一元二次方程中考复习

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1、2012年中考数学一轮复习讲义22 一元二次方程 小结1 概述主要内容有三部分第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中

2、考试题中占有一定的比例. 小结2 学习重难点【重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.【难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一元二次方程)来解决会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二次方程根的判别式的应用.小结3 学法指导1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境建立模型应用”的模式. 2在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法直接开平方法、因式分

3、解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规范化地表达方程思想和方程知识的过程. 3通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”. 4经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据具体问题检验解的合理性.5学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关系，并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学

4、思想在解决问题中的作用.知识网络结构图定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程直接开平方法因式分解法配方法公式法解法（降次）一元二次方程应用一元二次方程解决实际问题专题总结及应用一、知识性专题专题1 一元二次方程的定义【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.例1 已知（m1）x|m|+1+3x20是关于x的一元二次方程，求m的值.分析 依题意可知m10与|m|+12必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.解：依题意得|m|+12，即|m|1，解得m1，又m10，m1，

5、故m1.【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.专题2 一元二次方程的解法【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.例2 用配方法解一元二次方程2x2+13 x.分析 本题考查配方法解方程的步骤.解：移项，得2x23 x1，二次项系数化为1，得配方，得由此可得【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方.例3 一元二次方程3x2x0的解是（ ）A.x0 B.x10，x23 C. D. 分

6、析 根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x(3x1)0，易求出x0或3x10，问题得解.故选C.【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程.例4 解方程x22x20.分析 结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解.解法1：a1，b2，c2，b24ac（2）241（2）12，x解法2：移项，得x22x2，配方得x22x+13，即（x1）23，x1，【解题策略】 一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法.专题3 与方程的根有关的问题【专题解读】 这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题.例5 解下列方程，将所

7、得到的解填入下面表格中：方程x1x2x1+x2x1x2x26x0x25x+40x2+3x100（1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？（2）一般地，对于关于x的方程x2+px+q0（p，q为常数，且p24q0）来说，是否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.分析 这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.解：填表如下：方程x1x2x1+x2x1x2x26x00660x25x+401454x2+3x10052310（1）由上表可以发现：上述方程

8、的两根之和等于方程的一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.（2）对方程x2+px+q0（p，q为常数，且p24q0）来说也具备同样的规律.设方程x2+px+q0的两根为x1，x2，则x1+x2p，x1x2q，理由如下：p24q0，方程x2+px+q0有两个实数根，x1+x2x1x2即x1+x2p，x1x2q.例6 若a是关于x的方程x2+bx+a0的根，且a0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（ ）A.ab B. C.a+b D.ab分析 此题应由根的意义入手，将a代入方程等得到关于a，b的一个方程，再通过因式分解进行求解.把xa代入方程x2+bx+a0，得a2+ab+a0，a(a+

9、b+1)0，又a0，a+b+10，即a+b1.故选C.【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.专题4 一元二次方程的应用【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.例7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8050.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意列方

10、程得 .分析 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用.因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则2006年投入资金是5786（1+x）万元，2007年的投入资金是5786（1+x）2万元，故所求方程为5786（1+x）28058.9.【解题策略】有关增长率问题的常用公式为a（1+x）nb（n为正整数）.二、规律方法专题专题5 一元二次方程的解法技巧【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.1.换元法例8 如果（2m+2n+1）（2m+2n1）63，那么m+n的值是 .分析 把m+n看做一个整体求解.设m+nx，则原方程化为（2x+1）（2x

11、1）63，整理，得4x264，解得x4，m+n4.故填4.例9 解方程（3x+2）28（3x+2）+150.分析 此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把3x+2看做一个整体，设为t，则原方程就可化成关于未知数t的一元二次方程.解：设3x+2t，原方程化为t28t+150，t13，t25.当t3时，3x+23，x；当t5时，3x+25，x1.原方程的根为x1，x21.【解题策略】 本题也可直接分解为(3x+2)3 (3x+2)50，即（3x1）（3x3）0，用因式分解法解得x1，x21.例10 解方程（x+2）（x+3）（x4）（x

