圆和圆的位置关系

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1、圆和圆的位置关系 一、内容综述 1.设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系如下： （1）两圆外离 dR+r （2）两圆外切 d=R+r （3）两圆相交 R-rdr) （5）两圆内含 dr) 利用这个结论，可以把“形”转化为“数”，就是可以根据数量关系确定圆的位置关系。 2.根据两圆不同的位置关系，可以添加不同的辅助线。 （1）两圆相切时，可添公切线，利用切线与半径垂直，切线与弦所组成的弦切角等于弧所对的圆周角等性质解题。 （2）两圆相交时，可连结公共弦，利用相交弦定理或圆周角，相似三角形等性质解题。 （3）有关公切线或圆心距的计算，可以通过平移公

2、切线，组成以公切线、圆心距、两圆半径差（或和）为三边的直角三角形，通过解直角三角形来解题。 二、例题举例 例1.如图（1），已知O1与O2相交于B、C，AB是O1的直径，AB、AC的延长线分别交O2于D、E，过B点作O1的切线交AE于F。 （1）求证：BF/DE； （2）若BAC=30，AC：AD=1：2，求 分析：欲证BF/DE，根据平行线的判定，需要利用同位角、内错角、同旁内角，图形中可直接看到同位角，如果能证明D=ABF，则结论可得。但因这两个角分别在两个圆里，没有相应的定理予以保证，怎样把两个圆的角转化到一个圆中，或找个“中介”转换一下，成为解决问题的关键点。这时，连结公共弦，利用“圆

3、内接四边形的外角等于内对角”，可得结论。 当遇到两个相交圆时，如果需要沟通角的关系时，往往需要连结辅助线公共弦。 解：（1）证明：连结BC。 AB是O1的直线，ACB=90， 又BCED是O2的内接四边形， BDE=ACB=90， 而BF是过点B的O1的切线， ABF=90， ABF=ADE，BF/DE。 （2）在RtACB中，BAC=30，设AB=2k， 则cosBAC=， 即AC=ABcos30=2k=k， AC：AD=1：2，AD=2k， 而BF/DE，ABFADE， . 说明：利用公共弦将两个相交圆联系起来，转换两个圆中的角，是常见的方法。 例2.如图，O和O内切于P点，半径OA和OB

4、切O于C，D，连OC和OD，如果两圆半径分别为9和3，求COD的度数。 分析：两圆相切，连结OO延长必过切点P，易得C OO=D OO，已经两圆的半径，在直角三角形中可以求出COO。 解：因O和O内切于点P，故连结OO延长必过切点P。因OA切O于C， 故OCOC。 因在RtOCO中,OC=3，OO=OP-OP=6， 故OC=OO,COO=30. 由切线长定理，得COO=DOO,COD=60. 在四边形ODOC中，因OCO+ODO=180, 故COD=180-60=120. 例3.如图（2），已知AB是O直径，C是O上一点，CDAB于D，以C为圆心，CD为半径作圆，交O于P、Q，PQ交CD于G。

5、求证：CG=GD。 分析：证明CG=DG，而CG、DG既不是圆周上的弦，又不在一个三角形中，全等、三线合一等这些常用来证明线段相等的方法都不可能。观察图形最大的特点是两圆相交，公共弦PQ将两圆中的线段关系联系在一起，所以可以用相交弦定理，转换线段的关系，则作辅助线以便使用相交弦定理。 证明：延长DC交C于E，延长CD交O于F， 由相交弦定理，得 PGGQ=CGGF=CG(GD+DF) PGGQ=DGGE=DG(GC+CE) CG(GD+DF)=DG(GC+CE). 整理得：CGDF=DGCE， 由直径AB弦CF，得DF=DC=CE， CG=DG 说明：为了利用相交弦定理，往往添加类似“延长与反

6、向延长CD”这样的辅助线。 例4.已知：如图O1与O2外切于P，AB切两圆于A、B，APB周长为40，面积为60，求：P点到AB的距离。 分析：两圆外切，作两圆的公切线，是常见的辅助线，两圆内的角和线段可以通过内公切线进行转化,另外APB是直角三角形这个结论常常要用到，希望同学们记住。 解：过P作两圆的公切线PC交AB于C，过P作PDAB，垂足为D，则PD为P到AB的距离。 AB、PC是两圆的公切线， CA=CP，CB=CP， CAP=CPA，CPB=CBP， 2(CPA+CPB)=180，APB=90， 设AP=x，PB=y， 在x+y+=40中，设x+y=k，则x+y+=40， 即k+=4

7、0， 解得：k=23， 经检验，k=23是k+=40的解， AB=40-23=17，PD= 说明：（1）两圆外切，三角形APB是直角三角形，这个性质的证明和使用很常见；（2）两圆外切于P，P为切点，往往添加过P点的切线，这对判断APB是否为直角，起到重要作用，此举可以引入切线长定理，且构成的弦切角可以沟通角之间的关系，所以当两圆相切时，证明的问题与角相关时，应添加过切点的辅助线。 例5.已知：O1和O2内切于点P，过O1的直径CD的端点的弦PC、PD的延长线分别交O2于E、F两点，O2的弦AB切O1于D，且与EF交于点G。求证：（1）ABEF； （2）ADDB=CDFG 分析：(1)CDAB，

8、若证明EFAB，只要证明CD/EF，而这两线的平行要通过角的关系证明，两圆内切，作两圆的外公切线是常见的辅助线。(2)利用比例线段或三角形相似。 证明：（1）过P作两圆公切线HI， FPI=PCD，FPI=PEF， PCD=PEF，CD/EF， CDAB，EFAB （2）AB和PF为O2的弦，且交于D， ADDB=FDDP， CD/EF， EFP=CDP， PCD=PDA，且PDA=BDF， PCD=BDF，PCDGFD， =，FDPD=CDGF， 又ADDB=FDPD， ADDB=CDFG。 说明：（1）如图（4）条件中给出两圆内切，它有什么性质？可能作出哪些辅助线？给出直线AB和O1相切，

9、又有什么性质？ （2）因要证乘积式和垂直，和角分不开，因此必须沟通两圆的角的关系，由于P是切点，可构造公切线辅助线，利用弦切角沟通关系。 结论中的乘积式ADBD，启示我们应用相交弦定理，推想PDDF是否与CDFG相等，不难发现它们可能通过PCDGDF证出。 例6.如图，已知：以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆于C、D，大圆的弦EF切小圆于C，ED交小圆于G，又大圆的半径为6，小圆的半径为4，求EG的长。 解：大圆的半径为6，小圆的半径为4， AC=2，CD=8，BC=10 由相交弦定理，得 ECCF=ACCB， 又EF与小圆相切于C点， EFAB，EC=CF， EC2=ACCB=210=20 在RtECD中，ED2=EC2+CD2， ED=2 又EC2=EGED， EG= 说明：由于是求线段的长，所以与相交弦定理、切割线定理、勾股定理、切线的性质与垂径定理等有关，具体求EG的长，应从位置上分析，EC是大圆的弦的一半，又是小圆的切线，那么用相交弦定理、切割线定理就很自然了。