第五章留数及应用

《第五章留数及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章留数及应用（96页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1第五章 留数及其应用 第五章第五章 留数及其应用留数及其应用5.2 留数留数5.1 孤立奇点孤立奇点5.3 留数在定积分计算中的应用留数在定积分计算中的应用 25.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 5.1 孤立奇点孤立奇点一、引言一、引言 二、零点二、零点 三、孤立奇点三、孤立奇点 四、孤立奇点的分类四、孤立奇点的分类 五、如何进行孤立奇点的分类五、如何进行孤立奇点的分类 六、如何判断极点的阶数六、如何判断极点的阶数 35.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 一、引言一、引言 本章重点解决闭路积分问题。本章重点解决闭路积分问题。D r C 0z如图，考虑积分如图，考虑积分 .d)(zzf(

2、1)若若 在在 G G 上连续，在上连续，在 D 上解析，上解析，)(zf.0d)(zzf则则 (2)若若 在在 D 上有唯一的奇点上有唯一的奇点 )(zf,0z.d)(d)(Czzfzzf则则 此时，将函数此时，将函数 在在 点的邻域内进行洛朗展开，点的邻域内进行洛朗展开，)(zf0z Cnzzz)(d0,1 n,2 i,1 n,0 由由 则积分则积分 “不难不难?”得到。得到。zzfd)(,)()()()(20201001202zzazzaazzazzazf G G 45.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 三、孤立奇点三、孤立奇点 邻域邻域 内解析，内解析，|00zz 则称则称 为为 孤

3、立奇点孤立奇点。)(zf0z使得使得 在去心在去心 且存在且存在 ,0 )(zf定义定义 设设 为为 的奇点，的奇点，0z)(zf例例 ,sin)(zzzf 为孤立奇点。为孤立奇点。0 z例例 ,ln)(zzf 原点及负实轴上的点均为奇点，原点及负实轴上的点均为奇点，但不是孤立奇点。但不是孤立奇点。P102定义定义 5.1 55.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 例例 ,sin1)(zfz1,0sin z1(1)令令 为孤立奇点；为孤立奇点；kzk1,k z1,2,1,0 k(2)0 z也是奇点，也是奇点，但不是孤立奇点。但不是孤立奇点。邻域邻域 内解析，内解析，则称则称 为为 孤立奇点孤立

4、奇点。使得使得 在去心在去心 )(zf定义定义|00zz 设设 为为 的奇点，的奇点，且存在且存在 ,0 0z0z)(zf)(zf三、孤立奇点三、孤立奇点 P102 例例5.3 65.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、孤立奇点的分类四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 将将 在在 内内|00zz)(zf定义定义 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，0z)(zf展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：,)()(0 nnnzzazf(1)若若 ,0 na,0 n有有 则称则称 为为 的的可去奇点可去奇点。0z)(zf

5、(即不含负幂次项即不含负幂次项 )P103 75.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、孤立奇点的分类四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内|00zz 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，0z)(zf)(zf展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：,)()(0 nnnzzazf则称则称 为为 的的 N 阶极点阶极点；0z)(zf(即含有限个负幂次项即含有限个负幂次项 )(2)若若 ,0 Na,0 N有有且且 ,0 na,Nn 有有 特别地，当特别地，当 时，称时，称 为为 的的简单极点简单极

6、点。1 N0z)(zf85.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、孤立奇点的分类四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内|00zz 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，0z)(zf)(zf展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：,)()(0 nnnzzazf(即含无限个负幂次项即含无限个负幂次项 )(3)若若 ,0 N,Nn 有有 ,0 na则称则称 为为 的的本性奇点本性奇点。0z)(zf95.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、孤立奇点的分类四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去

7、心邻域的洛朗级数对奇点分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义定义 将将 在在 内内|00zz 设设 为为 的孤立奇点，的孤立奇点，0z)(zf)(zf展开为洛朗级数：展开为洛朗级数：,)()(0 nnnzzazf,)()()(010010 zzaazzazzazfNN小结小结 (1)可去奇点可去奇点 不含负幂次项；不含负幂次项；(2)N 阶极点阶极点 含有限多的负幂次项含有限多的负幂次项,且最高负幂次为且最高负幂次为 N；(3)本性奇点本性奇点 含有无穷多的负幂次项。含有无穷多的负幂次项。可去奇点可去奇点 本性奇点本性奇点 N 阶极点阶极点 105.1 孤立奇点 第五章

8、留数及其应用 ,)()()(010010 zzaazzazzazfNN可去奇点可去奇点 本性奇点本性奇点 N 阶极点阶极点 (2)N 阶阶极点极点 (3)本性奇点本性奇点 )(lim0zfzz不存在且不为不存在且不为 .czfzz)(lim0(常数常数)；;)(lim0 zfzz(1)可去奇点可去奇点 方法方法 注注 在求在求 时，可使用时，可使用罗比达法则罗比达法则。)(lim0zfzz(该条件只能判断是极点该条件只能判断是极点);)()(1)(010 zzaazzzfNNNN 阶极点阶极点 五、如何进行孤立奇点的分类五、如何进行孤立奇点的分类 P103105定理定理5.15.3 115.1

