尽可能小，并且便于计算。 例4-1 已知测量的标准差为s=8mg，欲使最终结

9、果的标准差小于5mg，问需要重复测量多少次?解 由题意，算术平均值的标准差5mg，由式(4-11)，可得 所以，至少需测量3次。 例4-2 对某量进行8次连续测量，所得结果如下(单位略)：39.285，39.288，39.282，39.286，39.284，39.286，39.287，39.285。试计算其算术平均值。 解 (1)按定义直接计算 =(39.285+39.288+39.282+39.286+39.284 +39.286+39.287+39.285)=39.2854 (2)按简便算法计算，取x0=39.385， 则 =39.285+10-3(0+3-3+l-l+1+2+0)=39.

10、2854 例4-3 对某圆柱体外径尺寸连续测量10次，所得结果如下(单位mm)：3.985，3.986，3.988，3.986，3.984，3.982，3.987，3.985，3.989，3.986，求最佳结果及其精度(不考虑系统误差)。 解 测量结果的最佳估计量应为算术平均值。按简便算法，取d0=3.985mm，列表计算(见表4-1)，得表4-1idi(mm)di(m)vi(m)vf2(m2)13.9850-0.80.6423.98610.20.0433.98832.24.8443.98610.20.0453.984-1-1.83.2463.982-3-3.814.4473.98721.21

11、.4483.9850-0.80.6493.98943.210.24103.98610.20.043.9858835.6 = 3.985mm+810-3mm=3.9858mm按贝塞尔公式，测量标准差为mm算术平均值的标准差为 mm其扩展不确定度为 mm =1.910-3mm最终结果为3.9858+0.0019mm4.2 加权算术平均值原理 当对某一量进行多次测量时，由于仪器精度和测量方法的优劣、测量者熟练程度及测量条件等方面的差别，各次测量可能具有不同的精度，这就是不等精度测量。 在不等精度测量中，所得各测量数据具有不同的可信程度，因此数据处理方法与等精度测量时应有所不同。 一、测量数据的权 若

12、测量数据具有不同的精度，其可信程度也就不一样。在数据处理过程中，精度较高的数据应给予较多的重视，而精度较低的数据则相反。为便于数据处理，这一差别应以数值来表示，这一数值就是测量数据的权。 测量数据的权表示该数据相对其他数据的可信程度。数据精度越高(即其可靠程度越高)，其权就越大；反之，数据精度越低，权就越小。这就是权的确定原则。测量数据精度高低是确定权大小的基本出发点。 由于测量数据的精度以其标准差(方差)来衡量，故系列测量数据xi的权pi可按其标准差确定。 设不等精度测量数据的标准差分别为，相应的权应满足 或 式(4-14)或式(4-15)给出了确定权的一般方法，即测量数据的权与相应标准差的

13、平方成反比。 实践上，只能给出标准差的估计量(子样标准差)si，代人上式得， 需要指出，权本身是无量纲的，它只反映各测量数据之间的相对可信程度，只要能满足式(4-16)或(4-17)，其绝对数值的大小是无关紧要的。这就是权的相对性。但应注意，权的数值一经确定，在数据处理过程中就不允许再随意改变。一般为了简化处理，应使权的数值尽可能约简。 若测量的标准差为s，现进行m组测量，各组测量次数分别为，则各组的算术平均值(i=1,2,m)的标准差为 于是各组算术平均值的权pi应满足下式 即 由此可知，各组算术平均值的权之比等于各组测量次数之比。 有时不能确切知道各测量数据的标准差，这时可依据影响测量数据

14、可靠性的各因素的具体情形作出判断，直接给出权的数值。 例4-4 现对一级钢卷尺进行检定，进行三组不等精度测量，所得结果为 =2000.45mm, =2000.15mm, =2000.60mm，=0.05mm，=0.20mm， =0.10mm，试确定各组测量结果的权。 解 由式(4-16)可得 因此可取权为 =16，=1，=4。 二、加权算术平均值原理 设对某量X进行n次不等精度测量，得数据，各测量数据的权分别为，则被测量X的最佳估计量应为全部测量数据的加权算术平均值 这就是加权算术平均值原理。 可以证明，加权算术平均值是被测量X的无偏估计。特别地，当各测量数据的权均相等时(即)，则有 这正是等

