121常数项级数的概念和性质ppt课件

《121常数项级数的概念和性质ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《121常数项级数的概念和性质ppt课件（48页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数第第12 12章章2常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 第一节第一节 第12章 3教学目的与要求：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握掌握几

2、何级数几何级数(等比级数)的收敛性的收敛性重点：重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念无穷级数收敛、发散以及和的概念 几何级数几何级数(等比级数)的收敛性的收敛性 4一、问题的提出一、问题的提出 引例引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正),2,1,0(23nn边形,这个和逼近于圆的面积 A.0a1a2ana设 a0 表示,时n即naaaaA210内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正边形面积为n235引例2.小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程2g21ts 知g2st 则小球运动的时

3、间为1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g1263.2(s)设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,6二、常数项级数的概念二、常数项级数的概念 定义：给定一个数列,321nuuuu将各项依,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数，其中第 n 项nu叫做级数的一般项,次相加,简记为部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 72.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:如如果果ns没没有有极极限限,则则称称无无穷穷级级数数 1nnu发发散散.8即即 常常数数项项级级数数收收敛

4、敛(发发散散)nns lim存存在在(不不存存在在)当级数收敛时,称差值nnssr 为级数的余项余项.余项余项nnssr 21nnuu 1iinu)0lim(nnr无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“KochKoch雪花雪花”9观察雪花分形过程观察雪花分形过程

5、第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形播放播放10,2,1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn ,3,2 n周长为周长为面积为面积为)94(31)94(31)94(31311221 nA第第 次分叉：次分叉：n11于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪

6、花的面积存在极限（收敛）12解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan 13,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn14例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 11232nnn的的收收敛敛性性.解解nnnu 1232,3441 n已知级数为等比级数，已知级数为等比级数，,34 q公比公比

7、,1|q.原级数发散原级数发散15例例 3 3 判别无穷级数判别无穷级数 )12()12(1531311nn 的收敛性的收敛性.解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn16技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21.21,和和为为级级数数收收敛敛17 例4.判别级数2211lnnn的敛散性.解解:211lnn221lnnn nnnln2)1ln()1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4ln

8、ln2)1ln()1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln)1ln(2ln)1ln(1n,2lnlimnnS故原级数收敛,其和为.2ln18解解 173.2 7531017101710173.2 03100110173.2nn等比级数等比级数1001 q公公比比10011110173.23 .4951147 19三、无穷级数的基本性质三、无穷级数的基本性质 性质性质 1 1 如果级数如果级数 1nnu收敛收敛,则则 1nnku亦收敛亦收敛.性质性质 2 2 设两收敛级数设两收敛级数 1nnus,1nnv,则级数则级数 1)(nnnvu收敛收敛,其和为其和为 s.结论结论:级数的每一项

9、同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.20说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu 必发散.但若二级数都发散,)(1nnnvu 不一定发散.例如例如,)1(2nnu取,)1(12 nnv0nnvu而(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)21例例 5 5 求求级级数数 121)1(5nnnn的的和和.解解 121)1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn nknkkg11115令令),111(5 n22,5)

10、111(lim5lim ngnnn,211是是等等比比级级数数 nn，首首项项是是公公比比21,121 qnnnnh lim211.61521)1(51 nnnn故故,121121 23性性质质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛,则则 1knnu也也收收敛敛)1(k.且且其其逆逆亦亦真真.证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在级数前面加上（或去掉）有限项不影响级数的敛散类似地可以证明在级数前面加上（或去掉）有限项不影响级数的敛散性性.24性质性质 4 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛

11、级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和.证明证明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,nms 25注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(例例如如 1111推论推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散,则原来级则原来级数也发散数也发散.收敛收敛 发散发散26例6.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:141141131131121121解解:考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散,从而原级数发散

12、.nn12127四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件级级数数收收敛敛.0lim nnu证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss .0 即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增增大大时时当当,nun级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:28注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散;1)1(4332211nnn例如例如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分.?,0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 nnu n131211例例如如调调和和级级数数29讨论讨论nnnssnn2121112 ,2

13、12 nn.,s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛)lim(2nnnss 于是于是ss ,0.级级数数发发散散)(210 n便便有有.这是不可能的这是不可能的30 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项 项m221每每项项均均大大于于21)1(1 mm项项大大于于即即前前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论,调和级数发散调和级数发散.31例5.判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性,若收敛求其和若收敛求其和:;!)1(1nnnnne解解:(1)令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnn

14、neu 则nnuu1nne)1(1),2,1(1n故euuunn11从而,0limnnu这说明级数(1)发散.111)1()1(nnnne11)1(!)1(nnnnennnne!32123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1)1(121nnnn),2,1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1)1(121进行拆项相消进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛,.41)2)(1(1nnn其和为)2)(1(121121nn(2)331212)3(nnn32252321nSnn212 nnSS211432212252321nn21

15、21221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132这说明原级数收敛,其和为 3.,3limnnS故(3)34的充要条件是:*五、柯西审敛原理 定理定理.收敛级数1nnu,0,ZNpnnnuuu21时，当Nn,Zp对任意有证证:设所给级数部分和数列为),2,1(nSn因为npnpnnnSSuuu21所以,利用数列),2,1(nSn的柯西审敛原理(第一章第六节)即得本定理的结论.35例7.112的敛散性nnpnnnuuu21解解:,Zp对任意有利用柯西审敛原理判别级数 222)(1)2(1)1(1p

16、nnn)(1(1)2)(1(1)1(1pnpnnnnn)111()2111()111(pnpnnnnnpnn11n136,0，取1N当 nN 时,Zp对任意都有nuuupnnn121由柯西审敛原理可知,级数.112收敛nn37六、小结六、小结1 1.由由定定义义,若若ssn,则则级级数数收收敛敛;2.2.当当0lim nnu,则级数发散则级数发散;3 3.按按基基本本性性质质.常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法38思考题思考题 设设 1nnb与与 1nnc都都收收敛敛，且且nnncab ),2,1(n，能能否否推推出出 1nna收收敛敛？39思考题解答思考题解答能由柯

17、西审敛原理即知能由柯西审敛原理即知40一一、填填空空题题:1 1、若若nnan242)12(31 ,则则 51nna=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、若若nnnna!,则则 51nna=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、若若级级数数为为 642422xxxx则则 na_ _ _ _ _ _ _ _；4 4、若若级级数数为为 97535432aaaa则则 na_ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、若若级级数数为为 615413211 则则当当 n_ _ _ _ _ _时时 na_ _ _ _ _

18、_；当当 n_ _ _ _ _ _ _时时 na_ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、等等比比级级数数 0nnaq,当当_ _ _ _ _ _时时收收敛敛；当当_ _ _ _ _时时发发散散 .练习题练习题41三、由定义判别级数三、由定义判别级数 )12)(12(1751531311nn的收敛性的收敛性.四、判别下列级数的收敛性四、判别下列级数的收敛性:1 1、n31916131；2 2、)3121()3121()3121()3121(3322nn；3 3、nn101212014110121.五、利用柯西收敛原理判别级数五、利用柯西收敛原理判别级数 61514131211的敛散性的敛散性

19、.42练习题答案练习题答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ；2 2、543215!54!43!32!21!1 ；3 3、)2(6422nxn ；4 4、12)1(11 nann；5 5、kkkk21,2,12.12 ；6 6、1,1 qq.三、收敛三、收敛.四、四、1 1、发散；、发散；2 2、收敛；、收敛；3 3、发散、发散、nkknks12)10121(.五、发散五、发散.取取np2 43观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积

20、为面积为周长为周长为设三角形设三角形44观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形45观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形46观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形47观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形48观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形