9、 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (不含负幂次项不含负幂次项)(53!51!311sin)(zzzzzzzf0 z解解 是是 的奇点，的奇点，)(zf,1 zzzfzzsinlim)(lim00 由由 是是 的可去奇点。的可去奇点。0 z)(zf可知，可知，将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 0 z)(zf,!51!31142 zz.)|0(z 如果约定如果约定 在在 点的值为点的值为 1，0 z)(zf则则 在在 点点 )(zf0 z就解析了，就解析了，因此称因此称 为为 的可去奇点。的可去奇点。0 z)(zfP105 例例5.4 125.1 孤立奇点 第

10、五章 留数及其应用 0 z解解 是是 的奇点，的奇点，)(zf.)(lim0zfz考察极限考察极限 是是 的本性奇点。的本性奇点。0 z)(zf因此，因此，将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 0 z)(zf(含无穷多个负幂次项含无穷多个负幂次项).)|0(z,!1!21112 nznzze)(zfz1x1e00lim yx)(lim00zfyx 由由 ;)(lim00zfyx x1e00lim yx,0)(lim0zfz不存在且不为不存在且不为 .可知，可知，135.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (含有限个负幂次项，且最高负幂次为含有限个负幂次项，且最

11、高负幂次为 2)(e22)1(!21)1(1)1(zzz1 z解解 是是 的奇点，的奇点，)(zf,200)1(lim)(lime zzfzzz由由 是是 的极点。的极点。1 z)(zf可知，可知，将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 1 z)(zf 可见，可见，为为 的二阶极点。的二阶极点。1 z)(zf21)1()(ee zzfz.)|0(z,)1(!3!21)1(eeee2 zzz145.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 )(4233!41!2111cos)(zzzzzzf0 z解解 是是 的奇点，的奇点，)(zf,300coslim)(limzzzf

12、zz 由由 是是 的极点。的极点。0 z)(zf可知，可知，将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 注注 0 z)(zf,!41!2113 zzz.)|0(z 可见，可见，为为 的三阶极点。的三阶极点。0 z)(zf含有限个负幂次项含有限个负幂次项 且最高负幂次为且最高负幂次为 3 是否还有其它办法来判断极点的阶数呢？是否还有其它办法来判断极点的阶数呢？问题问题 155.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 六、如何判断极点的阶数六、如何判断极点的阶数 则则 为为 的的 N 阶极点。阶极点。0z)(zf1.,)()(1)(0zzzzfN 若若 其中其中 在在 点的邻域内

13、解析，点的邻域内解析，)(z 0z且且 ,0)(0 z )()()(010010zzaazzazzazfNN)()(1010 zzaazzNNN0z为为 的的 N 阶极点的充要条件阶极点的充要条件(即定义即定义)为：为：)(zf 事实上，事实上，,)()(10zzzN 其中，其中，在在 点的邻域内解析，点的邻域内解析，)(z 0z.0)(0 Naz 且且 P105 式式(5.1)165.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 六、如何判断极点的阶数六、如何判断极点的阶数 2.,)()()(zzzf 若若 零点，零点，且且 为为 的的 n 阶零点，为阶零点，为 的的 m 阶阶 )(z 0z)(z 则

14、则 (1)当当 时，时，nm (2)当当 时，时，nm )(zf)()()()(1010zzzzzznm ,)()()(00zQzzzznm 即即 0z)(zf为为 的可去奇点。的可去奇点。0z)(zf为为 的的(n-m)阶极点。阶极点。P107定理定理 5.5 175.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 1 z是是 的一阶极点。的一阶极点。)(zf判断函数判断函数 的奇点的类型。的奇点的类型。例例 222)1(1)(zzzfiz 是是 的二阶极点。的二阶极点。)(zf解解 ,)1()1()1()1()(2 zzzzzf由于由于 1 z是是 的可去奇点，的可去奇点，)(zf故故 解解 ,)()

15、(1)(22izizzzf 由于由于 0 z是是 的一阶极点，的一阶极点，)(zf故故 185.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 ,2kzk 令令 ,2,1,0 k故故 是是 的一阶极点。的一阶极点。)(zfkz由于由于 是是 的一阶零点，的一阶零点，zcoskz判断函数判断函数 的奇点的类型。的奇点的类型。例例 zzzf2sincos)(但不是但不是 的零点，的零点，zcos解解 ,kzk 令令 ,2,1,0 k由于由于 是是 的二阶零点，的二阶零点，z2sinkz故故 是是 的二阶极点。的二阶极点。)(zfkz195.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 由于由于 是是 的四阶零点，

16、的四阶零点，解解 0 z4z故故 是是 的二阶极点。的二阶极点。)(zf0 z)()(1!51!41!31!2111)(54324zzzzzzzzf 将将 在在 的去心邻域内的洛朗级数，有的去心邻域内的洛朗级数，有 0 z)(zf,!51!41!31!212zzz .)|0(z 因此，因此，为为 的二阶极点。的二阶极点。0 z)(zf注注 直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握 )1(ezz 且是且是 的二阶零点，的二阶零点，205.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 由于由于 是是 的三阶零点，的三阶零点，解解 0 zzz sin