15、精度测量数据的算术平均值。显然，算术平均值原理是加权算术平均值原理的特例。 与算术平均值原理相似，加权算术平均值原理也以随机误差抵偿性为基础，按此原理处理不等精度测量数据可充分利用这一抵偿性，并使随机误差的影响减至最低限度。而对于各次测量中的同一系统误差则无此效果。 但应指出，不等精度的测量结果常是采用不同的测量方法而获得的，因此各测量结果中常含有不同的系统误差。由于这些系统误差不是由同一因素造成的，因此互不相同。这类系统误差在各测量结果中相互间具有一定程度的抵偿作用。 加权算术平均值的计算也可使用下面的简便算法 式中x0为与xi接近的任意数值，。 例4-5 求例4-4中三组数据的加权算术平均

16、值。 解 按(4-19)式计算 mm=2000.46mm按(4-20)式计算，取x0=2000.00mm =2000.00mm+mm=2000.46mm 三、单位权及单位权标准差 若某一数据的权，则称为单位权，而的标准差称为单位权标准差，记为。显然，由4-17式可得 则有 通常，单位权并不一定对应着一个具体的测量数据。由权的相对性可知，单位权标准差也具有相对性。随着权数值的改变，单位权标准差也将有相应的改变。例如：设三个测量数据的方差分别为=1，=0.5，=2，则三个测量数据的权应满足下式 若取=2，=4，=1，则单位权标准差；若取=4，=8，=2，则单位权不再是，而应为。 下面给出用残差计算

17、单位权标准差的公式。 设有不等精度测量数据，相应的权分别为，则各测量数据的残差为 将各残差分别乘以各自的权的平方根，得加权残差 可以证明，任一数据的加权残差的权为1，显然，将加权残差代人贝塞尔公式，便可得单位权标准差估计量(子样单位权标准差)的计算公式。 按上式计算的结果应为单位权标准差的估计量。 四、加权算术平均值的精度估计 由于加权算术平均值本身也含有随机误差，其精度也应以其标准差来评定。在加权算术平均值的表达式中，测量数据为随机变量，而相应的权为常量，则加权算术平均值的方差为 即 由式(4-21)可知 代人上式，则有 即 的估计标准差为 若将单位权标准差的两个计算公式(4-21及(4-2

18、2)，代入上式，可得到加权算术平均值标准差估计量的两个计算公式 及 加权算术平均值的扩展不确定度为 一般可认为误差服从正态分布，取k=3。 应该指出，分别按公式(4-24)和(4-25)计算加权算术平均值的标准差，所得结果理应是相同的。但由于种种原因，实际上这两种计算方法给出的值常常是不同的。这是由于对测量数据标准差估计不准以及测量数据中存在系统误差等原因而引起的，特别是系统误差的影响更为突出。 当测量数据中存在不同的系统误差时，一般各测量数据之间的差异会增大，因此按照式(4-25)计算的值通常比按式(4-24)计算的要大些。即按式(4-25)计算与时，能在一定程度上反映系统误差的影响；而按式

19、(4-24)计算时，一般不反映这一系统误差的影响，所以，通常以式(4-25)的计算结果为准(特别是测量数据较多时)。但为把握起见，有时取数值较大的一个作为计算结果(特别是在测量数据较少时，按式(4-25)计算精度较低)，但给出的精度估计偏于保守。为使给出的精度值更为确切，应考虑到系统误差。 例4-6 现对角进行三次测量，所得数据及标准差分别为：, ;, ;，试求最后结果及其标准差。解 列表4-2计算如下表4-2i190.040.362423.0492.163417.6470.5617163.08 首先确定各测量数据的权。由式(4-16)得 取=9，=4，=4。 然后计算加权算术平均值。取，作，

20、按简便算法，则有 最后求的标准差，按式(4-24) 按式(4-25) 于是最后结果为 ,例4-7 根据文献发表的结果，真空中的光速及其标准差如表4-3(单位km/s)：i12345678Ci(km)299792.3299792.5299793.1299794.2299792.6299789.8299793.0299795.1si(km)2.41.00.31.90.73.00.33.1试求光速的最佳值及其标准差。 解 列表4-4计算：表4-4iCisipi1299792.32.40.170.30.05-0.690.08092299792.51.01.000.50.50-0.490.2401329

21、9793.10.311.111.112.220.110.13444299794.21.90.282.20.621.210.40995299792.60.72.040.61.22-0.390.31036299789.83.00.11-2.2-0.24-3.191.11947299793.00.311.111.011.110.010.00118299795.13.10.103.10.312.110.445225.9225.792.7413 取各测量数据的权为 ，令C0=299792.0，则加权算术平均值为 其标准差为 若取置信系数是k=3，则其扩展不确定度为 则最后结果为 C=299792.990

