数列不等式证明中的一些放缩技巧

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1、数列不等式证明中的一些放缩技巧1. 放缩为裂项求和例1.设数列的前n项的和.(1) 求首项与通项；(2)设，证明：.解：（1）；(2)所以，.2.放缩为等比求和例2.已知数列满足(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：解：（1）;(2)先证不等式的右边：.再证不等式的左边：（先将通项放缩，从某一项开始放缩后，和式转化为等比数列求和）.例3.设数列满足(1) 当时，求并由此猜想出的一个通项公式；(2) 当时，证明对所有的，有（）； （）证明：（）由 (),下面考虑对1+进行缩小=.(无穷递缩等比数列，其部分项和)3.奇偶相邻问题捆绑求和放缩例4.已知数列的前n项和满足(1)写出数列的前3项；(2

2、)求数列的通项公式；(3)证明：对任意的整数m4,有.解：(2);(3)由（2）不等式左边=分母-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和.这里需要对m进行分类讨论：当且n为奇数时，=，于是(1)当m4且m为偶数时(2)当m4且m为奇数时由（1）知：.总之，数列和不等式的证明，关键是把和求出来，若不能直接求和，就要先把通项放缩，再求和，求和后再放缩，证得结果.练习：1.(2008年高考浙江卷理)已知数列，,记，求证：当时，(1) (2); (3).(1)数学归纳法，（2）逐差累加，（3）左边放大为等比数列再求和.后记：放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点，由于其灵活多变，许多学生觉得没有规律，无从着手.本文根据中学数学2010第2期黄俊峰、袁方程的文章整理，以期在教学、复习时能有所借鉴. （ 郑碧星 2011-2-20）