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1、质点运动学两类基本问题,一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；具体分为曲线运动和直线运动,二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程 .具体分为曲线运动和直线运动,如果加速度为恒矢量时，情况如何？,例 求加速度为恒矢量时质点的运动方程.,已知一质点作平面运动, 其加速度 为恒矢量, 有,积分可得,写成分量式,积分可得,曲线运动,第一类问题，已知运动函数，求位置矢量、速度、加速度。,第二类问题，已知加速度与时间的关系以及初始条件，求速度和位置矢量。,直线运动,第一类,第二类,运动学两类问题,第一类,第二类,直线运动,直线运动的简化数学处理,所
2、谓直线运动是指质点运动的轨迹是直线。在这种情况下，我们将坐标系的一个坐标轴就建立在该直线轨迹上，就能够使数学处理大大简化。只需考虑一个坐标分量就可。,1、第一类问题：已知运动函数x=x(t),可以通过定义式求得,解:,位移,例 一物体作直线运动，其运动方程为 ，求 0 5 秒内物体走过的路程、位移和在第5秒的速度,t = 5 时, v = 6 ms-1,t = 2s 时, v = 0，x = - 2m ; t 2s 时, v 0 .,路程 s =(4+9)m = 13 m,解：,以岸边为原点，向右为x轴正向建立一维坐标，可得关系式：,（1）,（1）式两边对时间求导可得,于是有：,（2）,得到速
3、度：,求加速度,于是可以得到加速度,例4 如图所示, A、B 两物体由一长为 的刚性细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行. 如物体 A以恒定的速率 向左滑行, 当 时 , 物体 B 的速率为多少？,解 建立坐标系如图,OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量,物体A 的速度,物体B 的速度,两边求导得,即,沿 轴正向, 当 时,直线运动,直线运动的简化数学处理,所谓直线运动是指质点运动的轨迹是直线。在这种情况下，我们将坐标系的一个坐标轴就建立在该直线轨迹上，就能够使数学处理大大简化。只需考虑一个坐标分量就可。,2、第二类问题：,1）已知加速度a(t)或速度v(t)与时间关系以
4、及初始条件v0、 x0,则积分可得：,和,例 一质点沿x 轴运动，其加速度为 a = 4t (SI制),当 t = 0 时， 物体静止于 x = 10m 处. 试求质点的速度，位置与时间的关系式.,解：,2）已知加速度为速度的函数即a(v)与初始条件v0和x0。,当加速度是速度的函数时，上述加速度的时间的积分是 不能进行的。这时应该先从加速度的微分公式进行变量 调整，即：,两边积分有：,积分完成后，求一次反函数就可以得到速度随时间的 变化关系。然后将速度对时间积分就得到运动方程。,直线运动,2、第二类问题：,解：由加速度定义,例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度为 , 它的加速度为
5、 问:（1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？,直线运动,2、第二类问题：,3）已知加速度为位置的函数即a(x) 与初始条件v0和x0。,数学处理：,两边积分有：,将得到速度随位置的变化关系（函数）v(x)。,积分得运动方程,例 质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标的关系为 a = 3 + 6x2 (SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。,解： 设质点在 x 处的速度为v,曲线运动,第一类问题，已知运动函数，求位置矢量、速度、加速度。,第二类问题，已知加速度与时间的关系以及初始条件，求速度和位置矢量。,运动学两类问
6、题,第一类（数学处理：求导）,第二类（数学处理：积分）,解 （1）由题意可得速度分量分别为,t = 3s 时速度为,速度 与 轴之间的夹角,例 2 设质点的运动方程为 其中 . 式中各量的单位均为SI单位. 求（1） t = 3s 时的速度. （2） 作出质点的运动轨迹图.,（2） 运动方程,由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为,曲线运动,第一类问题，已知运动函数，求位置矢量、速度、加速度。,第二类问题，已知加速度与时间的关系以及初始条件，求速度和位置矢量。,运动学两类问题,第一类（数学处理：求导）,第二类（数学处理：积分）,运动叠加原理,任意一个复杂运动总可以看成是几个简单独立运动的叠加，且不产生相互影响，称为运动的叠加原理或运动的独立性原理。,常见的有：抛体运动（平抛，斜抛(导弹发射).),例1 斜抛运动,当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止自由下落. 试说明为什么子弹总可以射中椰子 ?,例1 设在地球表面附近有一个可视为质点的抛体,以初速 v0 在 Oxy 平面内沿与 Ox 正向成 角抛出, 并略去空气对抛体的作用. （1）求抛体的运动方程和其运动的轨迹方程;（2）抛体的最大射程.,已知： ， ，,解: (1),消去方程中的参数 得轨迹,实际射程小于最大射程,最大射程,真空中路径,实际路径,(2) 射程,
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