22、.36(km/s) 这一结果表明，光速值应以99.73的概率包含在299792.63km/s与299793.35km/s之间。 而光速的最新测量结果是C0=299792.458km/s，这一结果已被大量实验所证实。显然，由本例给出的光速最佳值与其相差0.532km/s，这一差值已超出了它的正常分布范围。 如果按式(4-24)计算标准差，此时可得=0.2km/s。这一结果比前面计算出的值要大。但即使按=0.2km/s计算，所给光速值与其准确值之差超过0.532km/s的概率也仅为0.8。这说明例中所给结果与预期值有显著差异。可见，标准差或扩展不确定度并未完全反映所给结果的可信程度。 造成这种情形

23、的原因就在于测量中存在着系统误差。在求加权算术平均值时，部分系统误差不能像随机误差那样有抵偿作用，使所得结果产生偏移。但在计算测量的标准差时，这类误差却没有被如实地反映出来，因而所得标准差较小，但这是假像。 由此可见，不能指望通过求算术平均值或加权算术平均值来减小所有的系统误差，其标准差也不能全面地反映系统误差的影响，所以必须对测量的系统误差再作具体的分析研究才行。这一事实表明，系统误差的分析研究在测量数据处理中具有极为重要的意义。4.3 测量数据的修正 当系统误差的数值已知时，若将其从测量结果中扣除，则可以得到相对准确的结果，这就是测量数据的修正。 一、测量数据的修正方法及其意义 由测量误差

24、的定义，若不考虑随机误差的影响，则系统误差为 式中x为测量数据，X为被测量真值。因而有 式中为修正值，。 上式表明，测量的真实值应为测量数据(测得值)与修正值之和，这是修正法处理测量数据的基本依据。 将已知具体数值的系统误差改变符号即为修正值，以数值表格、计算式或曲线等方式表示，供数据修正使用。测量数据加入修正值的手续可通过人工计算进行，也可由仪器的软件或硬件自动完成。 采用修正法消除已知系统误差简便易行，效果显著，因而在计量领域内获得广泛应用。但为了对测量数据进行修正必须确知其修正值，这往往需要付出一定的代价，而且对于更多的系统误差因无法确知数值而不能进行修正。因此，修正法的应用也受到限制。

25、 同时还须指出，在一般情况下难以获得绝对准确的修正值，因为修正值本身也常含有误差，使被修正的那项系统误差也常常残留部分误差。如果修正值本身的误差太大，则将失去修正的意义。特别是修正法对于消除随机误差是无能为力的。 可见，修正法可有效地减小测量数据的误差，但不能期望通过修正获得绝对准确的结果。 二、修正值的获得方法 修正法的关键是如何获得相对准确的修正值。修正值的获得方法有两类，测量实验方法和理论分析方法。 1通过测量获得修正值 利用高一级精度的测量基准，测量仪器和测量方法(及相应的测量条件)给出标准量(相对真值)，通过比较获得测量结果的修正值，这一方法通常称为检定。应注意，必须保证标准量具有足

26、够的精度(与测量结果的误差相比，标准量的误差是微小的)。 例如，为确定二等砝码的修正值，应以一等砝码给出的量值用天平作比较测量给出。此时，一等砝码和天平的误差都远小于二等砝码的误差。 在计量工作中，通过检定确定修正值的方法常用于基准的传递，标准件及高精度仪器的修正等。一般只要具备检定的条件，能通过检定给出实用上具有足够精度的修正值，就可采用，因而这一方法的应用比较普遍。 有时也可利用间接测量的方法获得修正值，先通过实验找出误差因素，再按已知的函数关系计算出待求量的修正值。在某些测量问题中还可以利用特殊的测量方法和数据处理方法将某项系统误差分离出来，从而可以得到修正值。 这种确定修正值的方法需要

27、有高一级精度的检定器具才能实现，实践上往往有一定困难，特别是对于高精度测量，利用这一方法获得修正值更为困难。因而这种方法的应用受到具体条件的限制。 2通过理论分析获得修正值 通过对具体的测量问题的分析，找出系统误差所遵从的规律性，据此计算出测量的系统误差，将其改变符号即为修正值。这一方法所给出的修正值是比较准确的，也不需要更高一级精度的检定仪器，因而十分方便、经济。理论分析的方法常用于通过间接测量确定修正值时的分析计算。 但在很多情况下无法通过分析计算给出修正值，因此这一方法的使用受到限制。例4-8 用相对法测量公称尺寸L=80mm的石英玻璃棒的尺寸。设量块材料的线膨胀系数=11.5l0-6/

