全国版2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.3圆的方程课件理

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1、第三节 圆的方程,【知识梳理】 1.圆的定义、方程,定点,定长,(a,b),r,D2+E2-4F0,2.点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2r2. (2)点M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2r2.,【特别提醒】 1.解答圆的问题的关键 注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算. 2.二元二次方程表示圆的条件 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时易忽视D2+E2-4F0这一条

2、件.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(必修2P124T1(2)改编)圆x2+y2-2x+4y-1=0的圆心坐标是_,半径是_.,【解析】由x2+y2-2x+4y-1=0得, (x-1)2+(y+2)2=6. 所以该圆的圆心坐标为(1,-2),半径为 答案:(1,-2),2.(必修2P124T4改编)已知圆C经过A(5,2),B(-1,4)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为_.,【解析】因为圆心在x轴上,设圆心为(a,0), 所以圆的方程为(x-a)2+y2=r2. 又因为A(5,2),B(-1,4)在圆上. 所以 解得a=1,r2=20. 所以圆的方程为(x-1)2+y2=20. 答案:(

3、x-1)2+y2=20,感悟考题试一试 3.(2015北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是() A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2,【解析】选D.半径r= 所以圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=2.,4.(2016天水模拟)圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为() A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5 【解析】选D.由题意知所求圆的圆心坐标为(0,-2),所以所求圆的方程为x2+(

4、y+2)2=5.,5.(2016太原模拟)以(1,0)为圆心,且与直线x-y+3=0相切的圆的方程是() A.(x-1)2+y2=8B.(x+1)2+y2=8 C.(x-1)2+y2=16D.(x+1)2+y2=16,【解析】选A.因为所求圆的圆心坐标为M(1,0),所以 可排除B,D;因为所求圆与直线x-y+3=0相切, 所以圆心M(1,0)到直线x-y+3=0的距离即为该圆的半 径r, 即r= 4,可排除C; 所以所求圆的方程为:(x-1)2+y2=( )2=8.,考向一求圆的方程 【典例1】(1)(2015全国卷)过三点A(1,3), B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,

5、则|MN|=() A.2 B.8C.4 D.10,(2)在平面直角坐标系xOy中,求与x轴相交于A(1,0) 和B(5,0)两点且半径为 的圆的标准方程.,【解题导引】(1)利用三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)求出圆的方程,令x=0,求出y的值,从而求出|MN|的值. (2)因为已知圆的半径,所以可设圆的标准方程,利用待定系数法求解.,【规范解答】(1)选C.由已知得kAB= kCB= 所以kABkCB=-1,所以ABCB,即ABC 为直角三角形,其外接圆圆心为(1,-2),半径r=5,所以 外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得y=2 -2, 所以|MN|=4

6、 .,(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=5. 因为点A,B在圆上,所以可得到方程组: 所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-1)2=5或 (x-3)2+(y+1)2=5.,【一题多解】解答本例(2),还有如下解法: 【解析】由于A,B两点在圆上,那么线段AB是圆的一条 弦,根据平面几何知识:这个圆的圆心在线段AB的垂直 平分线x=3上,于是可以设圆心为C(3,b).又AC= 得 解得b=1或b=-1.,因此,所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=5或 (x-3)2+(y+1)2=5.,【规律方法】 1.求圆的方程的两种方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐

7、标和半径,进而写出方程.,(2)待定系数法: 若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值; 若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.,2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上. (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.,【变式训练】1.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为() A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.

8、(x-2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1,【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心坐标(-1,1)关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为(2,-2),所求的圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.,2.(2015湖北高考)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.,(1)圆C的标准方程为_. (2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_.,【解析】(1)设点C的坐标为(x0,y0),则由圆C与x轴相 切于点T(1,0)知,点C的横坐标为1,即x0=1,

9、半径r=y0. 又因为|AB|=2,所以12+12=y02,即y0= =r,所以圆C的 标准方程为(x-1)2+(y- )2=2.,(2)令x=0得:B(0, +1).设圆C在点B处的切线方程为 y-( +1)=kx,则圆心C到其距离为:d= 解之得k=1.即圆C在点B处的切线方程为y=x+( +1), 于是令y=0可得x=- -1,即圆C在点B处的切线在x轴上 的截距为-1- . 答案:(1)(x-1)2+(y- )2=2(2)-1-,【加固训练】 1.经过点(1,0),且圆心是两直线x=1与x+y=2的交点的圆的方程为() A.(x-1)2+y2=1B.(x-1)2+(y-1)2=1 C.

