极限的四则运算

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1、极限的四则运算（1）【目的要求】1. 掌握涵数极限四则运算法则的前提条件及涵数极限四则运算法 则。2. 会用极限四则运算法则求较复杂涵数的极限。【教学过程】1. 提问入手，导入新课对简单涵数，我们可以根据它的图象或通过分析涵数值的变化趋势直接写出它们的极限。如 limx十一十/2 x2limx=1.对于复杂一点的涵数, 如何求极限呢?例如计算lim（X+ +）XT12 Xlim （X+十）即lim十，显然通过画图或分析涵数值的变化趋势找出XT12 XXT1 2 X它的极限值是不方便的。因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则 通过法则，把求复杂涵数的极限问题转化为求简单涵数的极限。板书课题：极限

2、的四则运算。2特殊探路，发现规律考察lim 21，完成下表:XT12 XX0. 90. 990. 99911. 0011. 011. 12 X 2 i12 X根据计算（用计算器）和极限概念，得出lim宀=$，与lim十=十、limx = 12x22x 2XT1 2 X2XT1 2 X 2XT1对此发现：limxT12 XXT12X) = lim x + limXT1x T1+ =1+ + = 3 -2x 22由此得出一般结论：涵数极限的四则运算法则： 如果 lim f(x)=a, lim g(x)=b, 那麽xtx0xtx0lim f(x) + g(x)=a + bxT xolim f(X)

3、g(X)=a bxtx0lim I f (x) = a (b 丰 0)xtx0 g(X )b特别的(1)lim C f (X)=C lim f(X) (C 为常数)2)3)4)lim f(X) n = lim f(X) n (n e N * )这些法则对Xt 8的情况仍然成立lim -1 =0 (ne N * )x S xn两个常用极限lim xn =X n,0XT X03应用举例， 熟悉法则例 1 求 lim 2 x212 x iix T1 x 3 + 2 x 2 -1问：已知涵数中含有哪些简单涵数？它是经过怎样的运算结合而成 的？是否适用法则？ 适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写

4、出解答过程。解：= lim(2x2ixi1) = lim2x2ilim xilim1 =2lim 2 x2 + x+1 =E= 7TT xt1 xt1 = 2血2 +1+1 =2x t1 x3 + 2 x2 -1 lim( x3 + 2 x 2 -1) l imx3 + lim 2 x2 -liml 13 + 2x12 -1x t1x t1 x t1 x t1(1) 讲解时注意提问每一步的依据，做到“言必有据”，培养严 谨的思维。(2) 书写时，由于极限符号“lim有运算意义，因此在未求出极 限值时，丢掉符号是错误的。点评：例 1 说明，求某些涵数(到底是哪些涵数，学了2。6 节就 知道了。激

5、发学生学习积极性，为讲连续涵数埋下伏笔)在某一点 x=x 处的极限值时，只要把 x=x 代入涵数解析式中就可得到极限值，00此种求极限值的方法不妨叫代入法。巩固练习：求lim xTl 2 x 2 - x_问：本题还能用代入法求其极限值吗？为什么？引导分析：如果把x=1直接代入中，那磨分子、分母都为零。2x2-x-1虽然分子分母的极限都存在，但不适合用商的法则（为什么？），不 能简单用代入法求这个极限。根据极限概念和思想，所求极限只取决 于点x=1处附近的点（即可认为x丰1），故可把分子、分母分解因式 后约去公因式x-1,从而转化为可用代入法求极限的情形。通过本例， 不仅对法则的适用条件加深了理

6、解，而且进一步深化了对极限概念和 思想本质的认识。解：原式=limXT1(x-i)( x+1)= lim(x-l)(2x+l)3= lim(x+1) = lim x+lim1 =E 22 x+1l im (2 x+1)lim2 x+lim12x1+13x 1x -1x -1点评：函数在某一点的极限，考察的是函数值的变化趋势，与函 数在这一点是否有定义、是否等于在这一点的函数值无关，故本例可 约去公因式 x-1。巩固练习：教科书第 88 页练习第 2 题。4回顾总结（1）函数极限四则运算法则。（2）一般的，中学阶段接触的函数，若要求其在某一点处的极限 值，通常可直接用代入法，或者是先变形（主要是