28、，石英玻璃的线膨胀系数=0.410-6/，分析该测量结果关于温度偏差的修正值。 解 当测量时的环境温度偏离标准温度=20，标准件与被测件都产生变形。设测量的环境温度为t，则量块的变形量为 石英玻璃棒的变形量为 于是由温度偏差引入的测量误差为 则修正值为，若测得环境温度t=20.3，相应的修正值为 =-80mm (0.410-6/-11.510-6/)(20.3-20)=0.2710-3mm 例4-9 分析利用天平衡量物体质量时关于空气浮力的修正值。 解 利用天平衡量物体质量时，考虑到空气浮力的影响，天平平衡条件应为 式中 m1，m2分别为标准砝码与被测物体的质量； V1，V2分别为标准砝码与被

29、测物体的体积； l1，l2天平二臂长； g测量地点的重力加速度； 测量地点的空气密度。 考虑到等臂天平l1=l2，由上式可得衡量结果应为 若不考虑空气浮力，衡量结果为 该结果的误差为 可见其修正值应为 4.4 实用谐波分析法 系列测量结果中往往含有周期误差，这是一种常见的系统误差。通常，周期误差含有 若干误差成分，为确切地估计和有效地减小以至消除各周期误差因素的影响，可利用谐波 分析的方法将周期误差的各谐波分量分解开来，分别给出各分量的幅值和相角。这一分析结果为进一步分析周期误差提供了依据。 一、谐波分析法原理 若函数f(x)在某区间内满足一定的收敛条件，则该函数在这一区间可展开成付里叶级数，

30、这是谐波分析法的基本依据。 设函数f(x)在区间-l，l上满足以下收敛条件(该收敛条件易于满足，凡是可展开为幂级数的函数都满足这一收敛条件)： 1. 函数f(x)在区间-l，l上连续或只存在有限个第一类间断点(即函数f(x)在该点c的左极限f(c-0)和右极限f(c+0)存在但不相等，或存在且相等但不等于f(c)。 2函数f(x)在区间-l，l上只存在有限个极大点和极小点(即可把区间-l，l分为有限个子区间，使函数在每个子区间内是单调的)。 则函数f(x)就可展开成付里叶级数 式中，付里叶系数分别为 式(4-28)还可化成另一形式，设 则 将式(4-30)代入式(4-28)，合并同阶次项，得

31、式中级数项 称为f(x)展开式的第n阶谐波分量。其中cn为n阶谐波分量的幅值，为其初相角，按式(4-31)计算。相应的周期为 式(4-32)表明，函数f(x)在区间-l，l上可分解为一恒定分量和一系列正弦谐波分量之和。 因为付里叶级数各项和以2l为周期，若在区间-l，l上这个级数收敛于f(x)，则当x取所有实数值时它也收敛，并且级数各项和以2l为周期重复它在区间-l，l上的值，因此，对于周期为2l的周期函数f(x)，若在区间-l，l上满足收敛条件，则在其全部定义域内可展开成付里叶级数(式4-28或式4-32)。 特别地，以为周期的周期函数f(x)的付里叶级数的展开式为 或 式中系数及初相角由以

32、下各式给出 实践上，在周期函数所含各次谐波分量中，高次谐波分量常是很微小的。因而实用上只须截取一定阶次的谐波分量而略去高次谐波分量，则周期函数可表示成有限次谐波分量和的形式。周期为2l的周期函数的有限次谐波分解式为 或 式中系数按式(4-29)计算，系数和初相角按式(4-31)计算。 以为周期的函数的有限次谐波分解式则为 式中系数按式(4-36)计算，系数与初相角按式(4-37)计算。 式(4-38)、式(4-39)和式(4-40)、式(4-41)表明，实践中周期函数可分解为一个恒定谐波分量与有限个谐波分量之和。所取谐波阶数由实际问题的具体要求而定，在满足实际要求的情况下截取阶数少些便于分析。

33、 以上所述给出了谐波分析法的基础。 二、实用谐波分析法 在实际的工程问题中，所要研究的周期函数往往无法写出其具体的函数表达式，而只能通过实际测量给出的测量数据或曲线表达出来。此时，付里叶级数展开式的系数无法按积分式(4-29)求解，只能通过对进行逐点的实际测量，由所得函数的系列测量数值按前面给出的谐波分解公式求出各系数，从而给出具体的各次谐波分量，这就是实用谐波分析法。 为便于分析计算，按偶数将一个周期等分为若干段，在这些等分点上测得函数的值，则由式(4-29)可得由各测得值yi表示的各付里叶系数的表达式 式中 n各谐波的阶次； m一个周期的等分数，常取为12，24，48等； yi第i个等分点