10、x2+(y-1)2=1D.(x-1)2+(y-1)2=2,【解析】选B.由 即所求圆的圆心坐标为(1,1), 又由该圆过点(1,0),得其半径为1, 故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.,2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是() A.-11或a-1D.a=1 【解析】选A.因为点(1,1)在圆内,所以(1-a)2+(1+a)2 4,即-1a1.,3.圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是() A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0 C.x2+y2+10 x=0D.x2+y2-10 x=0,【解析】选B.设圆

11、心为(0,b),半径为R,则R=|b|, 所以圆的方程为x2+(y-b)2=b2. 因为点(3,1)在圆上, 所以9+(1-b)2=b2,解得b=5. 所以圆的方程为x2+y2-10y=0.,4.(2016沈阳模拟)圆心在直线x=2上的圆与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则该圆的标准方程为_.,【解析】设圆心为(2,a),因为圆与y轴交于两点 A(0,-4),B(0,-2), 即截y轴所得弦长为2, 所以圆的半径为r= 故圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5. 答案:(x-2)2+(y+3)2=5,5.已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆x2+y2-2y=0上的

12、动点,则ABP面积的最小值为_.,【解析】如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P.,这时ABP的面积最小,直线AB的方程为 即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离为 所以ABP的面积的最小值为 答案:,考向二与圆有关的轨迹问题 【典例2】(1)已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的轨迹方程是_.,(2)(2015广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. 求圆C1的圆心坐标; 求线段AB的中点M的轨迹C的方程.,【解题导引】(1)可利用|MC|等于圆的半

13、径,进而得出点M的轨迹方程. (2)将圆C1的方程化为标准方程可得圆C1的圆心坐标; 先设线段AB的中点M的坐标,再由圆的性质可得点M满足的方程,进而利用动直线l与圆C1相交可得x的取值范围,即可得线段AB的中点M的轨迹C的方程.,【规范解答】(1)设圆心坐标为M(x,y), 则(x-1)2+(y+1)2= 即(x-1)2+(y+1)2=9. 答案:(x-1)2+(y+1)2=9,(2)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4, 所以圆C1的圆心坐标为(3,0). 设M(x,y),则 因为点M为线段AB的中点,所以C1MAB, 所以kC1MkAB=-1,当x3时可得 整理得 又当直线

14、l与x轴重合时,M点坐标为(3,0),代入上式成立.,设直线l的方程为y=kx,与x2+y2-6x+5=0联立, 消去y得:(1+k2)x2-6x+5=0. 令其判别式=(-6)2-4(1+k2)5=0, 得k2= 此时方程为 x2-6x+5=0, 解上式得x= 因此 x3.,所以线段AB的中点M的轨迹方程为,【规律方法】求与圆有关的轨迹问题的四种方法,【变式训练】1.设A(-3,0),B(3,0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离之比为12,则点P的轨迹图形所围成的面积是_.,【解析】设P(x,y),则由题意有 所以x2+y2+10 x+9=0, 所以(x+5)2+y2=16, 所以

15、点P在半径为4的圆上,故其面积为16. 答案:16,2.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程. (2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.,【解析】(1)设AP的中点为M(x,y), 由中点坐标公式可知,P点的坐标为(2x-2,2y). 因为P点在圆x2+y2=4上, 所以(2x-2)2+(2y)2=4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.,(2)设PQ的中点为N(x,y), 在RtPBQ中,|PN|=|BN|, 设O为坐标原点,连接ON(图略),则ONPQ, 所以|OP|2=|ON|2+|

16、PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.,【加固训练】 (2016宜昌模拟)已知动圆P过定点A(-3,0),且与圆B:(x-3)2+y2=64相切,点P的轨迹为曲线C;设Q为曲线C上(不在x轴上)的动点,过点A作OQ的平行线交曲线C于M,N两点. (1)求曲线C的方程. (2)求MNQ的面积S的最大值.,【解析】(1)因为动圆P过定点A(-3,0),且与圆B:(x- 3)2+y2=64相切, 所以点P到两定点A(-3,0)和B(3,0)距离之和等于定 圆B的半径,所以|PA|+|PB|=8, 所

17、以点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴为8的椭圆,所以 曲线C的方程为,(2)因为Q不在x轴上,所以设直线OQ:x=my, 因为过点A作OQ的平行线交曲线C于M,N两点,所以 直线MN:x=my-3, 设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3), 则 =(x1+3,y1), =(x2+3,y2),联立方程组 消去x, 得(7m2+16)y2-42my-49=0,因为MNOQ, 所以S=SMNQ=SMNO= |OA|y1-y2|,当且仅当m2= 时取等号, 所以所求最大值为,考向三与圆有关的最值问题 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:代数式的最值问题 【典例3】(1)(2016太原

