抛物线的简单几何性质

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1、2.4.2抛物线的简单几何性质课时目标1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用1抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y22px(p0)(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是_，抛物线在y轴的_侧，当x的值增大时，|y|也_，抛物线向右上方和右下方无限延伸(2)对称性：抛物线关于_对称，抛物线的对称轴叫做_(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_抛物线的顶点为_(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的_，用e表示，其值为_(5)抛物线的焦点到其准线的距离为

2、_，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为，焦点到顶点的距离为_2直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程_的解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有_个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有_个公共点；当0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论(1)以AB为直径的圆与准线_(2)|AB|_(焦点弦长与中点坐标的关系)(3)|AB|x1x2_.(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2_，y1y2_.一、选择题1顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(2,3)，它的方程

3、是()Ax2y或y2xBy2x或x2yCy2xDx2y2若抛物线y22px (p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是()A成等差数列B既成等差数列又成等比数列C成等比数列D既不成等比数列也不成等差数列3已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3 C. D.4设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x5设直线l1：y2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线

4、C：y24x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为()A1 B2 C3 D46过抛物线y2ax (a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则等于()A2a B. C4a D.题号123456答案二、填空题7已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_8已知F是抛物线C：y24x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则ABF的面积等于_9过抛物线x22py (p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y

5、轴的左侧)，则_.三、解答题10设抛物线ymx2 (m0)的准线与直线y1的距离为3，求抛物线的标准方程11过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程能力提升12设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|等于()A4 B8 C8 D1613.已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值1抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离2直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判

6、定；“中点弦”问题也可使用“点差法”2.4.2抛物线的简单几何性质知识梳理1(1)x0右增大(2)x轴抛物线的轴(3)顶点坐标原点(4)离心率1(5)p2k2x22(kbp)xb20两一没有平行或重合一3(1)相切(2)2(x0)(3)p(4)p2作业设计1B由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程2A设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则y2px1，y2px2，y2px3，因为2yyy，所以x1x32x2，即|P1F|P3F|2，所以|P1F|P3F|2|P2F|.3A如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x的距离d等于点P到焦点的距离|

7、PF|.因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为 .4By2ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y2，令x 0得y.4，a264，a8.5C点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意满足条件的直线l2共有3条6D可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|pxP，|QF|q，.7y24x解析设抛物线方程为y2ax.将yx代入y2ax，得x0或xa，2.a4.抛物线方程为y24x

8、.82解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y4x1，y4x2.(y1y2)(y1y2)4(x1x2)x1x2，1.直线AB的方程为y2x2，即yx.将其代入y24x，得A(0,0)、B(4,4)|AB|4.又F(1,0)到yx的距离为，SABF42.9.解析抛物线x22py (p0)的焦点为F，则直线AB的方程为yx，由消去x，得12y220py3p20，解得y1，y2.由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，可知.10解由ymx2 (m0)可化为x2y，其准线方程为y.由题意知2或4，解得m或m.则所求抛物线的标准方程为x28y或x216y.11解方法一设以Q为

9、中点的弦AB端点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y8x1，y8x2，Q(4,1)是AB的中点，x1x28，y1y22.，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)将代入得y1y24(x1x2)，即4，k4.所求弦AB所在的直线方程为y14(x4)，即4xy150.方法二设弦AB所在直线方程为yk(x4)1.由消去x，得ky28y32k80，此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y1y2，又y1y22，k4.所求弦AB所在的直线方程为4xy150.12.B如图所示，直线AF的方程为y(x2)，与准线方程x2联立得A(2,4)设P(x0,4)，代

10、入抛物线y28x，得8x048，x06，|PF|x028，选B.13解由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)分别过A、B作准线的垂线，垂足为A、B.(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3,2)或(3，2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，消去y，整理得k2x2(2k24)xk20，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k0，并设其两根为x1，x2，则x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，所以，|AB|4，即线段AB的长的最小值为4.