17、 故故 是是 的二阶极点。的二阶极点。)(zf0 z判断函数判断函数 的奇点的类型。的奇点的类型。例例 )e(1sin)(2 zzzzf由于由于 是是 的三阶零点，的三阶零点，解解 0 z)(e12 zz故故 是是 的二阶极点。的二阶极点。)(zf0 z 什么情况下会出现本性奇点呢什么情况下会出现本性奇点呢?1e z且是且是 的一阶零点，的一阶零点，zsin且是且是 的一阶零点，的一阶零点，215.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 为可去奇点。为可去奇点。0 z为可去奇点。为可去奇点。0 z判断下列函数的奇点的类型。判断下列函数的奇点的类型。例例 .)(gzf)()(zz 上述函数都有一个共

18、同点：上述函数都有一个共同点：为本性奇点。为本性奇点。1 z1 z为本性奇点。为本性奇点。为本性奇点。为本性奇点。0 z225.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 5.2 留数留数一、留数的概念一、留数的概念二、留数的计算方法二、留数的计算方法三、三、留数定理留数定理四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数235.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 一、留数的概念一、留数的概念将将 在在 的去心邻域的去心邻域 )(zf0z设设 为函数为函数 的孤立奇点，的孤立奇点，定义定义 0z)(zf称称 为为 在在 处的处的留数留数，1 a0z)(zf记作：记作：10,)(Res azzf,d)(

19、21zzfiC 内展开成洛朗级数：内展开成洛朗级数：(两边积分两边积分)nnnzzazf)()(0,)(01001 zzaazza其中，其中，C 是是 的去心邻域内绕的去心邻域内绕 的一条简单闭曲线。的一条简单闭曲线。0z0zP112定义定义 5.4 (留数的产生留数的产生)245.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 而且在使用该方法时，而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。并不需要知道奇点的类型。二、留数的计算方法二、留数的计算方法若若 为为 的可去奇点，的可去奇点，方法方法 0z)(zf1.可去奇点可去奇点 若若 为为 的本性奇点，的本性奇点，方法方法 0z)(zf2.本性奇点本性奇

20、点 则则“只好只好”将将 在在 的去心的去心 0z)(zf邻域内展开成洛朗级数。邻域内展开成洛朗级数。(1)在具体展开的时候，并不需要写出在具体展开的时候，并不需要写出“完整完整”的洛朗级数，的洛朗级数，注注 1 a只需将其中负一次幂的系数只需将其中负一次幂的系数 求出来就可以了。求出来就可以了。(2)对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，.0,)(Res0 zzf则则 255.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 理由理由 ,)()()(010010 zzaazzazzazfmm,)()()()(001010 mmmmzzazzaazf

21、zz,)()()!1()()(dd01011zzzamzfzzzmmm 二、留数的计算方法二、留数的计算方法3.极点极点 方法方法 (法则法则)若若 为为 的的 m 阶极点，阶极点，0z)(zf P115法则法则 265.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (法则法则).)()(lim),(Res000zfzzzzfzz (1)若若 为为 的简单极点，的简单极点，0z)(zf特别特别 .)()(,)(Res000zQzPzzf 则则 ,0)(,0)(,0)(000 zPzQzQ,)()()(zQzPzf(2)若若 且且 在在 点解析，点解析，)(,)(zQzP0z则则 P114法则法则 P11

22、4法则法则二、留数的计算方法二、留数的计算方法方法方法 3.极点极点 P115法则法则若若 为为 的的 m 阶极点，阶极点，0z)(zf275.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 二、留数的计算方法二、留数的计算方法3.极点极点 特别特别 .)()(,)(Res000zQzPzzf 则则 ,0)(,0)(,0)(000 zPzQzQ,)()()(zQzPzf(2)若若 且且 在在 点解析，点解析，)(,)(zQzP0z000)()()(limzzzQzQzPz )()()(lim,)(Res000zQzPzzzzfzz .)()(00zQzP 事实上，此时事实上，此时 为为 的简单极点，的简单

23、极点，0z)(zf故有故有 285.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 )(lim0,)(Res102zfzzfz 是是 的可去奇的可去奇 点，点，解解 0 z)(1zf(1).00,)(Res1 zf和和 均为均为 的一阶极点，的一阶极点，0 z)(2zf(2)1 z11lim0 zz,1 zz1lim1.1 )()1(lim1,)(Res212zfzzfz 295.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (罗比达法则罗比达法则)是是 的三阶极点，的三阶极点，解解 0 z)(1zf(1)为为 的二阶极点，的二阶极点，0 z)(2zf(2)0,)(Res1zf 0lim!21z334coszzz

24、8cosz 0 z.81 0,)(Res2zf 0lim!11z324sinzzz 204sincoslimzzzzz .0 0limzzz4sin8sinlim0zz 305.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 )()(lim11zfzzzz ,)(Res1zzf?(麻烦麻烦)()(lim43221zzzzzzzzz 函数函数 有四个简单极点，有四个简单极点，解解 )(zf11,41eiz ,42eiz ,433eiz ,434eiz )1(42 zz1zz z41 1zz,414ei ,414ei,)(Res3zzf,4143ei ,)(Res4zzf.4143ei,)(Res2zzfz4

