数理统计CH5假设检验52ppt课件

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1、2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验1 假设检验是数理统计学中最重要的问题之一，与参数估计并称为数理统计学的两类基本问题。2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验2本章内容本章内容5 假设检验5.1 假设检验原理5.2 正态总体均值 检验5.3 正态总体均值 检验5.4 正态总体方差 2 检验5.5 正态总体均值差 检验5.6 正态总体方差比 检验5.7 分布拟合 2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验3本章重点本章重点5 假设检验正态总体均值 检验正态总体方差 2 检验正态总体均值差 检验正态总体方差比 检验分布拟合 2检验2022-10-21王玉顺

2、：数理统计05_假设检验45.7 分布拟合 2检验Chi-square test on goodness of fit5 假设检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验5本章内容本章内容5.7.1 分布拟合检验原理5.7.2 离散样本分布拟合检验5.7.3 连续样本分布拟合检验5.7 分布拟合2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验6什么是分布拟合检验？若不知道总体X服从什么分布，可从总体X中抽取一个样本x1,x2,xn，做样本的频数统计，根据直观印象或经验假定X服从某种已知分布，再由样本提供的信息对这一假设进行检验，称作分布拟合检验，或称拟合优度检验(signif

3、icance testing on goodness of fit)或适合性检验。5.7 分布拟合2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验75.7.1 分布拟合检验原理Chi-square test mechanism5.7 分布拟合2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验8(1)关于分布的统计假设5.7.1 分布拟合检验原理对总体X概率分布的推测可归结为下面的统计假设：H0:F(x)=F0(x)H1:F(x)F0(x)H0:f(x)=f0(x)H1:f(x)f0(x)或F0(x)和f0(x)称作拟合函数问题问题：总体X的概率分布未知，其分布函数记作F(x)，概

4、率密度记作f(x)。若假定总体X服从某已知的概率分布F0(x)及f0(x)，试由样本x1,x2,xn提供的信息对此假设作出检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验9(2)KPearson定理221121mjm rjjjmjjjjnnppnnnpnp 组观测频数nj组期望频数npj组概率pj组序号j 组数m样本容量n5.7.1 分布拟合检验原理 1900年，K Pearson提出了一个检验分布假设的统计量，用于描述假定的分布函数F0(x)拟合样本的优度，即下面的 2统计量：2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验10(2)KPearson定理0,0,2211jj upj

5、lowmjjdfjjdfmrpFxFxnnpnp H0:f(x)=f0(x)H1:f(x)f0(x)拟合总误差的量度5.7.1 分布拟合检验原理2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验11Pearson：零假设H0下，不论总体X服从什么分布，Pearson 2统计量在n趋于无限大时服从自由度m-r-1的 2分布。根据大数定律，只要n充分大(50)，就可利用自由度m-r-1的Pearson 2统计量检验用F0(x)或f0(x)拟合样本分布的优度。其中，m为样本频数分布的分组数，r为确定F0(x)或f0(x)所需估计的参数个数，n为样本容量。H0:f(x)=f0(x)H1:f(x)f0(

6、x)(2)KPearson定理5.7.1 分布拟合检验原理2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验12统计假设中指定的已知函数F0(x)或f0(x)称作(fit function)；进行分布拟合检验，首先要确定拟合函数F0(x)或f0(x)，即它的分布类型和分布参数；对样本进行频数统计，根据对频数分布柱形图或直方图的直观印象、或以往经验、或类似问题的研究结论，先确定拟合函数F0(x)或f0(x)的分布类型，再用样本数据估计拟合函数F0(x)或f0(x)中的参数。(3)确定拟合函数H0:f(x)=f0(x)H1:f(x)f0(x)5.7.1 分布拟合检验原理2022-10-21王玉顺：

