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1、用三角形奠定法构造一类动圆圆心的轨迹浙江省泰顺县第一中学 谢逢楷加涅的教育心理学理论认为，要导致有效的学习，要考虑注意学习者外部的刺激情境，外部事件能以各种形式影响学习者的内部过程，有些外部事件对学习起支持作用。即应充分考虑何种事件提供这种支持，引起将导致迅速和无障碍的学习的种种内部过程。动圆圆心的轨迹是中学数学研究的一个重点，但动圆圆心的几何构造在实际教学中却较难实现，影响着学习者的习得，本文谈谈在“几何画板”下用三角形奠定法加以构造的方法。一、过两定点的动圆圆心的轨迹构造步骤第一步，构造两定点A、B，连结AB；第二步，构造辅助圆A，在圆周上取一点C，构造射线AC；第三步，依次选中点C、A、
2、B，单击“变换标记角度”。双击点B，选中点A，单击“变换旋转”，得点A，构造射线BA，画射线AC、BA的交点O。画以O为圆心，过点A的圆；第四步，依次选中点C、O，单击“构造轨迹”，即得过两定点A、B的动圆圆心O的轨迹l（如图1）。构造分析众所周知，过两定点A、B的动圆圆心O的轨迹是线段AB的中垂线，而用尺规法画AB的中垂线的关键在于等腰三角形ABO顶点O的确定。我们利用几何画板强大的作图功能，通过作A=B，得到了等腰三角形ABO，从而确定了点O的位置。二、与两定圆相切的动圆圆心的轨迹 构造步骤（以动圆与两外离定圆外切为例）第一步，构造线段AB、CD（ABCD），及两定点O1、O2（O1、O2
3、AB+CD）；第二步，分别选中O1和线段AB、O2和线段CD构造两个圆；第三步，在O2上画点E，画射线O2E；依次选中O2、E，单击“变换标记向量”。选中点O1，单击“变换平移”，得点E，构造射线O1E，画射线O1E与O1的交点F。第四步，画直线EF交O1于点G，画射线O1G交射线O2E于点O；第五步，依次选中点E、O，单击“构造轨迹”，即得与两定圆切于点E、G的动圆圆心O的轨迹C（如图2）。构造分析由两圆相切的相关知识我们知道，一是两圆的连心线过切点，二是动圆与两定圆相切的切点到圆心的距离相等。在实际构造时，利用平行线及圆的性质，画等腰三角形O1FG，进而得到OE=OF（其中E、F为切点，O
4、为圆心），从而满足了两个条件。另外，第三步中通过“标记向量”的方法构造射线O1E的目的是为了保证射线O1E与射线O2E同向，若射线O1E与射线O2E反向，则射线O1G将与射线O2E的反向延长线交于点O，O与O2内切于点E。因此，要顺利构造与两定圆相切的动圆圆心的轨迹，还得根据所给的条件，恰当地选择射线O1E与射线O2E的关系（同向或反向）。构造应用借助上述的构造，使求与已知两定圆相切的动圆圆心的轨迹方程的的问题变得直观、形象，这样让学生直观地感知轨迹是圆锥曲线（或一部份），导致迅速解决问题的思维过程（为什么求、如何求焦距和实轴长）的形成。三、与一定直线、一定圆相切的动圆圆心的轨迹构造步骤（以定
5、直线与定圆外离、动圆与定圆外切为例）第一步，构造直线j，及定圆O1；第二步，在直线j上画点A，选中直线j、O1、A，单击“构造垂线”，得直线k、l。第三步，画直线l与O1的交点B（位于直线j和圆心O1同侧），画直线AB交O1于点C，画射线O1C交直线k于点O；第四步，依次选中点A、O，单击“构造轨迹”，即得分别与定直线切于点A、与定圆切于点C的动圆圆心O的轨迹C（如图3）。构造分析由线圆、圆圆相切的相关知识我们知道，一是过切点的直径垂直于已知直线，二是两圆的连心线过切点，三是动圆与两定圆相切的切点到圆心的距离相等。在实际构造时，我们过点A，O1作j的垂线，利用垂直线及圆的性质，画等腰三角形O1
6、BC，进而得到OA=OC（其中A、C为切点，O为圆心），从而满足了三个条件。另外，第三步中若交点B位于直线j和圆心O1之间，则O与O2内切于点C。四、过定点且与一定直线相切的动圆圆心的轨迹构造步骤第一步，构造直线j，及定点A；第二步，在直线j上画点B，选中直线j、A、B，单击“构造垂线”，得直线k、l。第三步，画线段AB，双击线段AB，选中直线l，单击“变换反射”，得直线l，画直线l与k的交点O；第四步，依次选中点B、O，单击“构造轨迹”，即得过定点A且与定直线j切于B动圆圆心O的轨迹C（如图4）。构造分析由线圆相切的相关知识我们知道，一是过切点的直径垂直于已知直线，二是动圆圆心到切点、定点距离相等。在实际构造时，我们过j上的点B作j的垂线，从而满足了第一个条件；利用画垂线l关于线段AB的对称直线l，得到等腰三角形OAB（其中B为切点，O为圆心），从而满足了第二个条件。构造应用借助上述的构造，我们可以创设抛物线概念的实验情境。在这样的情境中，不但使学生能迅速地认识到抛物线是平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹，而且让学生体会了参数即定点到定直线的距离决定了抛物线的开口，进而为通径的定义提供了实践的依据。总之，通过“几何画板”在课堂教学的恰当使用，改进了数学教材的呈现方式，优化了学习者外部的刺激情境，有利于导致学习者有效的学习。
用三角形奠定法构造一类动圆圆心轨迹(谢逢楷)