25、1 2zz 同理同理 315.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 是是 的本性奇点，的本性奇点，解解 0 z)(zf.00,)(Res zf将将 在在 的去心邻域内洛朗展开，的去心邻域内洛朗展开，0 z)(zfzzzf1cos)(2)(6422!61!41!211 zzzz,!61!41!21422 zzz有有 325.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 是是 的本性奇点，的本性奇点，解解 0 z)(zf.230,)(Res zf将将 在在 的去心邻域内洛朗展开，的去心邻域内洛朗展开，0 z)(zf,1!211)(z)(32!31!2111)1(zzzze)1()(zzf z1有有 335.1

26、 孤立奇点 第五章 留数及其应用 是是 的本性奇点，的本性奇点，解解 1 z)(zf.11,)(Res zf将将 在在 的去心邻域内洛朗展开，的去心邻域内洛朗展开，0 z)(zf)(422)1(!41)1(!2111)1(2)1(zzzz11cos)(2 zzzf11cos)11(2 zz,11!212)(z有有 345.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 )()(22!211111 zzzzz,)!31!2111(1 z是是 的一阶极点，的一阶极点，解解 1 z)(zf(1)1,)(Reszfe1lim1zzz1.e 是是 的的本性奇点本性奇点，0 z)(zf(2)z1e111zz e)1(

27、1)(zzzfz1 0,)(Reszf)!31!2111(.e (证明是本性奇点证明是本性奇点?)?)355.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 方法一方法一 利用洛朗展式求留数利用洛朗展式求留数 解解 )(7536!71!51!311)(zzzzzzzf,!71!51!313 zzz.!510,)(Res zf将将 在在 的去心邻域展开，的去心邻域展开，0 z)(zf得得 365.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 )(lim!210,)(Res30 zfzzfz.!51 由于由于 是是 三阶极点，三阶极点，0 z)(zf解解 方法二方法二 利用极点的留数计算法则求解利用极点的留数计算法则求

28、解 5206cos6sin)12(lim!21zzzzzzz 0lim!21z3sinzzz !5cos2sin4coslim!2120zzzzzz (罗比达法则罗比达法则)因此有因此有 (好麻烦好麻烦!)!)375.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 方法二方法二 利用极点的留数计算法则求解利用极点的留数计算法则求解 若若“不幸不幸”将将 判断成了判断成了 的的六阶六阶极点，极点，0 z)(zf)(ddlim)!16(10,)(Res6551zfzzzfz )sin(ddlim!51551zzzz )cos(lim!511zz .!51 巧合巧合?(非也非也!)!)注注 (1)此类函数

29、求留数，可考虑利此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。用洛朗展式。(2)若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。385.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 DC2znz1z三、三、留数定理留数定理 .,)(Res2d)(1 nkkCzzfizzf处处解析，在边界处处解析，在边界 C 上连续，上连续，定理定理 设设 在区域在区域 D 内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点 外外 )(zfnzzz,21注意注意 只需计算积分曲线只需计算积分曲线 C 所围成的有限区域内奇点

30、的留数。所围成的有限区域内奇点的留数。1c2c1c如图，将孤立奇点用含于如图，将孤立奇点用含于 D 内且内且 证明证明 互不重叠的圆圈包围起来，互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有根据复合闭路定理有 Czzfd)(kcnkzzfd)(1.,)(Res21 nkkzzfi则则 P113定理定理 5.7 395.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 .00,)(Res zf解解 被积函数被积函数 在在 内有两个奇点：内有两个奇点：)(zf2|z可去奇点可去奇点 一阶极点一阶极点 ,0 z,1 z)(1,)(Res0,)(Res2zfzfiI )()1(lim1,)(Res1zfzzfz .1s

31、in2.1sin22i 221sinlimzzz P116 例例5.21 405.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 )(lim0,)(Res0zfzzfz 解解 被积函数被积函数 在在 内有两个奇点：内有两个奇点：)(zf2|z一阶极点一阶极点 二阶极点二阶极点 ,0 z,1 z20)1(lime zzz.1)(1,)(Res0,)(Res2zfzfiI 21)1(limezzzz )()1(ddlim)!12(11,)(Res21zfzzzfz dlim1zzezzd.0.2 i 415.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 被积函数被积函数 的奇点为的奇点为 )(zf,21 kzk,

32、2,1,0 k但在但在 内只有两个内只有两个简单级点简单级点：1|z,210 z,211 z,)(Res0zzf0zz)(cose zzzzsine 0zz,121e ,)(Res0zzfzzsine 1zz,121e iI221e1 21e1.21sh4i 425.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 被积函数被积函数 在在 内有两个奇点内有两个奇点：)(zfz|,)(Res1zzf1zz)sin22(cose zzzzcos2cose 1zz,2222e ,)(Res0zzfzzcos2cose 2zz.22sh22i ,41z ,432z 简单级点简单级点 ,2222e iI222e

33、22 22e22 435.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 ,1sin)(zzzf令令 1 z为为 的本性奇点，的本性奇点，)(zf将将 在在 内展开为洛朗级数：内展开为洛朗级数：|1|0z)(zf,1cos1,)(Res zf.1cos2 iI )(111sin)(zzf11sin1cos11cos1sin zz)(42)1(!41)1(!2111sin zz,)1(!31111cos)(3 zz445.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 ,)1(1)(2101zzzf 令令 0 z为为 的的 101 阶极点。阶极点。)(zf将将 在在 内展开为洛朗级数：内展开为洛朗级数：1|