12、5）44.分析 解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程.本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为0）.解：原方程转化为（x+2）（x+3）（x4）（x5）440，（x+2）（x4） （x+3）（x5） 440，（x22x8）（x22x15）440，令x22xy，则原方程化为（y8）（y15）440，y223y+760，y14，y219.当y4时，x22x4，当y19时，x22x19，原方程的根是2.配方法例11 先用配方法说明：无论x取何值，代数式x26x+10的值部大于0；再求出当x取何值时，代数式x26x+10

13、的值最小，最小值是多少.解：x26x+10x26x+32+（1032）（x3）2+1.（x3）20，（x3）2+10，无论x取何值，代数式x26x+10的值部大于0.当x30，即x3时，(x26x+10)最小1.例12 若实数m，n，p满足mn8，mn+p2+160，则m+n+p的值为（ ）A.1 B. 0 C.1 D.2分析 本题有三个未知数m，n，p给出两个关系式，思路应放在消元转化上.由mn8，得mn+8，将mn+8代入mn+p2+160中，得n(n8)+p2+160，n2+8n+16+p20，即（n+4）2+p20，又（n+4）20，p20，且（n+4）2+p20，故选B.3.构造法例

14、13 解方程3x2+11x+100.解：原方程两边同时乘3，得(3x)2+113x+30=0，（3x+5）(3x+6)=0,3x+5=0,或3x+6=0，4.特殊解法例14 解方程（x1994）（x1995）=19961997.分析 观察方程可知1994+1997=1995+1996，19941996=19951997，并且一元二次方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解.解：方程组的解一定是原方程的解，解得x=3991，方程组的解也一定是原方程的解，解得x=2，原方程最多只有两个实数解，原方程的解为x1=3991，x2=2.【解题策略】解本题也可采用换元法.设x1995=t，则x19

15、94=t+1，原方程化为t（t+1）=19961997，t2+t19961997=0，（t+1997）（t1996）=0，t+1997=0,或t1996=0，t1=1997，t2=1996.当t=1997时，x1995=1997，x=2；当t=1996时，x1995=1996,x=3991.原方程的解为x1=2，x2=3991.三、思想方法专题专题6 建模思想【专题解读】 建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.例15 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分

16、率是 .分析 根据题意，设所求百分率为x，则有50（1x）2=40.5，解得x1=1.9，x2=0.1，而1.91，不合题意，舍去，故x=0.1.故平均每年下降的百分率是10%.故填10%.【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义.在建立方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系.2011中考真题精选一、选择题1. （2011新疆乌鲁木齐，8，4）关于x的一元二次方程（a1）x2x|a|10的一个根是0，则实数a的值为（）A、1B、0C、1D、1或1考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。专题：常规题型。分析：先把x0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能

17、为0，把a1舍去解答：解：把x0代入方程得：|a|10，a1，a10，a1故选A点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项2. （2011台湾，20，4分）若一元二次方程式ax（x1）（x1）（x2）bx（x2）2的两根为02，则|3a4b|之值为何（）A2B5 C7D8考点：解二元一次方程组；绝对值。分析：先根据一元二次方程式ax（x1）（x1）（x2）bx（x2）2的根确定ab的关系式然后根据ab的关系式得出3a4b5用求绝对值的方法求出所需绝对值解答：解：将两根02分别代入ax（x1）（x1）（x2）bx（x2）2中计算得3a4

18、b5，所以|3a4b|5故选B点评：此题考查了一元二次方程和二元一次方程及绝对值的运用3. （2011台湾31，4分）关于方程式88（x2）2=95的两根，下列判断何者正确（）A、一根小于1，另一根大于3B、一根小于2，另一根大于2C、两根都小于0 D、两根都大于2考点：估算一元二次方程的近似解；解一元二次方程-直接开平方法。分析：本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出x1和x2的值，再进行估算即可得出结果解答：解：88（x2）2=95，（x2）2=，x2=，x=+2，x1=+2，x13，x2=-+2，x21故选A点评：本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意