34、上的测量值。 将各测得值代入以上各式可得各付里叶系数，从而给出各谐波分量。显然，为求得k次以内的谐波分量，一个周期内的等分数应为 此时，周期函数的近似表达式可写成 若取等分数为m=12，则周期函数的展开式为 将测量数据yi及三角函数值代人式(4-46)，可得包括12个方程式的方程组，由此可推出12个待求系数的表达式(这一表达式也可直接由式(4-42)推出) (4-47) 将以上各系数代入式(4-43)，可求得各次谐波的幅值及初相角，于是可写出谐波展开式 应该指出，由于实用谐波分析法给出的结果中存在着谐波的混叠误差，求得的系数是有误差的，而且谐波阶次越高，这一误差越大。所以高阶次的谐波分量的可信

35、程度较低。可见，实用谐波分析法不适于分析高阶次的谐波分量。 三、实用谐波分析法的应用 周期误差是常见的一类系统误差，测量实践中存在着大量的周期性误差因素。测量仪器中精密传动机构大量使用旋转的另部件，仪器构件的加工设备离不开旋转运动，从而构成大量的周期性误差因素。电子仪器中电流、电压常是周期变化的，大量的干扰信号常呈周期性。甚至被测对象、被测参数也常含某种周期性因素。因而测量结果中所含周期误差常是诸项周期分量综合作用的结果。实践中往往需要区分并确定这些误差成分，以便分析其根源，估计其影响，为进一步控制这些误差提供依据。 实用谐波分析法用于分析周期误差，可将其分解成一个恒定分量和若干正弦谐波分量。

36、实践中，由此所得的每一谐波分量都相应于某一确定的误差成分。这些误差成分以其振幅、周期和初相角为特征相互区别。这样可根据谐波分析的结果找出周期误差的各组成分量，因而实用谐波分析法为周期误差的分析、控制提供了有效的手段。 例4-10 对表4-5给出的测量数据进行12个点的谐波分析。表4-5i01234567891011xi0306090120150180210240270300330yi06121530237-6-18-25-28-16 解 首先按式(4-47)计算系数与 =(0+6+12+15+30+23+7-6-18-25-28-16)=0 =-7.40 =-1.79 将计算结果填入表中，利用

37、表4-6计算及，并按式，计算系数及初相角。表4-6in01234560-7.403.753.50-0.750.400.5023.62-2.171.830.14-1.7954.7614.0612.256.560.160.25557.904.713.350.023.20-0.3133-1.72811.9126-5.3571-0.223524.754.333.950.761.83162361200362241003416724 将cn与值代入式(4-48)，得y的谐波分解式 作出谐波曲线如图4-3所示。 4.5 异常数据的剔除 测量数据包含随机误差和系统误差是正常的，只要误差值不超出允许范围，所得结

38、果就应接受。而粗大误差超出了正常的误差分布范围，对测量结果造成歪曲。因此包含有粗大误差的数据是不正常的，应剔除不用。 但应注意，任意一测量数据都含有测量误差，并服从某分布，它使一组测量结果有一定的分散性。仅凭直观判断常难于对粗大误差和正常分布的较大的误差作出区分。若主观地将误差值较大但属正常分布的数据判定为异常数据而剔除，也同样会歪曲测量结果。这样作的结果虽然可得到一组分散性较小的数据，但这是虚假的，与实际分布并不一致。由此计算的标准差偏小，求得的算术平均值不是最可信赖的。因此需要有客观准则对异常数据作出判断。 实践中常采用统计的方法判别系列测量数据中的异常数据。以下列出几个判别准则，其基本方

39、法是作出相应于某一数据的统计量，当该统计量超出一定范围，则认为相应的测量数据不服从正常分布而属异常数据。 显然，为作出统计判断，应给出系列的测量结果。所作的判断自然是具有一定概率的结果，而并非“绝对”可靠。 一、莱以特(Pama)准则 对某量进行n次等精度的重复测量，得，若某一数据xk相应的残差vk满足下式条件，则认为xk含粗大误差，属异常数据，应剔除 式中 为的算术平均值； s测量标准差的估计量。 这就是莱以特准则，亦称为准则。这一准则在测量数据较少时可靠性差。特别是，当采用贝塞尔公式计算测量标准差s时，若n10，则对任一数据工xi恒有 此时该准则无效。 另外，当测量次数n不同时，vk超出3

