三元一次方程组的解法

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1、三元一次方程组的解法小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？1 1三元一次方程（组）的有关概念三元一次方程（组）的有关概念1.三元一次方程：含有三元一次方程：含有_未知数，并且含有未知数未知数，并且含有未知数 的项的次数都是的项的次数都是_，像这样的方程叫做三元一次方程，像这样的方程叫做三元一次方程 必备条件：必备条件：(1)是是_方程；方程；(2)含含_未知数；未知数；(3)含未知数的含未知数的 项的次数都是项的次数都是_.2三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含三元一次方程组：含有三个未知数

2、，每个方程中含 未知数的项的次数都是未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组像这样的方程组叫做三元一次方程组三个三个1整式整式三个三个1必备条件：必备条件：(1)是整式方程；是整式方程；(2)含三个未知数；含三个未知数；(3)三个都是一次方程；三个都是一次方程；(4)联立在一起联立在一起3易错警示：易错警示：(1)误认为三元一次方程组中每个方程必须是三元一误认为三元一次方程组中每个方程必须是三元一 次方程，实际上只需方程组中共有三个未知数即可；次方程，实际上只需方程组中共有三个未知数即可；(2)把含有未知数的项的次数为把含有未知数的项的次

3、数为1误认为未知数的次误认为未知数的次 数为数为1.1 1三元一次方程（组）的有关概念三元一次方程（组）的有关概念1下列方程是三元一次方程的是下列方程是三元一次方程的是_ (填序号填序号)xyz1 4xy3z7 y7z0 6x4y302x2 其中是三元一次方程组的是其中是三元一次方程组的是_(填序号填序号)23=7,=8,44;xyzxyzxyz236,48,35;abbcb7,8,9;xyyzzx5,237,240;xyzyzxxzw112,114,1110.xyyzzx基础课堂基础课堂精讲精练精讲精练精精 练练3若若(a1)x5yb12z2|a|10是一个关于是一个关于x，y，z的三元一次

4、方程，那么的三元一次方程，那么a_，b_102 2三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法1.解三元一次方程组的基本思路：通过解三元一次方程组的基本思路：通过“代入代入”或或“加减加减”进行消元，把进行消元，把“_”化为化为“_”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而 再转化为再转化为_方程，用简图表示为：方程，用简图表示为：三元一次三元一次方程组方程组二元一次方二元一次方程组程组一元一一元一次方程次方程消元消元消元消元三元三元二元二元一元一次一元一次2求解方法：加减消元法和代入消元法求解方法：加减消元法和代入消元法3解三元一次方程组的一般步骤：

5、解三元一次方程组的一般步骤：(1)利用代入法或利用代入法或 加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到 关于另外两个未知数的二元一次方程组；关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个 系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知

6、数的值用符号将求得的三个未知数的值用符号“”合写在一合写在一 起起 2 2三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法4解三元一次方程组解三元一次方程组 先消去先消去_，化为关于，化为关于_、_ 的二元一次方程组较简便的二元一次方程组较简便236,1,25,xyzxyxyzzxy5解方程组解方程组 若要使运算简便，消元若要使运算简便，消元 的方法应选的方法应选()A消去消去x B消去消去y C消去消去z D以上说法都不对以上说法都不对323,2411,751,xyzxyzxyzB因为因为y的系数的绝对值都是的系数的绝对值都是1，所以消去，所以消去y较简便较简便6已知三元一次方程组已知三元一次方程组

7、 经过步骤经过步骤和和4消去未知数消去未知数z后，得后，得 到的二元一次方程组是到的二元一次方程组是()A.B.C.D.540,3411,2,xyzxyzxyz 432753xyxy342753xyxy342231711xyxy432231711xyxyA3 3三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用（1 1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如 x,y,z）表示题目中的数量关系）表示题目中的数量关系.(2)(2)找出能够表达应用题全部含义的三个相等关系找出能够表达应用题全部含义的三个相等关系.(3)(3)根据这些相等关系列出代数式，从而列出方程，根据