19、在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键4. 6.某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）A B C D考点：由实际问题抽象出一元二次方程专题：增长率问题分析：根据降价后的价格原价（1降低的百分率），本题可先用173（1x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程解答：解：当商品第一次降价x%时，其售价为173173x%173（1x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为173（1x%）173（1x%）x%173（1x%）2173（1x%）2127故选C点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价

20、后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可5. （2011甘肃兰州，19，4分）关于x的方程的解是x1=2，x2=1（a，m，b均为常数，a0），则方程的解是 . 考点：一元二次方程的解.分析：直接由向左平移加，向右平移减可得出x1=22=4，x2=12=1解答：解：关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，（a，m，b均为常数，a0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=22=4，x2=12=1故答案为：x1=4，x2=1点评：此题主要考查了方程解的定义注意由两个方程的特点进行简便计算6.（2011湖南张家界，5，3）已知1是关于x的一元

21、二次方程（m1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A、1B、1 C、0D、无法确定考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。分析：把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解解答：解：根据题意得：（m1）+1+1=0，解得：m=1故选B点评：本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键7. （2011甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）ABCD考点：一元二次方程的定义分析：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案

22、解答：解：A，由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；B，当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C，由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D，方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误故选C点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是28. （2011黑龙江省哈尔滨,5，3分）若x=2是关于x的一元二次方程x2mx+8=0的一个解则m的值是（）A.6 B.5 C.2 D

23、.6考点：一元二次方程的解。分析：先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可解答：解：把x=2代入方程得：42m+8=0，解得m=6故选A点评：本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握二、填空题1. （2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x的方程x2+mx6=0的一个根为2，则m=1，另一个根是3考点：一元二次方程的解；根与系数的关系专题：方程思想分析：根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=解出方程的另一个根解答：解：根据题意，得4+2m6=0，即2m2=0，解得，m=1

24、；由韦达定理，知x1+x2=m；2+x2=1，解得，x2=3故答案是：13点评：本题主要考查了一元二次方程的解根与系数的关系在利用根与系数的关系x1+x2=x1x2=来计算时，要弄清楚abc的意义2. （2011山东滨州，14，4分）若x=2是关于x的方程的一个根，则a的值为_.【考点】一元二次方程的解【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=2代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值【解答】解：把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得：4-2-a2+5=0，解得：a=故答案为：【点评】本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容3. （2011梧州，15，3

25、分）一元二次方程x2+5x+6=0的根是x1=2，x2=3考点：解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程。专题：计算题。分析：分解因式得到x+2）（x+3）=0，推出x+2=0，x+3=0，求出方程的解即可解答：解：x2+5x+6=0，分解因式得：（x+2）（x+3）=0，即x+2=0，x+3=0，解方程得：x1=2，x2=3故答案为：x1=2，x2=3点评：本题主要考查对等式的性质，解一元一次方程，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键一、选择题1. （2011四川凉山，6，4分）某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127

26、元，下面所列方程中正确的是（ ）A B C D 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 专题：增长率问题 分析：根据降价后的价格原价（1降低的百分率），本题可先用173（1x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程 解答：解：当商品第一次降价x%时，其售价为173173x%173（1x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为173（1x%）173（1x%）x%173（1x%）2173（1x%）2127故选C 点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可2. （2011台湾20

27、，4分）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分（）A、11B、12 C、13D、14考点：一元二次方程的应用。专题：网格型。分析：可设方格纸的边长是x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解解答：解：方格纸的边长是x，x2xxxxxx=x2=12所以方格纸的面积是12，故选B点评：本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解3. （2011甘肃兰州，11，4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各

