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1、1;.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组组例如例如维维列列向向量量个个有有矩矩阵阵mnaijAnm)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Aa1a2an一、向量组的线性组合a2ajana1a2ajan2;.维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 ,，称
2、为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm3;.反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.12 ,mmnm 个 维列向量所组成的向量组构成一个n矩阵矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmTmTT,21 TmTTB 21),(21mA 4;.b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对
3、应5;.，组组实实数数，对对于于任任何何一一给给定定向向量量组组mmkkkA,:2121 定义定义12 ,.mkkk，称为这个线性组合的系数，称称为为向向量量组组的的一一个个向向量量 2211mmkkk 线性组合线性组合6;.mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,:2121.2211有有解解即即线线性性方方程程组组bxxxmm 则向量则向量b是向量组是向量组A的线性组合，这时称向量的线性组合，这时称向量b能能由向量组由向量组A线性表示线性表示7;.),(),(2121的秩的秩，的秩等于矩阵的秩等于矩阵，条件是矩阵条件是矩阵线性表示的充
4、分必要线性表示的充分必要能由向量组能由向量组向量向量bBAAbmm 定理定理1 1例例1 零向量是任一向量组的线性组合零向量是任一向量组的线性组合.000021m例例2 向量组向量组 1,2,m中任一向量都可由这个向量组线性表出中任一向量都可由这个向量组线性表出.00100111miiii8;.例例3 将将 =(1,0,-4)T 用用 1=(0,1,1)T,2=(1,0,1)T,3=(1,1,0)T 线性表出线性表出.解 401101011110),(321TTTA0101111040112510011104011252325100010001.252325321所以，9;.定义定义 .,:,
5、:2121这这两两个个能能相相互互线线性性表表示示，则则称称量量组组与与向向若若向向量量组组称称线线性性表表示示，则则向向量量组组组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由若若及及设设有有两两个个向向量量组组BAABBAsm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价BA10;.0 ,:22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0,1.2211121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn .,2.线线性性相相关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一
6、向向量量组组定义定义二、线性相关性的概念则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A11;.,0,0,3.线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 .4.组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,.5 量共面量共面向向量相关的几何意义是三量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向是两向量共线；三个向义义量对应成比例，几何意量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分充要条件是两向量的分它线性相关的它线性相关的量组量组对于含有两个向量的向对于含有两个向量的向12;.定理向量
7、组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明证明充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示）能由其余向量线性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 三、线性相关性的判定13;.故故 01112211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0，1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkk
8、k.02211 mmkkk 14;.因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设则有不妨设则有,01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕.15;.性独立）性独立）线线个方程）线性无关（或个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各程，就称该方程组（各方方；当方程组中没有多余；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的个方程）是线性相关的各各余的，这时称方程组（余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多合时，这个方程就是多是其余方程的线性组是其余方程的线性组若方程组中有某个方程若方程组中有某个方程线性相关性在线性方程组中的应
9、用线性相关性在线性方程组中的应用).,(.0 A,0 212211mmmAxxxxA 其中其中有非零解有非零解即即方程组方程组线性相关就是齐次线性线性相关就是齐次线性向量组向量组结论结论16;.)(;),(,2121mARmAmm 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组 定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.17;.维维向向量量组组n TnTTeee1,0,0,0,1,0,0,0,121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单
10、单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n解解.),(21阶单位矩阵阶单位矩阵是是的矩阵的矩阵维单位坐标向量组构成维单位坐标向量组构成neeeEnn.)(01 nERE ，知知由由.2)(向向量量组组是是线线性性无无关关的的知知此此，故故由由定定理理等等于于向向量量组组中中向向量量个个数数即即ER例例118;.，742520111321 .21321的的线线性性相相关关性性，及及，试试讨讨论论向向量量组组 解解.2,21321321即即可可得得出出结结论论）的的秩秩，利利用用定定理理，及及（），可可同同时时看看出出矩矩阵阵（成成行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵），施施行行初初等等行行变变换换变变，对对矩矩阵
11、阵（已知已知例例2分析分析19;.751421201),(321 2325rr ，000220201.,2),(,2),(2121321321线线性性无无关关向向量量组组线线性性相相关关；，向向量量组组可可见见 RR 75122020112rr 1312rrrr 55022020120;.,321133322211321线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关已已知知向向量量组组bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有,0)()(133322211 xxx）（即即,0)()()332221131 xxxxxx（亦亦即即线性无关，故有线性无关，故有，因因3
12、21 .0 ,0 ,0 322131xxxxxx证证21;.02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行.,0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 22;.线性相关性的基本定理线性相关性的基本定理 定理定理3 若若 1,2,m线性相关，则线性相关，则 1,2,m,m+1,n 线性相关线性相关.证 由1,2,m线性相关，知有不全为零的数 x1,x2,xn 使 x11+x22+xmm=0.x11+x22+xmm+0m+1+0n=0.x1,x2,xm,0,0 不全为零，故1,2,n 线性相关.23;.定理定理4
13、1,2,m(m2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表出个向量线性表出.证 充分性 不妨设1可由 2,m线性表出，即有数 x2,xm 使得,221mmxx,0)1(221mmxx 因-1,x2,xm 不全为零，故1,2,m 线性相关.必要性 有不全为零的数 k1,k2,km 使 k11+k22+kmm=0.24;.,)()(12121mmkkkk1可由 2,m线性表出.因因 k1,k2,km不全为零，不妨设不全为零，不妨设 k10，则，则即即“1,2,m 线性无关线性无关 其中任一向量都不能由其余向量线性表出其中任一向量
14、都不能由其余向量线性表出.”25;.定理定理5 若若 1,2,m 线性无关，线性无关，1,2,m，线性相关，则线性相关，则 可由可由 1,2,m 线性表出，且表式惟一线性表出，且表式惟一.有不全为零的数 k1,k2,km,k 使 k11+k22+kmm +k =0.若k=0，则 k11+k22+kmm =0.而 k1,k2,km 不全为零,与1,2,m 线性无关矛盾.,)()()(2211mmkkkkkk所以所以k 0，证证26;.下证 由1,2,m 线性表出的表式惟一：,2211mmkkk设,2211mmlll所以,0)()()(222111mmmlklklk因 1,2,m 线性无关，所以,02211mmlklklk.11mmlklk，即故表式惟一.27;.例例4：设向量组：设向量组a1,a2,a3线性相关线性相关,向量组向量组a2,a3,a4线性无关线性无关,证明：证明：(1)a1能由能由a2,a3线性表示；线性表示；(2)a4不能由不能由a1,a2,a3线性表示线性表示.证明证明:(1)因为a2,a3,a4线性无关,由定理知，a2,a3线性无关,而a1,a2,a3线性相关,由定理知a1能由a2,a3线性表示.(2)用反证法.假设a4能由a1,a2,a3表示,而由(1)知a1能由a2,a3表示,因此a4能由a2,a3线性表示,这与a2,a3,a4线性无关矛盾.28;.
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