40、s的概率是不同的。而该准则没有考虑这一差别，也没有区别对可靠性的不同要求，因而是比较粗糙的。 例4-11 对某一尺寸进行15次等精度重复测量，得到数据如下(单位mm)：10.262， 10.268，10.265，10.263，10.278，10.267，10.263，10.260，10.258，10.262，10.264， 10.261，10.264，10.263，10.265，试判别该列测量数据中有无异常数据。 解 将数据列表4-7表4-7i1234567xi10.26210.26810.26510.26310.27810.26710.263vi-241-1143-1-152040续表4-7

41、i89101112131415xi10.26010.25810.26210.26410.26110.26410.26310.265vi-4-6-20-30-11-3-5-11-2102计算算术平均值，取=10.265mm，则 =10.265mm+(-3+3-2+13+2-2-5-7-3-1-4-1-2)10-3mm =10.264mm 计算各测量数据残差并填入表中。 计算标准差，按贝塞尔公式有 m=4.6m m=13.8m 进行判断，由于x5残差绝对值最大，最为可疑，应先检验。显然有，因此x5含有粗大误差，应剔除。 对于其余数据，应重复以上各步，重新计算算术平均值及标准差，结果如下 =10.2

42、63mm m=2.6m =7.8m 进行判断，显然x2及x9最为可疑，但其残差，可见x2及x9属正常数据。因此，剩下的14个数据均为正常数据。 二、格罗布斯(Grubbs)准则 对某量进行n次重复测量，得，设测量误差服从正常分布，若某数据xk满足下式，则认为xk含有粗大误差，应剔除 式中 数据xk的统计量， 统计量的临界值，它依测量次数n及显著度而定，其值列于表4-8； 显著度，为判断出现错误的概率，值依具体问题选择。即当xk满足式(4- 50)，但不含粗大误差的概率为: 这就是格罗布斯准则。该准则克服了莱以特准则的缺陷，在概率意义上给出较为严谨的结果，被认为是较好的判断准则。表4-8 n0.

43、010.0531.161.1541.491.4651.751.6761.941.8272.101.9482.222.0392.322.11102.412.18112.482.23122.552.28132.612.33142.662.37152.702.41162.752.44172.782.48182.822.50192.852.53202.882.56212.912.58222.942.60232.962.62242.992.64253.012.66303.102.74353.182.81403.242.87503.342.961003.593.17例4-12 试用格罗布斯准则判断例4-1

44、1中的异常数据。 解 显然，最可疑的数据为残差绝对值最大的数据x5。对x5作统计量 选定=0.01，查表4-8得临界值为 显然，因此x5含有粗大误差，应剔除。 对剩余数据在重新计算、及之后，进行判断。对x2或x9作统计量 选定=0.01，查表4-8得临界值为 显然，因而剩余14个数据均为正常数据。 三、狄克逊(Dixon)准则 对某量进行n次重复测量，得，设测量误差服从正态分布，按数值大小进行排列为，为检验，作统计量 选定显著度，由表4-9查得该统计量的临界值，若满足 则认为含有粗大误差，应舍弃。 同样，为检验，作统计量 若满足则认为含有粗大误差，应剔除。 应注意，当剔除一个数据后，应按所余顺

45、序量计算统计量，再检验另一可疑数据。 狄克松准则也具有较好的使用效果。因无须计算标准差，计算简便。表4-9临界值统计量n=0.01=0.05检验时，检验时，30.9880.94140.8890.76550.7800.64260.6980.56070.6370.50780.6830.55490.6350.512100.5970.477110.6790.576120.6420.546130.6150.521140.6410.546150.6160.525160.5950.507170.5770.490180.5610.475190.5470.462200.5350.450210.5240.440220.5140.430230.5050.421240.4970.413250.4890.406260.4860.399270.4750.393280.4690.387290.4630.381300.4570.376 例4-13 用狄克逊准则检验例4-11测量数据中是否有异常数据。 解 按大小顺序排序为：。 由直观判断，先对(即)检验，作统计量 选定显著度=0.01，由表4-9可得临界值为。 显然，故(即)含粗大误差，应剔除。 对剩余的14个数据重新判断，对作统计量为 对作统计量为 取=0.01，查表得临界值，显然，因此剩余数据均属正常。