34、0 z)(zf 021011)(nnzzzf,111299101 zzzzz,10,)(Res zf0,)(Res2zfiI .2 i 455.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 方法一方法一 利用极点的留数计算法则求解利用极点的留数计算法则求解 (罗比达法则罗比达法则)为被积函数为被积函数 的二阶极点，的二阶极点，0 z)(zf0,)(Reszf 0lim!11z321ezzz 201limeezzzzz 2lime0zz.21 0limzzz1e 0,)(Res2zfiI .i 方法二方法二 利用高阶导数公式求解利用高阶导数公式求解 )1(lim!212e0 zziI.i 465.1

35、 孤立奇点 第五章 留数及其应用 方法三方法三 利用洛朗展式求解利用洛朗展式求解 解解 )(1!41!31!2111)(4323 zzzzzf,!41!311!21 zz.21!210,)(Res zf将被积函数将被积函数 在在 的去心邻域展开，的去心邻域展开，0 z)(zf0,)(Res2zfiI .i 475.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 DD C 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 设想设想 如图，设如图，设 C 是一条简单闭曲线，是一条简单闭曲线，一一般说来般说来,闭路积分只与该闭路所包围的区域内的奇点闭路积分只与该闭路所包围的区域内的奇点 有关，但为什么又要引入无

36、穷远点的留数呢？有关，但为什么又要引入无穷远点的留数呢？将曲线将曲线 C 围成的区域记为围成的区域记为 D，而曲线而曲线 围成的区域记为围成的区域记为 C.D甚至只有无穷远点甚至只有无穷远点 为奇点，为奇点，.d)(d)(CCzzfzzf则则 如果区域如果区域 D 内的奇点很多，内的奇点很多，显然比计算等式显然比计算等式左边左边的积分要的积分要“省心省心”的多。的多。则计算等式则计算等式右边右边的积分的积分 D但区域但区域 内的奇点很少，内的奇点很少，C485.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 )

37、(zf定义定义 如果函数如果函数 在无穷远点在无穷远点 的去心邻域的去心邻域 )(zf|)(|zfR内解析，则称内解析，则称点点 为为 的孤立奇点的孤立奇点。则点则点 对应于点对应于点 z,0 相应地，相应地，fzf)(1记为记为 ,)(因此，因此，函数函数 在无穷远点在无穷远点 的的性态性态可由可由 )(zf z函数函数 在原点在原点 的的性态性态来刻画。来刻画。)(0 手段手段 令令 ,z 1P108 P108定义定义 5.3 495.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 令令 ,1 z记为记为 ,)(则则 1 fzf)(1sin1 均为均为 的奇点，的奇点，,k k1,0 ,2,1,

38、0 k可知可知 )(由于由于 不是不是 的孤立奇点，的孤立奇点，0 )(因此因此 不是不是 的孤立奇点。的孤立奇点。)(zf zP111 例例5.13 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 505.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 记为记为 ,)(解解 令令 ,1 z则则 fzf)(1由于由于 是是 的可去奇点，的可去奇点，0 )(因此因此 是是 的可去奇点。的可去奇点。)(zf z 111 12)1(22 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 P110 例例5.10 515.

39、1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 记为记为 ,)(解解 令令 ,1 z则则 fzf)(1由于由于 是是 的一阶极点，的一阶极点，0 )(因此因此 是是 的一阶极点。的一阶极点。)(zf z)1(12 11 12 1试判断奇点试判断奇点 的类型。的类型。,11)(2zzzf 设设 z例例 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 525.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 记为记为 ,)(由于由于 是是 的本性奇点，的本性奇点，0 )(因此因此 是是 的本性奇点。的本性奇点。)(zf z解解 令令 ,1 z则则 fzf)(1e 1试判断奇点

40、试判断奇点 的类型。的类型。,)(ezzf 设设 z例例 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 P111 例例5.12 535.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 R 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 2.函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 ,d)(21,)(Res Czzfizf域域 内解析，内解析，设函数设函数 在圆环在圆环 定义定义 )(zf|zR其中，其中，C 为为 .|Rz ,d)(21,)(Res0 czzfizzf其中，其中，c 为为.|rz函数函数 在在

41、“有限有限”孤立奇点孤立奇点 的留数为的留数为:对比对比 )(zf0z则则 在在 点的留数点的留数为：为：)(zf5.2 留数 CC0z crP117定义定义 5.5 无穷远点的留无穷远点的留数的完整介绍数的完整介绍545.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 2.函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 如何计算在无穷远点的留数如何计算在无穷远点的留数？推导推导 如图，如图，公式公式 .0,Res f,)(Res zfz1z12则则 ,)(Res zf cfi d21 1 12 .0,Res fz1

