教育专题：坐标系与参数方程

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1、选修44坐标系与参数方程1极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做_，从O点引一条射线Ox，叫做_，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的_，记为，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为x_，y_.另一种关系为

2、2_，tan _.2简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程 (R)表示过极点且与极轴成角的直线；cos a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；sin b表示过且平行于极轴的直线；sin()1sin(1)表示过(1，1)且与极轴成角的直线方程(2)圆的极坐标方程2rcos 表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆；2rsin 表示圆心在，半径为|r|的圆；r表示圆心在极点，半径为|r|的圆3曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的_，其中变量t称为_4一些常见曲

3、线的参数方程(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为的直线的参数方程为_(t为参数)(2)圆的方程(xa)2(yb)2r2的参数方程为_(为参数)(3)椭圆方程1(ab0)的参数方程为_(为参数)(4)抛物线方程y22px(p0)的参数方程为_(t为参数)1在极坐标系中，直线sin()2被圆4截得的弦长为_2极坐标方程sin 2cos 能表示的曲线的直角坐标方程为_3已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则PF_.4直线(t为参数)的倾斜角为_5已知曲线C的参数方程是(t为参数)则点M1(0,1)，M2(5,4)在曲线C上的是_题型一极坐标与直角坐标的互化例1在直角坐标系xO

4、y中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos()1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程思维升华直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值题型二参数

5、方程与普通方程的互化例2已知两曲线参数方程分别为(0)和(tR)，求它们的交点坐标思维升华(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等对于与角有关的参数方程，经常用到的公式有sin2cos21,1tan2等(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性将下列参数方程化为普通方程(1)(t为参数)；(2)(为参数)题型三极坐标、参数方程的综合应用例3在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C的极坐标方程是4cos ，直线l的参数方程是(t为参数)

6、，M，N分别为曲线C、直线l上的动点，求MN的最小值思维升华涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用(2013辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相

7、同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为2cos()(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB.易错分析不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误规范解答解(1)直线的参数方程可以化为2分根据直线参数方程的意义，直线l经过点(0，)，倾斜角为60.4分(2)直线l的直角坐标方程为yx，6分2cos()的直角坐标方程为(x)2(y)21，8分所以圆心(，)到直线l的距离d.所以AB.10分温馨提醒对于直线的参数方程(t为参数)来说，要注意t是参数，而则是直线的倾斜角与此类似，椭圆参数方程的参数有特别的几何意义，它表示离心角方法与技巧1曲线的极坐标方程与直角坐标系的

8、互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以等2参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2sin21,1tan2.3利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法失误与防范1极径是一个距离，所以0，但有时可以小于零极角规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定0,02，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点2在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要

9、注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性A组专项基础训练1(2013江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标2已知曲线C的参数方程为0,2)，曲线D的极坐标方程为sin().(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由3(2013福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为(，)，直线l的极坐标方程为cos()a，且点A在直线l上(1)求a的值及直线l的直角坐

10、标方程；(2)圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系4在极坐标系中，P是曲线12sin 上的动点，Q是曲线12cos上的动点，试求PQ的最大值5在极坐标系中，已知三点M、N(2,0)、P.(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上6在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2y236变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标B组专项能力提升1在极坐标系中，已知圆O：cos sin 和直线l：sin().(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的极坐标2已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos

11、()2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程3(2013课标全国)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02)4(2012辽宁)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程答案要点梳理1(1)极点

12、极轴极径(2)cos sin x2y23参数方程参数4(1)(2)(3)(4)夯基释疑142.x2y22xy03.44.505.M1题型分类深度剖析例1解(1)由cos()1得(cos sin )1.从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2.当0时，2，所以M(2,0)当时，所以N(，)(2)M点的直角坐标为(2,0)N点的直角坐标为(0，)所以P点的直角坐标为(1，)则P点的极坐标为(，)，所以直线OP的极坐标方程为(R)跟踪训练1解将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有1，解得a8或

13、a2.故a的值为8或2.例2解将两曲线的参数方程化为普通方程分别为y21 (0y1，x)和y2x，联立解得交点为.跟踪训练2解(1)x，y4343x.又x20,2)x0,2)所求的普通方程为3xy40(x0,2)(2)4cos22x,4sin24(y1)4cos24sin22x4y4.4yx20.04cos24，02x4，2x2.所求的普通方程为x4y20(x2,2)例3解化极坐标方程4cos 为直角坐标方程x2y24x0，所以曲线C是以(2,0)为圆心，2为半径的圆化参数方程(t为参数)为普通方程xy30.圆心到直线l的距离d，此时，直线与圆相离，所以MN的最小值为2.跟踪训练3解(1)圆C

14、1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20，由参数方程可得yx1，所以解得a1，b2.练出高分A组1解因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线C的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.2解(1)由0,2)得x2y1，x1,1(2)由sin()得曲线D的普通方程为xy20.得x2x30.解得x1,1，故曲线C与曲

15、线D无公共点3解(1)由点A(，)在直线cos()a上，可得a.所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r1，因为圆心C到直线l的距离d1，所以直线l与圆C相交4解12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos，212，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，PQmax6618.5解(1)由公式得M的直角坐标为(1，)；N的直角坐标为(2,0)；P的直角坐标为(3，)(2)kMN，kNP.kMNkNP，M、N、P三点在一条直线上6解

16、圆x2y236上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)，则4x29y236，即1.曲线C在伸缩变换后得椭圆1，其焦点坐标为(，0)B组1解(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，圆O的直角坐标方程为x2y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin()，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为yx1，即xy10.(2)由得故直线l与圆O公共点的极坐标为(1，)2解(1)由2知24，所以x2y24；因为22cos()2，所以22(cos cos sin sin )2，所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化

17、为极坐标方程为cos sin 1，即sin().3解(1)C1的参数方程为.(x4)2(y5)225(cos2tsin2t)25，即C1的直角坐标方程为(x4)2(y5)225，把xcos ，ysin 代入(x4)2(y5)225，化简得：28cos 10sin 160.(2)C2的直角坐标方程为x2y22y，解方程组得或.C1与C2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)C1与C2交点的极坐标为，.4解(1)圆C1的极坐标方程为2，圆C2的极坐标方程为4cos .解得2，故圆C1与圆C2交点的坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)方法一由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)故圆C1与C2的公共弦的参数方程为t.方法二将x1代入得cos 1，从而.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为 .