7、约去公因式），转 化为可用代入法求极限的情形。5达标检测思考题：已只lim b =5,求常数a、b的值。xt3 x2 -2x-3答案： a=14, b=-51极限的四则运算（2）【目的要求】1. 了解由一般到特殊这种演绎思想2. 会分析已知数列是由哪些简单数列经过怎样的运算结合而成的。3. 掌握数列极限的运算法则,会求数列极限。【教学过程】1.复习引入,演绎结论提问：（1）函数极限的四则运算法则（2）数列是一种特殊的函数（自变量为n,函数值为a ），引入数n列的极限是函数极限的特例。数列极限的运算法则也是函数极限四则 运算法则的特例。得出数列极限的四则运算法则：如果lim a =a, lim

8、b =b/那麽nnn fsn fslim（ a + b ） =a + bn _ n_nfslim（ a b ）=ab ,特别地,nnnfslim（C annfs二Climnfs（C为常数）limnfs么=a （b丰o） b bn说明(1) 法则的前提条件是lim a、lim b都存在(如果是商的运算,nnnsnslim b =b丰 0)nns(2) 法则可推广到有限多个情形(3) 几个常用极限:limC=C , lim1 =0 , lim qn =0 (|q|1)n4mn4m nn4mn4m2. 法则应用，掌握规律n4mn4m例 3 求下列极限(1)lim (丄 + )；（2）lim3n-2

9、；n4m n 2 nn4mn（3）lim2n2 + n ；（4）lim 3n3 + nn4m 3n 2 + 2nm 2n4 - n2分析：(1)数列由哪几个数列组成？经过怎样的运算而成？能否直接用法则？为什麽可直接用？用哪个法则？(2) 本题不能直接用法则，应该如何变形？变形的目的是什么？(3) 本题不能直接套用法则，如何转化才能出现极限？与( 2)的式子变形有何不同？用了哪几个法则？可得出什么结论？( 4)本题与( 1 )( 2)( 3)有何不同？分子分母同除 n 3 行吗？可得到一个什么结论？解：(见教科书)总结：(1)当分子分母是关于 n 的次数相同的多项式时，这个分式在n 4m时的极限

10、值是分子、分母中最高次项的系数之比。(2)当分子、分母都是关于n的多项式，这个分式在n 4m时的极限是 0。想一想:将例3中每题里的n换成X.,问题就成为求x 4 m (包含+ m)时，函数的极限。这样改换后，解法与答案有变化吗？3. 变式训练，培养能力变式训练 1：求下列极限：1) limx fg(x -1)( x - 2)2 x 2 + x +1（答案2）2）limxf g答案： 0）课堂练习：教科书第 90 页第 1 题、第2（1） 、（3） 、（5） 、（7） 题。要求：详细写出解答过程，对（5） 、（7）题可提问：是否一定要把多项式展开？对比展开与不展开的结果。口答第2（2） 、（4

11、） 、6）、（8）题。3 5n 2变式训练2：已知lim a2 + ” +1 -5，求常数a的值nfg 3 5n 22分析：题中a在一个式子中，如何求出他的值？（只要得到一个含a 的方程就可以求出）如何得到这个方程呢？（先求极限）如何求极限呢？分子分母同除n 2,即可用法则求出来）解：恤 a 2 + n +13 5n 2nfg1 1 1 1a + +lim(a + +)limn n2 ng n n2n fg3 C5n2由-a = 5 ，得 a=-523lim( 5)n fg n 2lim a + liml + limnn2 a + 0+ 0 anfgnfgnfglim 2 + lim555n

12、fg n 2 n fg2505点评：本题既培养了学生方程的思想、转化的思想，有培养了逆 向思维能力，培养了变形能力，巩固了法则的应用。4. 回顾总结（1）数列极限四则运算法则，法则成立的条件，运算过程（防止结果对，推理过程错）要掌握好，确保运算结果正确。（2）当分子分母都是关于 n 的多项式时，分子、分母同除分子分母中关于 n 的最高次幂，再用法则求极限。5. 达标检测(1)已知 lim(an2 + 3 -bn) =1,求常数 a、b 的值n + 2(2) 求 lim2 n + 3 n+12 n+1 3 n(3) 求liman 5n (a0)。n* an + 5 n+b ）的值。n(4) 若

13、lim(6a b ) =7, lim(3a 4b ) =-1,求 lim(3an nn nnnsnsns答案：(1) a=b=.2(2) -3(3) 0a5 时,1.(4) 2极限的四则运算（3）目的要求】进一步熟练掌握极限的四则运算法则，理解法则的简单应用，通 过有限项的和与无限项的和之间的辩证关系，加深对极限概念的理 解。【教学回顾】1.复习回顾（1）极限概念是通过什麽引入例字的？（2）极限概念及思想的要点是什么？2. 问题解决例在半经为R的圆内接正n边形中，r是边心距，p是周长，S是n n n面积（n =3, 4, 5,）（1）S与r、p有什麽关系？n n n（ 2）求 lim r 与