42、z12,z 1令令 0 CCc1 1,d)(21,)(Res Czzfizf已知已知 P118 法则法则 555.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 2.函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 在无穷远点的留数有何用处在无穷远点的留数有何用处？.0,)(Res,)(Res1 nkkzfzzf则则 定理定理 设设 在扩充平面上除有限个孤立奇点在扩充平面上除有限个孤立奇点 )(zf,21nzzz nkkzzf1,)(Res证明证明 如图，如图，则则 Czzfizfd)(21,)(Res Czzfid)(

43、21外处处解析，外处处解析，即证。即证。CC1z2z3znz,|maxkkz 令令 充分大，即充分大，即 P117定理定理 5.8 565.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 函数函数 在在 内内 1)(43 zzzf2|z 30,)(Res2kkzzfiI,)(Res2 zfi 0,Res2 fiz1z120,)1(1Res24zzi .2 i,42eikkz ,3,2,1,0 k有四个一阶极点有四个一阶极点 由留数定理有由留数定理有 1C22 575.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 ,52eikkz ,4,3,2,1,0 k 40,)(Res2kkzzfiI.)(,)(Re

44、s3,)(Res2 zfzfi(1)函数函数 在在 内有五个一阶极点内有五个一阶极点 2|z)3()1(1)(35 zzzf1C22 3由留数定理有由留数定理有 585.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (2)解解 )(,)(Res3,)(Res2 zfzfiI 0,Res2,)(Res fizfz1z120,)31()1(Res23514zzzi .0)()3(lim3,)(Res3zfzzfz ,)13(135 35)13(2 i.141724882 i 595.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 休息一下605.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 R CC0 r1Rc 1附：附：关于无

45、穷远点的奇点类型判别以及留数的定义关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 回顾回顾 则则 对应于对应于 z,0 相应地，相应地，fzf)(1记为记为 ,)(因此，因此，函数函数 在无穷远点在无穷远点 的的性态性态可由可由 )(zf z函数函数 在原点在原点 的的性态性态来刻画。来刻画。)(0 令令 ,z 1,z1即即 Rz|,|r 对应于对应于 615.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 cni d)(211 R CC0 r1Rc 1附：附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 函数函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式在无穷远点的邻域内的洛朗展式?)

46、(zf,)(1011 aaaaNN由由 在原点在原点 的邻域的邻域 内的洛朗展式：内的洛朗展式：)(0 r|0,)(1101 zbbzbzbzfNN得得 在无穷远点在无穷远点 的邻域的邻域 内的洛朗展式：内的洛朗展式：z)(zf|zR其中，其中，nnab .),2,1,0(n Cnzzzfid)(211625.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 函数函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式在无穷远点的邻域内的洛朗展式?附：附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 )(zf,)(1011 aaaaNN,)(1101 zbbzbzbzfNN(1)可去奇点可去奇

47、点：(2)N 阶极点阶极点：(3)本性奇点本性奇点：无穷远点的奇点类型的划分无穷远点的奇点类型的划分 不含正幂项；不含正幂项；含有限多的正幂项含有限多的正幂项,且最高幂次为且最高幂次为 N，含有无穷多的正幂项。含有无穷多的正幂项。;)()(zzzfN 此时，此时，635.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 函数函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式在无穷远点的邻域内的洛朗展式?附：附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 )(zf,)(1011 aaaaNN,)(1101 zbbzbzbzfNN(1)可去奇点可去奇点：(2)N 阶极点阶极点：(3)本性奇

48、点本性奇点：无穷远点的奇点类型的判别无穷远点的奇点类型的判别 不含正幂项；不含正幂项；含有限多的正幂项含有限多的正幂项,且最高幂次为且最高幂次为 N，含有无穷多的正幂项。含有无穷多的正幂项。)(limzfz不存在且不为不存在且不为 .czfz)(lim(常数常数)；;)(lim zfz;)()(zzzfN 此时，此时，645.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 函数函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式在无穷远点的邻域内的洛朗展式?附：附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 )(zf,)(1011 aaaaNN,)(1101 zbbzbzbzfNN 函

49、数函数 在在无穷远点的留数无穷远点的留数 )(zf R CC0 r1Rc 1(两边沿两边沿 C 积分积分)称称 为函数为函数 在在无穷远点的无穷远点的 1 b定义定义 )(zf留数留数。nb,d)(211 Cnzzzfi由由 .d)(211 Czzfib有有 (返回返回)655.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 附：附：留数留数(Residu)的产生的产生 柯西在柯西在“求沿着两条有相同起点与终点且包围着求沿着两条有相同起点与终点且包围着 函数极点的路径积分之差函数极点的路径积分之差”时得到了这个概念。时得到了这个概念。这也是使用该名称的缘故。这也是使用该名称的缘故。1829年年 柯西创建了

50、留数理论。柯西创建了留数理论。1814年年 柯西第一个注意到了留数的概念。柯西第一个注意到了留数的概念。(即即留数留数、残数残数、剩余剩余)这个术语。这个术语。1826年年 柯西在他的研究报告中首次使用了柯西在他的研究报告中首次使用了“residu”(返回返回)665.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 若若 为为 的的 m 阶极点，阶极点，0z)(zf,)()()(010010 zzaazzazzazfmm)()(0zfzzn,)()()!1()()(dd01011zzzanzfzzznnn 附：附：关于极点的留数计算法则的说明关于极点的留数计算法则的说明 ,)()()(001010 nnm

51、nmzzazzazza(其中其中 )mn .)()(ddlim)!1(101110zfzzznannnzz (其中其中 )mn 则则 (返回返回)675.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (罗比达法则罗比达法则)附：附：关于关于 是是 的本性奇点的本性奇点 e)1(1)(zzzfz10 z 只需考察只需考察 即即 不存在且不等于不存在且不等于 e1lim0zzz1 elim.(1)e0lim yxxxxelim,令令 ,yix (2)e0lim yxxxxelim.0 ttt e)(limtttelim tte1lim 故故 不存在且不等于不存在且不等于 elim.则则 (返回返回)685.

