1设a为有理数
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1、P.4 习题1设a为有理数,x为无理数,证明:(1)a + x是无理数; (2)当时,ax 是无理数. 证明 (1)(反证)假设a + x是有理数,则由有理数对减法的封闭性,知 x = a +x a 是有理数. 这与题设“x为无理数”矛盾,故a + x是无理数. (2)假设ax 是有理数,于是是有理数,这与题设“x为无理数”矛盾,故ax是无理数. 3设,证明:若对任何正数有,则 a = b . 证明 由题设,对任何正数有,再由教材P.3 例2,可得,于是,从而 a = b . 另证 (反证)假设,由实数的稠密性,存在 r 使得. 这与题设“对任何正数有”矛盾,于是,从而 a = b . 5证明
2、:对任何有(1); (2)证明 (1)(2)因为,所以6设证明证明 建立坐标系如图,在三角形OAC中,OA的长度是,OC的长度是,AC的长度为. 因为三角形两边的差小于第三边,所以有7设 ,证明介于1与之间. 证明 因为, 所以介于1与之间. 8设 p 为正整数,证明:若 p 不是完全平方数,则是无理数. 证明 (反证)假设为有理数,则存在正整数 m、n使得,其中m、n互素. 于是,因为 p 不是完全平方数,所以 p 能整除 n ,即存在整数 k ,使得. 于是,从而 p 是 m 的约数,故m、n有公约数 p. 这与“m、n互素”矛盾. 所以是无理数.P.9 习题2设S为非空数集,试对下列概念
3、给出定义:(1)S无上界;若,使得,则称S无上界.(请与S有上界的定义相比较:若,使得,有,则称S有上界)(2)S无界.若,使得,则称S无界.(请与S有界的定义相比较:若,使得,有,则称S有界)3试证明数集有上界而无下界.证明 ,有,故2是S的一个上界.而对,取,但. 故数集S无下界.4求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证:(1)解 ,. 下面依定义加以验证(可类似进行).,有,即是S的一个上界,是S的一个下界.,若,则,都有;若,则由实数的稠密性,必有实数 r ,使得,即,不是上界,所以.(2)解 S无上界,故无上确界,非正常上确界为.下面证明:. ,有,即 1 是S的一个下界; ,因为
4、 ,即不是S的下界. 所以 .(3)解 仿照教材P.6例2的方法,可以验证:. 解 ,首先验证. ,有,即 1 是S的一个上界; ,取正整数,使得,于是取. 从而,且.所以5设S为非空有下界数集,证明:证明:)设,则对一切,有,而,故是数集S中的最小的数,即.)设,则;下面验证; 对一切,有,即是数集S的下界; 对任何,只须取,则. 所以.6设S为非空数集,定义. 证明: 证 设,下面证明:. 对一切,有. 因为,所以有,于是,即是数集S的上界; 对任何,有. 因为,所以存在,使得. 于是有,使得. 由,可知.7设A、B皆为非空有界数集,定义数集证明:(1); (2)证明 (1)因为A、B皆为
5、非空有界数集,所以和都存在. ,由定义分别存在,使得. 由于,故,即是数集的一个上界. ,(要证不是数集的上界),由上确界的定义,知存在,使得. 于是,再由上确界的定义,知存在,使得. 从而,且. 因此是数集的上确界,即另证 ,由定义分别存在,使得. 由于,故,于是. 由上确界的定义,使得,使得,从而,由教材P.3 例2,可得 由、,可得 类似地可证明:P.15 习题9试作函数的图象解 是以2为周期,定义域为,值域为的分段线性函数,其图象如图. 11试问是初等函数吗?解 因为,可看成是两个初等函数与的复合,所以是初等函数. 12证明关于函数的如下不等式:(1)当时, (2)当时,证明 (1)因
6、为 ,所以当时,有,从而有. (2)当时,在不等式中同时乘以x,可得,从而得到所需要的不等式. P.20 习题1证明是R上的有界函数. 证明 因为对R 中的任何实数x 有 所以 f 在R上有界. 2(1)叙述无界函数的定义;(2)证明为(0,1)上的无界函数;(3)举出函数 f 的例子,使 f 为闭区间 0,1 上的无界函数. 解 (1)设函数,若对任何,都存在,使得,则称 f 是D 上的无界函数. (2)分析:,要找,使得. 为此只需. 证明 ,取,则,且,所以f 为区间(0,1)上的无界函数. (3)函数 是闭区间 0,1 上的无界函数. 7设、为定义在上的有界函数,满足,证明: ; 证
7、,有,即是在上的一个上界,所以. ,有,即是在上的一个下界,所以.8设为定义在上的有界函数,证明: ; 证 ,有,于是,即是在上的一个下界,从而,所以 反之,有,于是,即是在上的一个上界,从而 由,得,.9证明:在上无界,而在内任一闭区间上有界.证 ,取,于是. 则有,所以在上无界.在内任一闭区间上,取,则,必有,所以在上有界.10讨论狄利克雷函数,的有界性,单调性与周期性. 解 函数是有界函数:. 不是单调函数. 是周期函数,任何一个正有理数都是它的周期,故它没有最小周期. 证明如下:设 r 是任一正有理数. 若 x 是有理数,则是有理数,于是;若 x 是无理数,则是无理数,于是. 任何无理
8、数都不是的周期. 11证明:在R上严格增.证 设,于是因为,有,所以,从而. 所以有即在R上严格增.P.21 总练习题1设,证明: 证 若,则,这时有;若,则, ,也有,所以2设和都是初等函数,定义,试问和是否为初等函数?解 由第1题有,因为和都是初等函数,于是是初等函数,再由,知是初等函数,所以是初等函数.8设、和为增函数,满足,证明:证 因为、为增函数,再由,得,所以有. 同理可得. 9设、为区间上的增函数,证明,也都是区间上的增函数.证 先证是区间上的增函数.设,于是有,从而,所以是增函数. 其次证明是区间上的增函数设,于是有从而 12设、为上的有界函数,证明: 证 由p.17例2 (i),有 再由p.20习题8,有 结合、可得13设、为上的非负有界函数,证明: 证 ,有,从而. 即是在上的一个下界,所以有15设为定义在R上以h为周期的函数,a为实数. 证明:若f在 a, a+h 上有界,则f在R上有界.证 设f在 a, a+h 上有界,即存在,使得,有. ,必存在整数和实数,使得. 于是,所以f在R上有界.16设在区间上有界. 记,证明证 ,有,. 于是,有,即是数集的一个上界. 下面证明:是数集的最小上界.由上确界,下确界的定义知,使得,从而. 所以是数集的最小上界.所以10
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