14、lim p 。nnnsn fg（3）利用（1）、（2）的结果，说明圆面积公式S=nR2。解：（1） S =1 r pn 2 n n（2）分析：随着n的增加，p在变化，但p始终表示正n边形nn的周长，无论n取多大的整数，p都是圆周长的近似值。从这些近似 n值的精确度的无限增加中，探索无穷数列p 的变化趋势（lim p ）， nnnfg从而得出圆周长的精确值2nR。一旦得出2nR，量变就引起了质变。 2nR不再是正多边形的周长了，而是圆周长的精确值了。通过分析, 深化对极限概念的认识。lim r =R， lim p =2 n Ronnnnsn ntwr、p、S也可用n、R表示： r = Rcos，

15、n n nnn(3)S= lim S = lim(! r p ) = lim r Timp =1R 2nR二 nR 2 n 2 n n 2 n n 2 ntwntwntwntw点拨: 点拨p = 2兀R sin , S = nR 2 sin ,提 问：lim p = lim(2兀R sin 我)=2兀R ，nn n 2nn tw n n twnlim n limsin = 2 R a 0 = 0错在何处？为什麽错了？nntwntw虽然limp是存在的，如何计算，以后学了某一重要极限后就 nntw会做了。激发学习兴趣。n2例求lim】+ 2 + 3 + + ntw由学生自己先做，教师巡视。选出两

16、种解法，大家分析，判断正误 找出错误原因：解法 1:原式=lim1 + limZ + lim3 + + lim =0+0+0+ +0ns n 2 ns n 2 ntw n 2ns n 2=0(提醒“+”不要写成“+”)解法2：原示=lim 心=him ( +1ntwntw2n2二(lim 1 + lim )= 2 n twn tw nntw=(1 + )=22因为极限的四则运算法则只适于有限个数列的加、减、乘、除的 情况。当n tw时，和式成了无限项的和，不能使用运算法则。故解 法1是错的，通过辨明正误，培养思维的严谨性。3变式训练，求下列极限1)limntw2 + 4 + 6 + +2n1

17、+ 3 + 5 + + (2n +1)2)lim(占 +ntw11+ +2 3n(n +1)；limntw(3) n+11 3 + 9 (3) n1n + 2)lim n(1 - 5(1 -)(1 -1ns34答案：(1)1(2)1(3)12(4)2简析：（1）不能直接用法则，应先对分子、分母分别求和、变形， 满足极限四则运算法则条件后，再求出极限。占+23+n(nz1)=(1 - 2 (2- 3)(n-占 1=1 - nli 先再用 法则求极限。3）先用等比数列的求和公式，求出分母中各项的和。4）数列是连乘积形式，可用约分变形先求出数列的解析式，n(1 -丄)(1-丄) (1-丄)=n 2

18、-3 也=三=丄,再求极限。34n + 23 4 n + 2 n + 212n课堂练习：教科书第 91 页第 4 题 三角形的一条边长为a，此边上的高为h。1）过高的 5 等分点分别作底边的平行线，并作出相应的 4 个小距 形，求这些距形的面积之和；（2）把高 n 等分，用类似（1）的方法作出n-1个距形，求这些距形面积的和;（3）求证：当n无限增大1）2）时，这些距形面积之和的极限是三角形的面积2咖解： 123412解牛：（a + a + a + a） - h = ah.555555解：自上而下记每个小距形的长（宽均为-）分别为n a，面积分别为AS AS AS ，由相似三角形知识可知，n

19、-11 2n -1a a 1- 2-a. = La (i = 1,2,n -1).从而这n -1个距形的面积之和inS =AS +AS + + AS = 1 a - - + - a - - + 口 a -“12n_i n n n nn nah A 2n -1、 ah 1、= (+ +) = (1 )nnnn n nn n n(3) 证明：当 n Ta 时，lim S = lim ah (1 -1) = 1 ah,即当 n tw 时，S 的 n* n nT8 2 n 2n变化趋于是1 ah，变成了三角形面积的精确度，发生了质的变化。这 2种解题思路及实施方法应理解掌握。4回顾总结(1) 几何应用题要先转化为极限式的计算题。(2) 无限项和的问题要先求有限项的和再求极限。5.布置作业教科书配套练习册第*页第*题*题。