52、1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用留数在定积分计算中的应用一、形如一、形如 的积分的积分 20d)sin,(cosR二、形如二、形如 的积分的积分 xxRd)(三、形如三、形如 的积分的积分)0(d)(e axxRiax695.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 一、形如一、形如 的积分的积分 20d)sin,(cosR2cosee ii ize 方法方法 (1)令令 ddeiiz 则则 要求要求 是是 u,v 的有理函数，的有理函数，),(vuR即即 是以是以 u,v 为变量为变量 ),(vuR的二元多项式函数或者分式函数。的二元多项式函数或者分式函数。,s

53、incos i ,d z i,ddz iz ,212zz 21 zziii2sinee ,212z iz izz21 705.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 方法方法 即即 是以是以 u,v 为变量为变量 要求要求 是是 u,v 的有理函数，的有理函数，一、形如一、形如 的积分的积分 20d)sin,(cosR),(vuR),(vuR的二元多项式函数或者分式函数。的二元多项式函数或者分式函数。zzfzd)(1|.,)(Res2 kkzzfi其中，其中，是是 在在 内内的孤立奇点。的孤立奇点。kz)(zf1|z(2)20d)sin,(cosRzz iRzd11|z izzz21,2122 )

54、(zf715.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 可知被积函数的分母可知被积函数的分母不为零，不为零，因而积分是有意义的。因而积分是有意义的。解解 2cos21pp )cos1(2)1(2 pp由由 及及 ,10 p,e iz (1)令令 22cos22ee ii ,222 zz,ddz iz ,2cos1 zz 则则 P120 例例5.24 725.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 (2)1|2122d22112zzizpzzpzzI 1|24d)()1(21zzpzpzz iz.d)(1|zzzf函数函数 有两个孤立奇点：有两个孤立奇点：在在 内，内，)(zf1|z二阶极点二阶极点

55、 一阶极点一阶极点 ,01 z.2pz (注意：一阶极点注意：一阶极点 不在不在 内内)pz/13 1|z735.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 ,2122pip 222243220)(2)21()1(4)(limzppzpzipzpzzzppzpzz (3)zzfzddlim0,)(Res0)()1(21242pzpzz izz 事实上，可直接用洛朗展开的方法来求该点的留数。事实上，可直接用洛朗展开的方法来求该点的留数。利用洛朗展开利用洛朗展开求该点的留数求该点的留数745.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 ,)1(21224ppip (3)pzpzflim,)(Res)(

56、)1(21)(24pzpzz izpz )(,)(Res,)(Res2pzfpzfiI )1(212122422ppippip i2.1222pp 755.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 ,e iz (1)令令 ,ddz iz ,2cos1 zz 则则 解解 由于由于 为偶函数，为偶函数，cos45cos.dcos45cos21 II 记记 1|111d24512zzizzzzzI 1|2d)2()2/1(41zzzzz iz.d)(1|zzzf765.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 解解 有两个一阶极点：有两个一阶极点：在在 内，内，(2)(zf1|z,01 z.212 z)(lim

57、0,)(Res0zfzzfz 02)2()2/1(41 zzziz;41i)(lim21,)(Res21zfzzfz 212)2(41 zzz iz.125i ii12541 iII221211.6 (实数实数)775.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 其中，其中，P(x),Q(x)为多项式；为多项式；(2)分母分母 Q(x)的次数比分子的次数比分子 P(x)的次数至少的次数至少高二次高二次；(3)分母分母 Q(x)无实零点。无实零点。推导推导 (略略)xxRd)(.,)(Res2 kkzzRi其中，其中，是是 在上半平面内在上半平面内的孤立奇点。的孤立奇点。kz)(zR要求要求 ,)()(

58、)(xQxPxR(1)方法方法 二、形如二、形如 的积分的积分 xxRd)(进入推导进入推导?)?)785.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (1)令令 解解 9102)(242 zzzzzR)9()1(2222 zzzzizizzzzizR322)3()1(23,)(Res ,161i .4873i .125 izzizzzizR )9()(2,)(Res22(2)48731612iiiI(3)在上半平面内，在上半平面内，i 与与 3i 为为 一阶极点一阶极点。)(zRP122 例例5.25 795.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 在上半平面内，在上半平面内，a i 与与 bi 为一阶

