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1、注水”定理及其在 OFDM 中的应用1“注水”定理阐述“注水”定理适用于如下情形：1. 1 信道条件信道输入平稳随机序列X = X ,X，X，输出的平稳随机序列Y = Y, Y，Y，噪1 2 N 1 2 N声序列为n二n ,n，n为零均值的高斯加性噪声。定义组合加性高斯白噪声信道(等价于 1 2 N多维无记忆高斯加型连续信道)为：信道中各单元时刻C = 1,2,N)上的加性噪声为均值为零，方差为各不相同的P C = 1,2,N)的高斯噪声，且各分量统计独立。ni1. 2 约束条件当且仅当信道输入平稳随机序列X = X , X，X中各分量统计独立，各加性噪声为 12 N均值为零，方差为各不相同的
2、P C = 1,2,N)的高斯噪声时，信道容量为：niC 二 max I (X; Y )(厂、1 eP=_ log 1 + f(1.1)2 电 P、丿iI n丿i1. 3“注水”定理各个输入信号的总体平均功率E X2受限，因此存在一个约束条件为i1- i=1P = E X 2(1.2)ii=1要计算C = max I(X; Y),就是计算式(1.1)在约束条件式(1.2)下的最大值。引用拉格朗日乘数法求解此问题,做辅助函数P、srJ (P , P，P )=1 工 log 1 + s1 s2sN2 i 2 kn丿ii其中P = E X2为各个时刻的信号平均功率，九为参数, isi函数J (P ,
3、P，P )逐一求P的导数，使之等于零:s1 s2sNsiJ (P , P，P )sr S = 0dPsi(i = 1,2,N )(1.3)即拉格朗日乘子，对辅助(1.4)即得到：(1.5)11+九2 P +Pnisi(1.6)其中v为常数，由于式(1.6)中的P可能为负值，这表明并联信道中，某一新到的平si均噪声功率 P 大于信道分配到的信号平均功率时,信号将淹没在噪声中而无法利用。只能 ni令 P 为大于等于零的数,故选取 si(1.7)P = (v 一 P )+ s i而常数v由约束条件求得为P=E迓X 2 -=卫- p Tii=1k i=1ni 丿(1.8)最终可得信道容量为log2(1
4、.9)(v - P )1 +nPkn丿“注水”定理是说明，当 N 个独立并联的组合加性高斯白噪声信道，各分信道的噪声 平均功率不相等时,为达到最大的信息速率,要对输入信号的总能量进行适当的分配。分配 按式(1.9)进行。2 OFDM简介正交频分复用(Orthog onal Frequency Division Multiplexing)是一种利用多载波调制的特殊频率复用技术。正交频分复用源于传统的频分复用系统，而传统的频分复用系统是将 整个信号频段被分为 N 个相互不重叠的频率子信道，每个子信道传输独立调制符号 ,然后 再将N个子信道进行频率复用。传统的频分复用系统虽然有利于消除信道间干扰，但
5、是未能 有效利用频谱资源。OFDM技术可以利用子载波之间的正交性从而不需要这段保护频带， 从而节省了带宽。关于OFDM技术的提出最早出现于1966年，20世纪60年代，OFDM 技术就已经被应用到多种高频军事系统中，其中包括 KINEP LEX，AN2DEFT，K NTHRY N。 目前，OFDM技术已经用于数字音频广播(DAB)、数字视频广播(DVB)、非对称数字用 户线技术(ADS L)中，并已成为第四代移动通信的核心技术。正交频分复用(OFDM)的基本定理就是把高速数据流通过串并变换，分配到传输速率相 对较低的若干个子信道中进行传输。这样每一个子信道中的符号周期会变长，因此可以减轻 多径
6、时延对系统造成的影响。尽管还是频分复用，但是与FDMA相比已经有了很大的不同： 不再是通过很多带通滤波器来实现，而是采用容易实现的基于载波频率正交的傅立叶变换调图 1 OFDM 的实现框图3 “注水”定理在OFDM中的应用3. 1 OFDM 子信道特征每个OFDM符号在周期T内包括多个非零子载波，所以，其频谱可以看作是周期为T 的矩形脉冲的频谱与一组位于各个子载波频率上的函数的 卷积。矩形脉冲的频谱幅度值为 Sa函数，这种函数的零点出现在!；的位置上。在每一个子载波频率的最大值处，其他子信道的频谱值恰好为零，如图2所示。在仅有高斯白噪声的情况下，可以从多个相互重叠的子图 2 OFDM 系统中子
7、信道的频谱 符号频谱中提取出每个子信道符号而不会受到其它子信道的影响。这一特点即可理解为 在各个子信道上的加性噪声量统计独立，即OFDM系统中子信道课认为是N个独立并联的 组合加性高斯白噪声信道，即为OFDM的正交性。3. 2“注水”定理用于功率受限条件下的最佳功率分布算法发射总功率受限制的条件下 ,如何使总数据传输速率最大化（在满足一定的误码率要求 基础上） 。在使信道容量最大化的场合 ,最佳的能量分配方法是“注水”定理。如前文讨论可知，OFDM的正交性保证了 “注水”定理的应用前提在OFDM技术中， “注水定理”成为 OFDM 的最佳功率分布算法，具体为：采用动态子载波分配技术能使系 统达
8、到最大比特率，通过选取各子信道，每个符号的比特数以及分配给各子信道的功率使总 比特率最大。即要求各子信道信息分配应遵循本文第一部分中描述的“注水”定理。“注水”定理在OFDM所表达的含义是：OFDM系统信道输入信号的总能量按式（1.9） 进行分配，当常数v P nn ii 时，按此信道的信噪比分配能量，即信噪比大的子信道，应分配较多的信号功率；在信噪比 小的子信道分配较少的信号功率。这样的分配要保持各个子信道中的信号功率与噪声功率之 和为常数，直到所有的信道功率都被分配完。此分配过程可以形象的解释为容器中睡的流动 情况。将信道视为容器，将信号总能量常数P是为水，将各信道噪声方差P视为容器高低 ni不平的底部，将常数卩视为容器中的水平面。当常数v P时，水的分布由水平面V和容器底部形状P共同决定。nn ii
信息论：注水定理及其在OFDM中的应用