7、数理统计05_假设检验13(4)组概率的计算00,0,0,Hj upHj lowj upj lowjPXxPXxF xF xp连续变量样本组概率计算221mjjdfjjnnpnpH0:f(x)=f0(x)H1:f(x)f0(x)5.7.1 分布拟合检验原理2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验14(4)组概率的计算离散变量样本组概率计算H0:f(x)=f0(x)H1:f(x)f0(x)0jHjpPXx221mjjdfjjnnpnp5.7.1 分布拟合检验原理2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验15(5)KPearson 2统计量的计算221221111mjjdfjjm

8、mjjjjjjjdfmrnnpnpnnnpnpnnp KPearson 2统计量的算法公式(数据处理)2211mjdfjjnnnp5.7.1 分布拟合检验原理2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验16 f(x)偏离f0(x)愈大，表征拟合总偏差的Pearson 2统计量的值就愈大，当值大到显著不合理的程度(p p)，就否定f(x)=f0(x)的假设，故采用如下所示的右方 2检验：H0:f(x)=f0(x)H1:f(x)f0(x)(6)2 2分布拟合检验2211mjjdfjjdfmrnnppPnp p p否定H0p p接受H05.7.1 分布拟合检验原理2022-10-21王玉顺：数

9、理统计05_假设检验17(6)2 2分布拟合检验决策规则p否定H0p接受H0H0:f(x)=f0(x)H1:f(x)f0(x)2211mjjdfjjdfm rnnppPnp 右侧 2检验5.7.1 分布拟合检验原理2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验18(6)2 2分布拟合检验H0:f(x)=f0(x)H1:f(x)f0(x)22211mjjjjdfm rnnpWdfnp Pearson 2统计量的值在拒绝域内就拒绝H0右侧 2检验5.7.1 分布拟合检验原理2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验195.7.2 离散样本分布拟合检验Chi-square test ba

10、sed discrete samples5.7 分布拟合2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验20：一枚骰子掷60次，观测到的骰子点数分布如下表，试检验这枚骰子是否公正骰子点数xj123456频数nj71681739(1)案例资料5.7.2 离散样本分布拟合检验6160jjnn2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验21步骤步骤1：确定H0下的拟合函数pj：将问题表述为下面的统计假设H0：pj=1/6，j=1,2,3,4,5,6H1：pj不全相等不全相等 016jHjpPXx160106jnp 5.7.2 离散样本分布拟合检验(2)问题的右侧2检验期望频数2022-

11、10-21王玉顺：数理统计05_假设检验22步骤步骤3：计算H0下 2统计量的观察值骰子点数xj123456频数nj71681739组概率pj1/61/61/61/61/61/6期望频数npj1010101010102216211667486014.860mjdfjjjjnnnpnnn5.7.2 离散样本分布拟合检验222222271681739748jn(2)问题的右侧2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验23H0:pj=1/6,j=1,2,6H1:pj不全相等不全相等 2216211667486014.860mjdfjjjjnnnpnnn观察拟合优度5.7.2 离散样本分

12、布拟合检验(2)问题的右侧2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验24步骤步骤4：计算零假设H0下发生抽样观测事抽样观测事件件的概率p步骤步骤5：决策，p=0.01130.05否定H0，0.05水平上认定这枚骰子有缺限，不公正。2212114.80.0113mjdfjjdfnpPnnpP16 0 15dfm r 5.7.2 离散样本分布拟合检验(2)问题的右侧2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验25H0:pj=1/6，j=16H1:pj不全相等不全相等 因p值0.0113小于0.05，故否定H0，0.05水平上认定骰子有缺限不公正22121 6 0 1 51

13、14.80.0113mjdfjjdfdfm rnpPnnpP 步骤步骤5：做出决策5.7.2 离散样本分布拟合检验(2)问题的右侧2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验26 222220.052160 15;0.05511.071dfdfdfdfmrWdf H0:pj=1/6，j=16H1:pj不全相等不全相等 因 2值14.8在拒绝域内，故0.05水平上否定H0，认定骰子有缺限不公正步骤步骤5：5.7.2 离散样本分布拟合检验(2)问题的右侧2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验275.7.3 连续样本分布拟合检验Chi-square test based