59、极点为一阶极点。(1)令令 解解 ,)()()(22222bzazzzR (2)()(lim,)(ReszRiaziazRiaz .)(222abib )()(lim,)(ReszRibzibzRiaz )(2)(22212222abibbaiai(3)xzRId)(21,)(222baia .)(2ba 805.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (1)记记解解 ,d12421 xxxII在上半平面内，在上半平面内，为两个为两个一阶极点一阶极点。,41eiz iz432e,1)(42 zzzR令令(2)1(,)(Res421 zzzzR1zz z41 1zz,414ei zzzR41,)(R

60、es2 2zz i43e41 .414ei (3)ee(44141412iiiI ,22.42I 815.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 三、形如三、形如 的积分的积分 )0(d)(e axxRiax(2)分母分母 Q(x)的次数比分子的次数比分子 P(x)的次数至少的次数至少高一次高一次；(3)分母分母 Q(x)无实零点。无实零点。其中，其中，是是 在上半平面内在上半平面内的孤立奇点。的孤立奇点。kz)(zR其中，其中，P(x),Q(x)为多项式；为多项式；,)()()(xQxPxR 要求要求 (1).,)(Res2 kkzzRi方法方法 xxRiaxd)(ezaie825.1 孤立奇点

61、 第五章 留数及其应用 三、形如三、形如 的积分的积分 )0(d)(e axxRiax其中，其中，P(x),Q(x)为多项式；为多项式；(2)分母分母 Q(x)的次数比分子的次数比分子 P(x)的次数至少的次数至少高一次高一次；(3)分母分母 Q(x)无实零点。无实零点。,)()()(xQxPxR.,)(Res2 kkzzRi要求要求 (1)方法方法 xxRiaxd)(ezaie推导推导 (略略).BiA 记为记为 .dsin)(BxaxxR ;dcos)(AxaxxR 特别特别 (进入推导进入推导?)?)835.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 在上半平面内，在上半平面内，1+3 i 为一

62、阶极点为一阶极点。(1)令令 解解 102)(2e zzzzfz iizz izzizf312231,)(Rese ,)31()31(eizizzz i .6313eiii (2)xxxxxid1022e.)1sin1(cos)31(33eii iiii 3e6312845.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 xxxxxd102cos2(3);)1sin31(cos33e xxxxxd102sin2.)1sin1cos3(33e (2)xxxxxid1022e.)1sin1(cos)31(33eii 855.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 在上半平面内，在上半平面内，i 为一阶极点为一阶极

63、点，(1)令令 解解 ,1)(2e zzfzaiizzaizizf 2,)(Rese.2eia (2)xxxaid12eiia22e ,ea 02d1cosxxxa;2ea .2eb 02d1cosxxxb同理同理 .2)e(ebaI (3)865.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 附：附：关于第二、三型积分中关于第二、三型积分中 有实孤立奇点的情况有实孤立奇点的情况 )(zR若若 在上半平面在上半平面有孤立奇点有孤立奇点 结论结论 )(zR,21mzzz xxfd)(mkkzzfi1,)(Res2在实轴上在实轴上有有 ,21nxxx孤立奇点孤立奇点 则则 .,)(Res1 mkkzzfi)

64、(xf其中，其中，为第二、三型积分中的被积函数。为第二、三型积分中的被积函数。P126875.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 (1)令令 解解 ,)(ezzfz i 0e0,)(Res zz izf.1(2)xxxide0,)(Reszfi 在实轴上，在实轴上，为一阶极点为一阶极点，0 z,i 0dsinxxxI Im21 xxxide.2 P127 例例5.27 附：附：关于第二、三型积分中关于第二、三型积分中 有实孤立奇点的情况有实孤立奇点的情况 )(zR885.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 休息一下895.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 .210,)(Res22pipzf

65、附：附：求函数求函数 在在 点的留数。点的留数。)()1(21)(24pzpzz izzf 0 zpzzpzzpizf/1111121)()(22 )1()1(12122222)(pzpzzpzpzzpi zpppi1121)(返回返回)905.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 附：附：关于关于 型积分的公式推导型积分的公式推导 xxRd)(.,)(Res2 kkzzRi(1)如图，如图，取积分路径为取积分路径为 ,0 CCC (思路思路)推导推导 其中其中 的半径为的半径为 C.|maxkkz (2)根据留数定理有根据留数定理有 CzzRd)(C0C kz CzzRd)(0d)(CzzR

66、xxRd)(CzzRd)(P122 915.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 附：附：关于关于 型积分的公式推导型积分的公式推导 xxRd)(思路思路)推导推导 (3)|)(|zR|22112211mnnmnnnnbzbzbzazazaz 不妨设不妨设|1|1|111112mmnnzbzbzazaz|1|1|111112mmnnzbzbzazaz 5.015.01|12 z.|32z(当当 足够大足够大)|z925.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 附：附：关于关于 型积分的公式推导型积分的公式推导 xxRd)(思路思路)推导推导 (4)|d)(CzzR C0C kz CzzR|d|)(|Czz|d|32 23 3,0.)(,)(Res2 kkzzRi xxRd)(CzzRd)(5)由由 .,)(Res2 kkzzRi xxRd)(返回返回)935.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 附：附：关于关于 型积分的公式推导型积分的公式推导 )0(d)(e axxRiax.,)(Res2e kkzaizzRi(1)如图，如图，取积分路径为取积分路径为 ,0 CCC (思路思路)推导推导