九年级数学中位线、画相似图形、图形与坐标华东师大版知识精讲

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1、九年级数学中位线、画相似图形、图形与坐标华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容： 24.6 中位线、画相似图形、图形与坐标二. 学习目标：（1）理解三角形、梯形的中位线定义与性质，会应用三角形、梯形中位线解决实际问题；（2）了解位似图形及其有关概念，能利用位似的方法将一个图形放大或缩小；（3）会用平面直角坐标系来确定地理位置，体会直角坐标系的作用；（4）理解点或图形的变化引起的坐标的变化规律，以及图形上的点的坐标的某种变化引起的图形变换，并应用于实际问题中。三. 重点、难点： 1. 重点：（1）三角形、梯形中位线定理；（2）能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小；（3）掌握利用直角坐标

2、系确定地理位置；（4）图形坐标变化与图形变换之间的关系。 2. 难点：（1）三角形中位线定理的形成和应用；（2）怎样利用位似方法画相似图形；（3）怎样应用直角坐标系来确定地理位置也就是如何建立适当的坐标系；（4）图形坐标变化与图形变换规律的探究。四. 知识梳理： 1. 三角形、梯形中位线（1）三角形的中位线定义连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形；要注意三角形的中线与中位线的区别。中线是从顶点到对边中点的连线；中位线是两边中点的连线。（2）三角形的中位线的性质三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。利用三角形的中位线性质可以说

3、明两条直线平行；也可以说明线段的倍分关系。（3）梯形的中位线的定义连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，值得注意的是梯形的中位线只有一条；连结两底中点的线段不是梯形的中位线。（4）梯形中位线的应用：可以说明线段平行；可以说明线段的等量关系；梯形的面积等于中位线与高的积。三角形、梯形中位线定理第一部分讲位置关系；第二部分讲数量关系。中位线的应用极其广泛，如用在证明线段平行，角的和、差、倍、分等问题上。在实际问题中常过一边的中点作另一边的平行线从而运用中位线定理解决问题。 2. 位似图形的有关概念（1）如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫位似，这一点叫位似中心。位似变换

4、是相似变换的特例，位似形一定是相似形，但相似形不一定是位似形，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小。位似图形的所有对应点的连线所在的直线交于一点(位似中心)，该点可在两个图形的两侧，或两个图形之间，或图形内，或边上，也可以是顶点。如图：由位似图形的定义不难得出位似图形的一条性质：位似图形上任意一对对应点到位似中点的距离之比等于位似比。（2）作位似图形的方法：先确定位似中心，再过位似中心和每个顶点作直线，在直线的另一侧取原多边形的各顶点的对应顶点，连结各点，即得到放大或缩小的图形(注意“放大”与“放大到”等说法的区别)。 位似是新课标中新增添的内容，要求掌握用多种方法将一个图形放大或缩小。

5、 3. 图形与坐标（1）确定物体位置的方法以点的坐标确定点的位置；用一个角度和一个距离表示点的位置，如：点B在点A的北偏东60方向上，且距点A 30m。用经度及纬度确定点的位置；其他方式，如国际象棋竖条用字母，横条用数字表示，中国象棋用一、二、三和1、2、3以及平、进、退来表示点的位置，等等。有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置。例如：用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用几排几座来表示。同时，我们还可用一个角度和距离来表示一个点的位置。这种方式在军事和地理中较为常用。（2）图形的平移、旋转、对称、放大或缩小等变化中点的坐标的变化规律到目前为止，我们

6、已经学过了平移、旋转对称、相似等变换，图形经过这些变换后，对应顶点的坐标也会随之变化，有的横坐标变化，而纵坐标不变，也有的横坐标不变，纵坐标变化。平移：水平方向平移，图形各顶点的纵坐标不变，沿铅直方向平移，图形各顶点的横坐标不变；旋转：先找准旋转中心及旋转方向与旋转的角度，再观察旋转后与旋转前点的变化情况；对称：关于x轴对称的图形横坐标不变，关于y轴对称的图形纵坐标不变，关于原点对称的图形，图形的横坐标与纵坐标互为相反数。位似变换：将已知图形放大或缩小，应运用网格法求点的变化坐标，或运用相似三角形的方法求变化后的图形坐标。学习本节内容，应注意把“形”与“数”紧密地联系在一起。【典型例题】例1.