14、 continuous samples5.7 分布拟合2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验28：为搞清产品的重量(kg)分布，某企业质检部门抽样检测了将要出厂的49台电冰箱的重量，试依据样本检验电冰箱的重量是否服从正态分布。样本数据、格式化分组及频率分布等详见后续的表格。：检验电冰箱重量是否为正态分布，可归结为检验样本频率分布与正态概率密度的拟合优度(逼近程度的显著性)。(1)案例资料5.7.3 连续样本分布拟合检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验2961.5 49.0 47.1 59.0 51.2 42.2 53.755.6 45.2 48.6 50.7

15、 54.1 40.3 57.161.6 51.6 50.1 54.1 38.8 47.1 55.360.7 50.7 42.8 50.8 43.6 50.0 53.151.7 49.8 52.6 45.8 42.5 46.7 55.947.0 51.7 51.1 61.0 46.0 48.3 43.846.7 55.5 47.9 43.9 52.6 51.5 63.0电冰箱重量检测样本(参见实验1)5.7.3 连续样本分布拟合检验(1)案例资料2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验30(2)问题的右侧 2 2检验组序12345组区间(-,41)41,45)45,49)49,53)5

16、3,57)组中值3943475155频数2612148累积频数28203442频率0.04080.12240.24490.28570.1633累积频率0.04080.16320.40810.69380.8571电冰箱重量的频数频率分布表步骤步骤1：样本的数据分组和频数分布统计5.7.3 连续样本分布拟合检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验31：将问题表述为下面的统计假设H0:总体X是正态分布H1:总体X是非正态分布 xxFHxxFH:10或5.7.3 连续样本分布拟合检验(2)问题的右侧 2 2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验32222222480.6;

17、127192.18112480.650.6245491127192.182480.6 49149 133.6056xxxxnxxnsn25.7970ss步骤步骤3：确定H0下拟合函数F0(x)的表达式5.7.3 连续样本分布拟合检验(2)问题的右侧 2 2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验33步骤步骤3：确定H0下拟合函数F0(x)的表达式用极大似然估计或无偏估计确定参数和2 050.62455.7970 xxFx 50.62455.7970 xs步骤步骤4：计算H0下样本分组的组概率pj,50.624550.62455.79705.7970j upj lowjxxp 5.

18、7.3 连续样本分布拟合检验(2)问题的右侧 2 2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验34电冰箱重量频数分布表和组概率计算步骤步骤4：计算H0下样本分组的组概率pj组序12345组区间(-,41)41,45)45,49)49,53)53,57)组中值3943475155频数2612148pj0.04840.11750.22370.26940.2053nj2/pj82.5908306.3020643.7554727.6329311.78125.7.3 连续样本分布拟合检验(2)问题的右侧 2 2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验35步骤步骤5：计算H0下P

19、earson 2统计量的观察值2721112478.676949491.5852jdfjjnnnp5.7.3 连续样本分布拟合检验(2)问题的右侧 2 2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验36步骤步骤6：计算零假设H0下发生抽样观测事抽样观测事件件的概率p2212172 1411.58520.8114mjdfjjdfdfm rnpPnnpP 5.7.3 连续样本分布拟合检验(2)问题的右侧 2 2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验3722121.58520.8114mjjdfjjdfnnppPnpPp值愈大就拟合的愈好，或拟合优度愈高5.7.3 连续样本

20、分布拟合检验(2)问题的右侧 2 2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验38因p值0.8114大于0.05，故0.05水平上不能否定H0，认定电冰箱重量服从正态分布272 141.58520.8114dfdfpP xxFHxxFH:10步骤步骤7：做出决策5.7.3 连续样本分布拟合检验(2)问题的右侧 2 2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验39 xxFHxxFH:10步骤步骤7：做出决策 222220.05272 1449.488dfdfdfdfWdf 因 2统计量值1.5852不在拒绝域内，故0.05水平上不能否定H0，认定电冰箱重量服从正态分布5.