28、送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）ABCD考点：由实际问题抽象出一元二次方程分析：根据题意得：每人要赠送x-1张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程解答：解：根据题意得：每人要赠送x-1张相片，有x个人，全班共送：（x-1）x=2070，故选：A点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x-1张相片，有x个人是解决问题的关键4. （2011贵州毕节，10，3分）广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程正确的是( )A BC D考点：由实际问题抽象出一元二次方程。专题

29、：增长率问题。分析：本题可先用168（1a%）表示第一次降价后某纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程解答：解：当某纪念品第一次降价a%时，其售价为168168a%=168（1a%）；当某纪念品第二次降价a%后，其售价为168（1a%）168（1a%）a%=168（1a%）2168（1a%）2=128故选B点评：本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可5. （2011广西百色，11，4分）某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元若求2、3月份的产值

30、平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程（）A72（x+1）2=50B50（x+1）2=72C50（x1）2=72D72（x1）2=50考点：由实际问题抽象出一元二次方程专题：增长率问题分析：根据这两个月的产值平均月增长率为x，则2月份的产值是50（1+x），3月份的产值是50（1+x）（1+x），从而列方程即可解答：解：根据题意，得50（x+1）2=72故选B点评：此题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，此题中的等量关系是3月份的产值达到了72万元6.（2011湖北黄石，8,3分）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定

31、21条直线则n的值为（）A5B6C7D8考点：一元二次方程的应用。专题：规律型。分析：这是个规律性题目，关键是找到不在同一直线上的n个点，可以确定多少条直线这个规律，当有n个点时，就有，从而可得出n的值解答：解：设有n个点时，=21n=7或n=6（舍去）故选C点评：本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n个点时，可确定多少条直线，代入21可求出解二、填空题1. （2011宁夏，13，3分）某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元根据题意可列方程为36（1m%）2=25考点：由实际问题抽象出一元二次方程。专题：增长率问题。分析：等量关系为：原价（1降低率）2

32、=25，把相关数值代入即可解答：解：第一次降价后的价格为36（1m%），第二次降价后的价格为36（1m%）（1m%）=36（1m%）2，列的方程为36（1m%）2=25故答案为：36（1m%）2=25点评：本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b2. （2011山西，15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力 2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为_考点：一元二次方程

33、专题：一元二次方程分析：设年平均增长率应为x，根据题意列方程，解得，检验即可解答：20%点评：增长率的基本关系式：，其中a为原有量，b为现有量，n为增长的次数，x为增长率3. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20%考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：2000（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）故答案为：20%点评：本题

34、主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键4. （2011云南保山，13，3分）据调查，某市2011年的房价为4000元/m2，预计2013年将达到4840元/m2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）A4000(1+x)=4840 B4000(1+x)2=4840C4000(1-x)=4840 D4000(1-x)2=4840考点：由实际问题抽象出一元二次方程。专题：增长率问题。分析：根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出2013年的房价，而预计2013年将达到4840元/m2，故可得到一个一元二

35、次方程解答：解：设年平均增长率为x，那么2012年的房价为：4000（1+x），2013年的房价为：4000（1+x）2=4840故选B点评：本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程5.（2011青海）某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是20%考点：一元二次方程的应用。专题：增长率问题。分析：此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格

36、变为100（1x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x1）（x1），即100（x1）2元，从而列出方程，求出答案解答：解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1x）2元根据题意，得100（1x）2=64，即（1x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2即每次降价的百分率为0.2，即20%故答案为：20%点评：考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍6. （2011山东省潍坊， 16，3分）已知线段AB的长为以AB为边在AB的下方作正方形ACDB取AB边上一

37、点E以AE为边在AB的上方作正方形AKNM过E作EFCD垂足为F点若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等则AE的长为_【考点】一元二次方程的应用【专题】几何图形问题【分析】本题需先设出AE的长，从而得出BE的长，再根据题意列出方程，求出x的值即可得出AE的长【解答】解：设AE的长为x，则BE的长为a-x根据题意得：x2=（a-x）a解得：x= 故答案为：【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件和图形列出方程是本题的关键7. （2011山西15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的丰要动力2010年全省全年旅游