7、 如图，ABC的三边长分别为AB14，BC16，AC26，P为A的平分线AD上一点，且BPAD，M为BC的中点，求PM的长。分析：角平分线与垂直结合，这是一个基本图形，注意构造等腰三角形。解答：A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP交AC于点Q，由ABPAQP知ABAQ14，又知M是BC的中点，所以PM是BQC的中位线，于是本题得以解决。PM6 例2. 已知第一个三角形的周长为a，它的三条中位线组成第二个三角形；第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，依此类推，第二七个三角形的周长是多少？分析：先探究第二个三角形的周长与第一个三角形周长的关系，再探究第三个三角形的周长与第

8、一个三角形周长的关系，从而发现寻找规律。解：第二个三角形的每边长为第一个三角形每边长的一半，第二个三角形的周长为第一个三角形周长的一半，第三个三角形的周长为第二个三角形周长的一半，即是第一个三角形周长的。依此类推，第n个三角形的周长为第一个三角形周长的，故第二七个三角形的周长为a。 例3. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA、的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？分析：请任画一个四边形，顺次连接四边形各边的中点。猜想探索得到的四边形的形状，由E、F分别是中点，你能联想到什么？你应该如何做？解答：连结AC，由已知条件可得EF与HG分别是ABC与ACD的中

9、位线，根据三角形中位线定理，可得EFAC，EF=AC，同理：HGAC，HG=AC所以EF平行且等于HG，所以四边形EFGH是平行四边形。 例4. 如下图：E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF，问：ABCD为什么四边形？请说明理由。解析：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC，取AC的中点G，连EG、FG，则EGCD，FGAB，EGFG，即EGFGEF，则G点在EF上，EFCD，EFAB，故ABCD。（1）若ADBC，则凸四边形ABCD为平行四边形；（2）若AD不平行于BC，则凸四边形ABCD为梯形。点拨：利用中位线构造出CD、AB，其关键是连AC，并取其中点G。 例

10、5. 如图所示，梯形ABCD中，AD/BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FOEO=3，则BCAD等于( ) A、4 B、6 C、8 D、10解析：EF是梯形ABCD的中位线， EO/AD，可得BOEBDA，相似比为，O是BD的中点，EO是BAD的中位线，同理可得：OF是BDC的中位线，EO=AD，OF=BC，又FOEO=3BCAD=3，即BCAD=6，故选B 例6. 如图，请用位似的方法把下面的图形放大一倍。分析：根据位似的概念，先确定位似中心，再依据相似形的性质，把对应线段放大一倍。解：如图1、任取一点O；2、以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD；3、分别在射线OA、OB、O

11、C、OD上，取点，使；4、连结，得到所要画的多边形。 例7. 如图，已知O是四边形ABCD的一边AB上的任意一点，EHAD，HGDC，GFBC。试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否相似，并说明你的理由。分析：通过观察，我们可以猜想出四边形EFGH四边形ABCD，关键是如何说明两者是相似的。三角形相似只要有两对对应角相等或对应边成比例，而要说明多边形相似，则要同时满足两个条件：既要所有的对应角相等，又要所有的对应边成比例，二者缺一不可。从EHAD、HGDC、GFBC可得三对相似三角形，再找出角的关系，则能证明猜想。解答：四边形EFGH四边形ABCD。理由：因为EHAD，所以OEHOAD，所以

12、1=A，2=3，又因为HGCD，所以OHGODC，所以45，67，所以2+43+5，即EHGADC。因为GFBC，所以OFGOBC，所以89，10B，所以6+87+9，即HGFDCB，所以，所以OEkOA，OF=KOB ，所以所以1A，EHGADC，HGFDCB，10B，。所以四边形EFGH四边形ABCD。 例8. 下图是某市旅游景点的示意图。试建立直角坐标系， 用坐标表示各个景点的位置。 解析：直角坐标系位置不同，各景点的坐标也不相同。如以中心广场为原点建立坐标系，答案如下：以中心广场为原点建立坐标系，如图，则各景点坐标依次为：雁塔(2，4)；钟楼(4，2)，大成殿(3，1)；科技大学(5，

13、4)；碑林(4，4)；映月湖(4，3)。 例9. 下图中，矩形ABCD沿y轴向上平移3个单位后，得到矩形。四个顶点的坐标有什么变化呢?若矩形再沿x轴方向向右平移6个单位后，得到矩形，四个顶点的坐标又有什么变化呢?分析：关键是搞清平移的方向。若沿x轴平移，则横坐标变化而纵坐标不变；若沿y轴平移，则纵坐标变化而横坐标不变。解：矩形ABCD的四个顶点的坐标是A(2，0)，B(2，2)，C(2，2)，D(2，0)沿y轴平移后的矩形的四个顶点的坐标是，沿x轴平移后的矩形的四个顶点的坐标是点拨：沿x轴正方向平移a个单位，则对应顶点的横坐标均加上a，纵坐标不变；向负方向平移a个单位，则横坐标均减去a，即加上