18、模拟)已知点P是直线3x+4y+8=0上的动点,点C是圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心,那么|PC|的最小值是_.,(2)(2016南宁模拟)已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点. 求m+2n的最大值; 求 的最大值和最小值.,【解题导引】(1)|PC|的最小值就是点C到直线3x+4y +8=0的距离.(2)可设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方 程,利用该直线与圆相交或相切即可求出t的最值; 可利用 的几何意义求解.,【规范解答】(1)点C到直线3x+4y+8=0上的动点P的最 小距离即为点C到直线3x+4y+8=0的距离,而圆心C的坐 标是(1,1

19、),因此最小距离为 答案:3,(2)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7), 半径r= 设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程, 因为该直线与圆有公共点, 所以圆心到直线的距离d=,解上式得: 所以,所求的最大值为16+,记点Q(-2,3).因为 表示直线MQ的斜率, 设直线MQ的方程为y-3=k(x+2), 即kx-y+2k+3=0,则 由直线MQ与圆C有公共点,所以 可得 所以 的最大值为2+ ,最小值为2- .,【母题变式】1.若本例(1)设点A为圆上的动点,试求|PA|的最小值.,【解析】点C到直线3x+4y+8=0上的动点P的最小距离即 为点C到直线3x+4y+

20、8=0的距离,而圆心C的坐标是(1,1), 圆心C与点P最小距离为 又因为圆x2+y2-2x-2y+1=0的半径为1, 所以|PA|的最小值为3-1=2.,2.若将本例(1)的条件“P是直线3x+4y+8=0上的动点”,改为“P(4,5)”,试求点P到圆上的点的距离的最大值与最小值. 【解析】因为点P(4,5)与圆心C(1,1)的距离|PC|=5, 所以点P与圆上的点的距离的最大值为5+1=6,最小值为5-1=4.,命题方向2:与圆有关的范围问题 【典例4】(2014全国卷)设点M(x0,1),若在圆O: x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是_. 【解题导引】可结合图

21、象,探究满足条件的x0的取值范围.,【规范解答】建立三角不等式,利用两点间距离公式找到x0的取值范围. 如图,过点M作O的切线,切点为N, 连接ON.M点的纵坐标为1,MN与O 相切于点N.,设OMN=,则45,即sin 即 而ON=1,所以OM 因为M为(x0,1),所以 所以x021,所以-1x01,所以x0的取值范围为 -1,1. 答案:-1,1,【技法感悟】 1.与圆有关的最值问题的几何转化法 (1)形如= 形式的最值问题,可转化为动直线斜 率的最值问题. (2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截 距的最值问题.,(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转

22、化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,2.与圆有关的参数范围问题常见思路 (1)直接利用条件,画出几何图形,结合图形用几何法求参数的范围. (2)根据位置关系列不等式组,用代数法求参数范围. (3)构造关于参数的函数关系,借助函数思想求参数的范围.,【题组通关】 1.(2016温州模拟)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0 (k0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线, A,B为切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为 () A.1B.3C.2D.,【解析】选C.圆C的方程可化为x2+(y-1)2=1, 因为四边形PACB的最小面积是2,且此时切线长为2,

23、故圆心(0,1)到直线kx+y+4=0的距离为 即 解得k=2,又k0,所以k=2.,2.(2016广州模拟)如果直线l将圆C:(x-2)2+(y+3)2 =13平分,那么坐标原点O到直线l的最大距离为_.,【解析】由题意知,直线l过圆心C(2,-3), 当直线OCl时,坐标原点到直线l的距离最大, |OC|= 答案:,3.(2016衡水模拟)已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是_. 【解析】圆的方程化为(x+1)2+(y-2)2=5-a, 所以其圆心为(-1,2),且5-a0,即a5. 又圆关于直线y=2x+b成轴对称,所以圆心在直线y=2x+b上, 所以2=-2+b,所以b=4. 所以a-b=a-41. 答案:(-,1),4.(2016长春模拟)若直线y=x+b与曲线y= 有公共点,则b的取值范围是_. 【解析】由y= 得(x-2)2+(y-3)2=4(1y3). 所以曲线y= 是半圆, 如图中实线所示.,当直线y=x+b与圆相切时, 所以b=1 由图可知b=1- 所以b的取值范围是1- ,3. 答案:1- b3,