38、总收入大约l000亿元，如果到2012年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为考点：一元二次方程的应用。专题：增长率问题。分析：根据题意设年平均增长率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案解答：解：设年平均增长率为x，则1000（1+x）2=1440，解得x1=0.2或x2=2.2（舍去），故年平均增长率为20%；故答案为20%点评：本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题8. （2011四川省宜宾市，15，3分）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，

39、到2011年提高到345.6元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是 .考点：一元二次方程的应用分析：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，根据最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，可列出方程求解答案：解：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，240（1+x）2=345.6，1+x=1.2，x=20%或x=-220%（舍去）故答案为：20%点评：本题考查的是增长率问题，关键清楚增长前为240元，两年变化后为345.6元，从而求出解9. （2011江苏宿迁，16，3）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的

40、围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m）考点：一元二次方程的应用。专题：应用题；方程思想。分析：设垂直墙的篱笆的长为x，那么平行墙的篱笆长为（62x），（62x）和x就是鸡场的长和宽然后用面积做等量关系可列方程求解解答：解：设AB长为x米，则BC长为（62x）米依题意，得x（62x）=4整理，得x23x+2=0解方程，得x1=1，x2=2（3分）所以当x=1时，62x=4；当x=2时，62x=2（不符合题意，舍去）答：AB的长为1米故答案为：1点评：本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出

41、合适的等量关系列出方程，再求解本题是用6米的篱笆围成三个边10. 某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为 350（1-x）2=299考点：由实际问题抽象出一元二次方程专题：增长率问题分析：设家用电器平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1-x），第二次后的价格是100（1-x）2，据此即可列方程求解解答：解：设降价的百分率为x，根据题意列方程得350（1-x）2=299故答案为：350（1-x）2=299点评：考查了由实际问题抽象出一元二次方

42、程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解11. （2011天水，14，4）如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。分析：设宽为xm，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程解答：解：设宽为xm，（322x）（20x）=570故答案为：（322x）（20x）=570

43、点评：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程三、解答题1. （2011江苏镇江常州，26，7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t123y2214469（

44、1）求ab的值；（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？（说明：毛利润=销售总金额进货总金额这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）考点：一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用专题：销售问题分析：（1）根据表中的数据代入后，y2=at2+bt，得到关于a，b的二元一次方程，从而可求出解（2）设干果用n天卖完，根据两个关系式和干果共有1140千克可列方程求解然后用售价进价，得到利润（3）设第m天乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多

45、6千克，从而可列出不等式求解解答：解：（1）根据表中的数据可得（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货n2+4n+n2+20n=1140n=19，当n=19时，y1=399，y2=741，毛利润=3998+741611406=798（元）（3）设第m天甲级干果的销售量为2m+19（2m+19）（2m+41）6n7第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克点评：本题考查理解题意的能力，关键是根据表格代入数列出二元一次方程方程组求出a和b，确定函数式，然后根据等量关系和不等量关系分别列方程和不等式求解2. （2011山东日照，20，8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，

46、某市加快了廉租房的建设力度2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房考点：一元二次方程的应用。专题：增长率问题。分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x根据到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资单位面积所需钱数可得结果解答：解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，（1分）根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x

47、）2=9.5，整理，得：x2+3x1.75=0，（3分）解之，得：x=，x1=0.5，x2=3.5（舍去），（5分）答：每年市政府投资的增长率为50%；（6分）（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5=38（万平方米）（8分）点评：主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率3. （2011四川广安，27，9分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均