14、a，纵坐标不变。沿y轴正方向平移b个单位，则对应顶点的横坐标不变，纵坐标加上b，反之向反方向平移，则横坐标不变，纵坐标均加上b。 例10. 如图，ABC以点G为位似中心缩小为原来的0.5倍，得到，写出变化前后两个三角形各顶点的坐标。分析：先确定ABC三个顶点的坐标，然后依据，点的纵坐标为点B的纵坐标的一半。点的纵坐标为点C的纵坐标的一半。解：如图，A(0，0)，B(5，2)，C(0，4)，(1，0)，(1.5，1)，(1，2) 【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、填空题 1. 通过平移把点A（5，3）移到A（3，1），按同样的平移方式把B（2，3）移到B，则点B的坐标是_。 2. 若ABC的

15、三个顶点的横坐标都乘以1，纵坐标不变，则所得到的图形与原图形的关系是_。 3. 若两个位似多边形的位似比是3：2，则这两个多边形的面积比为_。 4. 如图，表示ABC和它缩小后得到的COD，它们的相似比为_。 5. 在比例尺是1：10 000的图纸上，A，B两地的距离为，那么这两地的实际距离为_。 二、解答题 6. 如图，A代表学校，B是公安局，C是医院，D是市政府，E是少年宫。 （1）在图中建立直角坐标系，并表示各部门所在位置（每小格为单位1）。 （2）学校在市政府的哪个方位？距离是多少？ 7. 在下面网格中画一钝角三角形，把它扩大2倍，并绕其中一顶点旋转180，请合理设计，把每一步得到的三

16、角形标出来。 8. 在直角坐标系中，已知A（4，0），B（4，3），画出与OAB形状、大小完全相同的三角形，且这两个三角形有两个公共点，求第三个顶点的坐标。 9. 如图，正方形ABCD的顶点坐标为A（1，1），B（1，1），C（1，3），D（1，3）。 （1）若将正方形向右平移a个单位，使正方形完全落在第一象限，求a的取值范围。（2）若使正方形绕坐标原点旋转180，而正方形的位置不发生变化，应把正方形ABCD作怎样的变换？请说明作法。 10. 某城市A地和B地之间经常有来往车辆，C地和D地之间也经常有来往车辆，建立如图所示直角坐标系，四地的坐标分别为A（5，3），B（1，1），C（3，2），D

17、（1，4），现要建一加油站，建在哪里对来往的车辆会比较方便？试求加油站的具体位置。 11. 我们给中国象棋棋盘建立平面直角坐标系。若A表示象所在的位置。请在图中标出象下一步可以走的位置。 12. 在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点坐标分别为A（0，3），B（2，4），C（4，3），D（2，1）。 （1）求图中四边形ABCD的面积。 （2）将四边形沿AC所在直线翻折，求四边形各顶点坐标。 （3）改变四边形的一个顶点的坐标，使四边形ABCD变成菱形，说出两种不同的改法。 试题答案 1. （4，5） 2. 以y为对称轴的轴对称图形 3. （9：4） 4. 2：1 5. 0. 55km 点拨：单

18、位变化要注意。 6. 答案不唯一，图略 例如：以BD所在直线为y轴，D为坐标原点，建立直角坐标系，各点所在位置可表示为A（2，2），B（0，3），C（2，1），D（0，0），E（2，2）。 （2）学校在市政府的东北方向，距离为2。 7. 如图所示 8. C1（0，3），C2（0，3），C3（4，3），C4（8，0），C5（8，3），C6（） 9. （1）a1 （2）应把正方形ABCD向下平移2个单位。 10. 连接AB，CD两条线段的交点P即为所求。 设经过AB直线的解析式为y=kx+b。 根据题意 得k1=，b1=，yAB=x+ 设经过C，D直线的解析式为y=kx+b 依题意，得 k2=3，b2=7， yAB=3x7。 则yAB与yCD的交点为 解得P（2，1） 加油站的具体位置在P（2，1）处。 11. 图略。象可以走的位置有（2，0），（6，0），（2，4），（6，4） 12. （1）S四边形ABCD=6 （2）A（0，3），B（2，2），C（4，3），D（2，5） （3）一种方法为使B点坐标变为（2，5），另一种方法为使D点坐标变为（2，2）。