8、这些相等关系列出代数式，从而列出方程，并组成方程组并组成方程组.(4)(4)解这个方程组求出未知数的值解这个方程组求出未知数的值.(5)(5)写出答案，包括单位名称写出答案，包括单位名称.3 3三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用7(2015滨州滨州)某服装厂专门安排某服装厂专门安排210名工人进行名工人进行 手工衬衣的缝制，每件衬衣由手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、个衣袖、1个衣个衣 身、身、1个衣领组成如果每人每天能够缝制衣袖个衣领组成如果每人每天能够缝制衣袖 10个，或衣身个，或衣身15个，或衣领个，或衣领12个，那么应该安个，那么应该安 排排_名工人缝制衣袖，才能使每天缝制名工

9、人缝制衣袖，才能使每天缝制 出的衣袖、衣身、衣领正好配套出的衣袖、衣身、衣领正好配套120120忽略集中消同一未知数导致不会解三元一次方程组忽略集中消同一未知数导致不会解三元一次方程组1 18下面是小明解三元一次方程组的消元过程，当他下面是小明解三元一次方程组的消元过程，当他 解到第三步时，发现还是无法求出方程组的解，解到第三步时，发现还是无法求出方程组的解，请帮小明分析解题的错因，并加以改正请帮小明分析解题的错因，并加以改正 解方程组：解方程组：错解错解第一步：第一步：，得，得(消消y)xz6，第，第 二步：，得二步：，得(消消z)yx3，第三步：由，第三步：由 组成方程组，得组成方程组，得

10、 此方程组此方程组 无法求解无法求解2 7,3 3,3 0.xyyzxz6,3.xzyx 错解原因是错解原因是消元的目的不明确消元的目的不明确，消元时，应始终对同，消元时，应始终对同一个未知数进行，否则就达不到消元的目的一个未知数进行，否则就达不到消元的目的正解：正解：，得，得yx3，由由组成方程组，得组成方程组，得解得解得 将将x12代入代入，得，得z18.方程组的解为方程组的解为27,3,xyyx12,15,xy12,15,18.xyz加减消元时，易漏乘某项系数而出错加减消元时，易漏乘某项系数而出错2 29解方程组解方程组231,3222,441.xyzxyzxyz 由由2，得，得4x3x

11、6z2z4，即即7x8z4.，由由2，得，得6x4x4zz41，即即2x3z3.由由组成方程组，得组成方程组，得解得解得 把把 代入代入，得，得y2.所以原方程组的解为所以原方程组的解为784,233,xzxz12,513.5xz 12,513.5xz 12,52,13.5xyz 解三元一次方程组时，通常需在某些方程两边同乘以某常解三元一次方程组时，通常需在某些方程两边同乘以某常数，以便于消去同一未知数；在变形过程中，易漏乘常数数，以便于消去同一未知数；在变形过程中，易漏乘常数项而出现方程变形为项而出现方程变形为4x2y6z1的错误的错误名师点金名师点金解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将

12、复杂解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问题简单化的一种方法其目的是利用代入法或加问题简单化的一种方法其目的是利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数其基本过程为：出另一个未知数其基本过程为：三元三元 二元二元 一元一元消元消元消元消元转化转化转化转化1 1巧解较复杂的三元方程组（换元法）巧解较复杂的三元方程组（换元法）10解方程组解方程组1122,1141,115.xyzxyzxy 分析分析此方程组较为复杂，通过观察各个方

13、程可以发现此方程组较为复杂，通过观察各个方程可以发现将将 ，分别看成一个整体，则方程可化为分别看成一个整体，则方程可化为三元一次方程组，再通过三元一次方程组的解法可三元一次方程组，再通过三元一次方程组的解法可求解求解1x1y1z设设 a，b，c，则原方程组可化为则原方程组可化为，得，得2a2c1，得，得2a4c4.与与组成方程组，得组成方程组，得解这个方程组，得解这个方程组，得1x1y1z22,41,+5.abcabca b 221,244.acac1,3.2ac 把把 代入代入，得，得b6.因此，因此，x1，y ，z .即原方程组的解为即原方程组的解为1,3.2ac 16231,1,62.3

