清北学堂济南班邹明数一讲义

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1、关于代数、数论中的存在性问题（2010年2月寒假） 邹明一.关于代数中的存在性问题。是否存在这样的正整数等比数列:仅5项其和为21？请说明理由。2.(）设实数x，y,z都不等于1,满足xy=1。求证:（b）证明：存在无穷多组三元有理数组(x，y，z）， x，z都不等于1，且xz=，使得上述不等式等号成立。3是否存在这样的三角形：三边长皆为有理数，且有一内角的度数也是有理数？若存在,求出该内角度数的所有可能值；若不存在，请说明理由。4.设k是一个不小于3的正整数,是一个实数,如果cs和cs都是有理数.证明：存在正整数n，使得cos和co都是有理数.5.设,且s，co均为有理。求证：存在满足：(）

2、;（） sin1, in, os1,co均为有理.设M为整数集Z的一个含0的有限子集，又设f，g:M为两个单调减函数，且满足g（f（0）).求证：在M中存在整数使得（f()）=7。是否存在最小的实常数,使得c(x+z）4x3y+y3z+z3+x3+3z3对于所有的非负实数，y,z恒成立？，若存在求c的最小值，若不存在，请明理由.设ak，k1，208证明：当且仅当时，存在数列x满足以下条件:()0x0xn k，有证明：数列中有无穷多项是素数.题.设复数a，c满足：对任意z1的复数z，都有az2+bz+c|1,求c|的最大值。题.设m,n是给定的大于1的整数,aa2都是正整数证明：存在整数集的一个子集T，其元素个数T，且对每个i1,2，,m，都有及s-n,n,使得ai=t+s题6设a1，2，a3,b,b,b3为互不相同的正整数，满足（n+)a1nna2n+(n1）an|（n1）b1n+nb2（n-1)3对任何正整数n成立。求证：存在正整数，使得i=kai，其中1,2，.文中如有不足，请您指教！5 / 5