21、7.3 连续样本分布拟合检验(2)问题的右侧 2 2检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验40 电冰箱的制造重量服从正态分布符合一般常识。但如果存在下述问题，也可能做出否定H0的结论：(1)电冰箱组件加工重量不稳定，波动较大；(2)重量检测过程中存在较大的人为误差和仪器误差；(3)存在异常数据记录或错误记录；(4)电冰箱重量本身分散性较大，样本容量较小，统计量计算又有缺限，检验不出服从何分布，存在所谓的被误差淹没的问题。(3)进一步的讨论5.7.3 连续样本分布拟合检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验415.7.4 注意事项Notices 5.7 分布拟合2检

22、验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验42 2统计量自由度的计算公式为df=m-r-1，其中m是分组数，r是确定拟合函数时需要估计的分布参数的个数。若没有用样本数据估计分布参数，则r=05.7.4 注意事项(1)自由度df的计算2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验43因为Pearson 2统计量是近似服从自由度为m-r-1的 2分布，故样本容量n不能选的太小，样本容量n愈大则所计算的p值愈精确，决策结论愈可靠。mjjjjmjjjjnpnpnpnnpn121225.7.4 注意事项(2)样本容量n的选择2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验44样本分组有相

23、当大的任意性，它对检验结果有很大影响。若分组数过小或组区间分割过宽，局部统计结果就会太粗，呈现的分布特征较弱，不利于鉴别频数分布与假设分布的差别；若分组数过大或组区间分割过窄，组频数的统计结果就会不稳定，未能充分呈现频数分布的统计特征。(3)样本的合理分组221mjjjjnnppn5.7.4 注意事项2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验45若分组合理情况下仍存在概率过小的组，则该组的期望频数也小，从而使该组的频率偏差nj/n-pj在Pearson 2统计量中的权数n/pj反而很大，导致该局部的统计量值过分大，它对Pearson 2统计量总值的影响份额与它自身的重要性不相称；需按n

24、pj5规则，并重新计算抽样观测事件的概率，以使检验更可靠。(4)期望频数过小问题221mjjjjnnppn5.7.4 注意事项2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验46电冰箱重量频数分布表和组概率计算组序12345组区间(-,41)41,45)45,49)49,53)53,57)组中值3943475155频数2612148pj0.048430.117530.223690.269370.20527npj2.373155.7590210.9606913.1989610.05834按npj5规则重算统计量值5.7.4 注意事项(5)样本并组后的分布拟合检验2022-10-21王玉顺：数理

25、统计05_假设检验47电冰箱重量频数分布表和组概率计算组序12345组区间(-,41)41,45)45,49)49,53)53,57)组中值3943475155频数812148pj0.165960.223690.269370.20527npj8.1321710.9606913.1989610.058345.7.4 注意事项按npj5规则重算统计量值(5)样本并组后的分布拟合检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验48电冰箱重量频数分布表和组概率计算组序12345组区间(-,41)41,45)45,49)49,53)53,57)组中值3943475155频数812148pj0.16

26、5960.223690.269370.20527nj2/pj385.63551643.74804727.62371311.784485.7.4 注意事项按npj5规则重算统计量值(5)样本并组后的分布拟合检验5212429.85942jjjnp2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验49计算H0下Pearson 2统计量的观察值2521112429.8594249490.58897jdfjjnnnp2512429.85942jjjnp5.7.4 注意事项(5)样本并组后的分布拟合检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验50计算零假设H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概

27、率p221215 2 1210.588970.7449mjdfjjdfdfm rnpPnnpP 5.7.4 注意事项(5)样本并组后的分布拟合检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验51确定H0下右方 2检验的拒绝域2222122152 12115.991mjdfjjmjdfjjdfnWndfnpnnnp 220.0525.991df5.7.4 注意事项(5)样本并组后的分布拟合检验2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验52决策和结论 因 2统计量的观察值0.58897接受H0决策规则5 假设检验(1)均值Z检验0000001010101212H:H:H:H:H:H:

28、2 min,pp ppppp2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验565 假设检验(1)均值Z检验0002100001000010:ZZZHxWzHnHxWzHnHxWzHn 00HZxzWn若就否定2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验575 假设检验(2)均值差Z检验适用于检验方差已知两正态总体均值差假设22121212xyznnP ZzpP Zzp2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验58p否定H0p接受H0决策规则(2)均值差Z检验5 假设检验22112212;xyznnP Zzp P Zzp0120120121121121121212H:H:H:H

29、:H:H:2 min,pp ppppp 2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验592212120122112012112012112:;:;:ZZZxyznnHWzzHHWzzHHWzzH 5 假设检验(2)均值差Z检验0HZzW若就否定2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验605 假设检验(3)均值t检验适用于检验方差未知单正态总体的均值假设0121dfdfdfnxtsnP TtpP Ttp2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验61(3)均值t检验0012;dfdfxxP Tp P Tpsnsnp否定H0p接受H0决策规则5 假设检验00000010101

30、01212H:H:H:H:H:H:2 min,pp ppppp2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验62(3)均值t检验5 假设检验0002100001000010:;:;:;:tttHxWtdfHsnHxWtdfHsnHxWtdfHsn 00HtxtWsn若就否定1dfn2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验635 假设检验(4)均值差t检验适用于检验方差未知两正态总体均值差假设1221212211wdfdfdfnnxytsnnP TtpP Ttp2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验64(4)均值差t检验p否定H0p接受H0决策规则5 假设检验12212

31、;11dfdfwP TtpxytP Ttpsnn122dfnn0120120121121121121212H:H:H:H:H:H:2 min,pp ppppp 2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验65(4)均值差t检验5 假设检验0HttW若 值就否定122120122112012112012112;211:;:;:;:wtttxytdfnnsnnHWttdfHHWttdfHHWttdfH 2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验665 假设检验(5)方差 2检验适用于检验单正态总体的方差假设222022120222201;111dfdfnsdfnnsPpnsPp202

32、2-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验67222212220011;dfdfnsnsPp Ppp否定H0p接受H0决策规则5 假设检验(5)方差 2检验122 min,pp p 1pp2pp22002210:HH22002210:HH22002210:HH2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验6822222202222220012222102222001221022220022101;1:;:;:;:nsdfnHWdfdfHHWdfHHWdfH5 假设检验(5)方差 2检验220HW若就否定2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验695 假设检验(6)方差比F检验1

33、2122212,12212,22212112211df dfdf dfssP FpssP Fpssfdfndfn适用于检验两正态总体的方差比假设2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验70122 min,pp p 1pp2ppp否定H0p接受H0决策规则5 假设检验2201222112:HH 2201222112:HH2201222112:HH(6)方差比F检验121222221212,1,2;df dfdf dfssssP Fp P Fp2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验712212112222012121221222112222201212112221122222

34、012121222112;1;1:;,:;,:;,:FFFs sfdfndfnHWfFdf dffFdf dfHHs sWFdf dfHHs sWF df dfH 5 假设检验(6)方差比F检验22120HFssfW若就否定2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验72(7)2 2分布拟合检验5 假设检验H0:f(x)=f0(x)H1:f(x)f0(x)决策规则p否定H0p接受H0221221111mjjjmjdfjjdfm rnnnpnpPnnp 2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验73(7)2 2分布拟合检验H0:f(x)=f0(x)H1:f(x)f0(x)5 假设检验Pearson 2统计量的值在拒绝域内就拒绝H02221221111mjjjmjjjnn dfmrnpnWndfnp;2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验74课堂小测验总体X和Y的方差相同，从其中抽得两独立样本且其均值、校正平方和及容量用下述符号表示xxyyXSSnYSSn5 假设检验写出各统计量的表达式并证明原假设H0的拒绝域为2112xyxyxyxyXYtnnSSSSnnnn01:xyxyHH假设2022-10-21王玉顺：数理统计05_假设检验75结束结束5 假设检验