14、xyz 本题运用了本题运用了换元法换元法，将，将 ，分别用分别用a，b，c表示，将表示，将原方程组化为关于原方程组化为关于a，b，c的三元一次方程组，求出的三元一次方程组，求出a，b，c的值后，进一步再求的值后，进一步再求x，y，z的值，这种方法可使解题过的值，这种方法可使解题过程变简便程变简便1x1y1z2 2巧解含比例的三元方程组（等比法）巧解含比例的三元方程组（等比法）11解方程组解方程组:1:2:3,23=15.x y zxyz设设xk，y2k，z3k，代入，代入得：得：2k2k9k15.解得解得k3.原方程组的解为原方程组的解为3,6,9,xyz 像这种已知未知数之间数量比的问题，通

15、常采用设参数像这种已知未知数之间数量比的问题，通常采用设参数的方法，将的方法，将“多元多元”化为化为“一元一元”，使解题过程变简便，使解题过程变简便3 3巧解巧解“每个方程中只有二元每个方程中只有二元”的三元一次方程组（整体思想）的三元一次方程组（整体思想）12解方程组：解方程组：3,5,4.xyyzzx得：得：2x2y2z12，所以所以xyz6，得，得z3.，得，得x1.，得，得y2.所以原方程组的解为所以原方程组的解为1,2,3.xyz本题没有采用本题没有采用常规的消元方法常规的消元方法求解，而是利用整体加减的求解，而是利用整体加减的方法求出未知数的值，给解题过程带来了简便方法求出未知数的

16、值，给解题过程带来了简便4 4代入法、加减法的综合运用（一题多解）代入法、加减法的综合运用（一题多解）13用两种消元法解方程组：用两种消元法解方程组：2439,3248,5657.xyzxyzxyz方法一：代入法解方程组方法一：代入法解方程组把把变形为：变形为：2y3x4z8，将将代入代入得：得：2x2(3x4z8)3z9，整理得，整理得8x11z25.将将代入代入得：得：5x3(3x4z8)5z7，整理得，整理得4x7z17.由由组成组成方程组，方程组，得得 解得解得81125,4717.xzxz1,3.xz 将将 代入代入，得，得 y .此方程组的解为此方程组的解为方法二：加减法解方程组方

17、法二：加减法解方程组2得：得：8x11z25.32得：得：16x19z41.由由、，得，得 解得解得将将 代入代入，得，得 y .此方程组的解为此方程组的解为1,3.xz 121,1,23.xyz 81125,161941xzxz.1,3.xz 121,1,23.xyz 1,3.xz 5 5利用三元一次方程组求有关式子的待定系数利用三元一次方程组求有关式子的待定系数14当当x1，1，3时，时，yax2bxc的值分别为的值分别为1，4，0，求当，求当x2时，时，y的值的值由题意得：由题意得：解得解得y x2 x .当当x2时，时，y 22 213 .1,4,930,abcabcabc1,43,2

18、9.4abc 94949414143214326 6利用方程组解实际应用问题利用方程组解实际应用问题15有三块牧场，草长得一样密一样快，面积分别有三块牧场，草长得一样密一样快，面积分别 为为3 公顷，公顷，10公顷和公顷和24公顷，第一块公顷，第一块12头牛可头牛可 吃吃4星期，第二块星期，第二块21头牛可吃头牛可吃9星期，第三块可供星期，第三块可供 多少头牛吃多少头牛吃18个星期？个星期？13设牧场每公顷原有草设牧场每公顷原有草 x t，每星期新生草，每星期新生草 y t，每头牛每周吃草每头牛每周吃草a t，根据题意得根据题意得101044 12,33109 109 21,xyaxya 化简

19、得：化简得：得，得，50y45a，y0.9a，将将y0.9a代入代入得得10 x400.9a144a，x10.8a，答：第三块牧场可供答：第三块牧场可供36头牛吃头牛吃18个星期个星期1040144,1090189,xyaxya10.8,0.9,xaya2424 1824(10.818 0.9)36.1818xyaaaa 教你一招教你一招 解三元一次方程组的消元技巧：解三元一次方程组的消元技巧：(1)先消去某个方程缺少的未知数；先消去某个方程缺少的未知数；(2)先消去系数最简单的未知数；先消去系数最简单的未知数；(3)先消去系数成整倍数关系的未知数先消去系数成整倍数关系的未知数另外，在另外，在“消元消元”的过程中必须保证每个方程至少的过程中必须保证每个方程至少用一次用一次