48、价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打98折销售；不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？考点：一元二次方程的应用，增长（降低）率问题，方案选择问题专题：一元二次方程 、最优化方案问题分析：（1）设平价每次下调的百分率为，则第一次下调后的价格为元，第二次下调是在元的基础上进行的，下调后的价格为元，即，由此可列出一元二次方程求解（2）根据题意分别计算两种优惠方案可以优惠的钱数，通过比较大小即可作出判断解答：（1）设平均每次下调的百分率x，则6000（1x）24860解得：x10.1，x2

49、1.9（舍去）平均每次下调的百分率10%（2）方案可优惠：4860100（10.98）9720元方案可优惠：100808000元方案更优惠点评：对于平均增长（降低）率问题，应用公式可直接列方程，为增长率（降低）前的基础数量，为增长率（降低率），为增长（降低）的次数，为增长（降低）后的数量 要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性4. （2011新疆建设兵团，23，10分）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式当定价为35元时，每天销售30个；定价为37元时，每天销售26个问：如果要保证商场每天销售这种书包获利20

50、0元，求书包的销售单价应定为多少元？ 考点：一元二次方程的应用；待定系数法求一次函数解析式 分析：根据题意找出涨价和销售量的关系，然后根据利润200元列方程求解，设此时书包的单价是x元 解答：解：（3026）（3735）2，每涨价1元，少卖2个设此时书包的单价是x元（x30）302（x35）200，x40故此时书包的单价是40元 点评：本题考查理解题意的能力，关键看出涨价和销售量的关系，然后根据利润列方程求解5. （2011贵港）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车

51、拥有量已达108万辆（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用。分析：（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆可列

52、方程求解（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，可列出不等式求解解答：解：（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，（2分）根据题意，75（1+x）2=108（3分）1+x=1.2x1=0.2=20% x2=2.2（不合题意，舍去） （4分）答：2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%（5分）（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，由题意得：（6分）（1080.9

53、+y）0.9+y125.48（8分）解得y20（9分）答：从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆（10分）点评：本题第一问考查的是一个增长率问题，知道2008年的辆数，知道2010年的辆数，发生了两年变化，可列方程求解第二问以汽车总量做为不等量关系，根据增加的和报废的，可求出结果6.（2011西宁）国家发改委公布的商品房销售明码标价规定，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定

54、以每平方米4050元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元请问哪种方案更优惠？考点：一元二次方程的应用。专题：增长率问题。分析：（1）关系式为：原价（1降低率）2=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的解即可；（2）费用为：总房价；费用为：总房价2121.5平米数，把相关数值代入后求出解，比较即可解答：解：（1）设平均每次下调的百分率为x5000（1x）2=4050（1x）2=0.81，1x=0.9，x=0.1=10%，答：平

55、均每次下调的百分率为10%；（2）方案一的总费用为：1004050=396900元；方案二的总费用为：10040502121.5100=401400元；方案一优惠点评：主要考查了一元二次方程的应用；掌握增长率的变化公式是解决本题的关键7. （2011年山东省东营市，22，10分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，从2

56、011年初起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数多不能超过多少万辆考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用分析：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列出方程，不合题意的解，舍去即可；（2）设全市每年新增汽车数量为y万两，则得出2011年底和2012年底全市的汽车拥有量，从而列出不等式求解即可解答：解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意得，15（1+x）2=21.6解得x1=

57、0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%；（2）设全市每年新增汽车数量为y万两，则2011年底全市的汽车拥有量为21.690%+y万两，2012年底全市的汽车拥有量为（21.690%+y）90%+y万两根据题意得：（21.690%+y）90%+y23.196，解得y3，答：该市每年新增汽车数量最多不能超过3万两点评：本题考查了一元二次方程和不等式的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键8. （2011山东淄博23，分）已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2mx+=0的两个实数根（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？考点：一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质。专题：应用题。分析：（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长解答：解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=AD，=0，m24（）=0，（m1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2x+=0，解得x1=x2=0.5，菱形的边长是0.5cm；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，把m=2.5代入原方程得