物理复习--临界与极值问题

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1、专题 临界与极值问题概述：在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。在解决极值问题时，常碰到所求物理量，物理过程或物理状态的极值与某一临界值有关，所以我们首先可以考虑用临界法求解极值，其次才是数学方法，比如运用三角函数、配方、不等式、图象、等效法和归纳法求极值，尽管运用数学方法求解物理学中的极值问题有其独到的功能，但决不能让数学方法掩盖住事物的物理实质。教学过程：一、知识概要1竖直平面内作圆周运动的临界问题在高考复习阶段，经常会遇到一类专门研究物体在竖直平面内作圆周运动的临界问题的题目。遇

2、到这类题目，学生大多把分析的着眼点放在了小球过最高点时的受力和运动状况，认为只要保证小球在最高点能作圆周运动，就一定能保证小球在竖直平面内作完整的圆周运动。如图甲、乙所示，小球到达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）若刚好等于零，则小球的重力提供其作圆周运动所需要的向心力，即小球能过最高点的条件是：vv临界（vv临界时，绳、轨道分别对小球产生拉力或压力）。小球不能通过最高点的条件是：vv临界（实际上小球还没有到达最高点就脱离了圆轨道）。事实上在某些情况下，我们不能只盯着最高点，而要队小球作全面地、动态的分析，目的就是找出小球最不容易完成圆周运动的关键点，只要保证小球在这一点上恰能作圆周运动，就能

3、保证他在竖直平面内作完整的圆周运动，如此这类临界问题得以根本解决。这一关键点并非总是最高点，也可以是最低点，或其他任何位置。2极值法常见的极值问题有两类：一类是直接指明某量有极值而要求某极值；另一类则是通过求出某量的极值，进而以此作为依据而解出与之相关的问题。物理极值问题的两种典型解法：解法一是根据问题所给的物理现象涉及的物理概念和规律进行分析，明确题中的物理量是在什么条件下取极值，或在出现极值时有何物理特征，然后根据这些条件或特征去寻找极值，这种方法更为突出了问题的物理本质，这种解法称之为解极值问题的物理方法；解法二是由物理问题所遵循的物理规律建立方程，然后根据这些方程进行数学推演，在推演中

4、利用数学中已有的有关极值求法的结论而得到所求的极值，这种方法较侧重于数学的推演，这种方法称之为极值问题的物理数学方法。二、考题回顾1在如图所示的电路中，R1、R2、R3和R4皆为定值电阻，R5为可变电阻，电源的电动势为E，内阻为r。设电流表A的读数为I，电压表V的读数为U。当R5的滑动触点向图中a端移动时（ ）AI 变大，U变小 BI 变大，U变大CI 变小，U变大 DI 变小，U变小【解析】由图易知R5的滑动触点向a端移动时R5有效电阻单调变小，引起电路中各量的变化也是单调的。设滑动触点到达a点，则R5被短路，（极值法），并联部分等效于一根导线，则外电阻变小，路端电压U变小，从而可排除选项B

5、、C。电流表所在支路被短路，则电流表读数减至零也是变小的，所以应选选项D。2在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d。如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为 （）Adv2/ B0 Cdv1/v2 Ddv2/v1【解析】当水流速度v1=0（极限）时，摩托艇登陆的地点是O点，也就是离O点距离为零，此时用时最短，只有C选项正确。点评：当某一个物理量趋近于零时，所判断的物理量就趋近于一个不变的值，这是应用极限法的一个特征。同时由以上两例，说明了用极限法思考使解答

6、问题变得极为简捷。但请注意，极限思维法在回避了对物理问题的繁琐运算的同时，也回避了物理问题中对一些物理规律的考查，所以，在应用极限法的同时，还应对物理过程进行分析，并应用要考查的物理规律，最后得出的结果应与极限法得出的结果一致。 a b S 3如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的放射源S，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是v=3.0106m/s，已知粒子的电荷与质量之比C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的粒子，求ab上被粒子打中的区域的长度。解：粒子带正电

7、，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有 由此得代入数值得R=10cm可见，2RlR.因朝不同方向发射的粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是粒子能打中的左侧最远点.为定出P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1. 再考虑N的右侧。任何粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点.由图中几何关系得 所求长度为 代入数值得 P1P2=20cm 三、解题方法与技巧：1关

8、于物体在竖直平面内作圆周运动的临界问题的解题方法是：掌握原理，具体分析，统观全局，抓住要害。物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点的最小合力。由可知，不同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度。同时，在具体的问题中，要分清绳（或沿圆环内侧运动）与杆（或管）的区别。即绳对球只能提供拉力且绳对球的拉力方向只能沿绳指向圆心。因此，在绳的约束下物体能在竖直面内作圆周运动的条件是最高点速度；而杆对球即可能是拉力也可能是压力。在杆（或管）约束下能在竖直面内作圆周运动的条件是最高点速度v0。2.极限类推法解决问题的关键是如何对物理过程初状态和极限状态巧妙的赋值。或对转折点的取值。取值既要遵循客观事实

9、，又要使问题简化，使状态变化趋势明朗化。四、典题例析【例题1】如图所示，质量M4kg的木板长L1.4m，静止在光滑水平面上，其上面右端静止一质量m=1kg的小滑块（可看作质点），滑块与木板间的动摩擦因数0.4，先用一水平恒力F28N向右拉木板，要使滑块从木板上恰好滑下来，力F至少应作用多长时间（g=10m/s2）？【解析】题中木板在恒力F的作用下由静止开始向右加速运动，滑块受摩擦力作用相对地面也向右滑动，因为amf/m=g=4m/s2，aM=（F-f）/M=6m/s2。即木板的加速度大于滑块的加速度。所以在力F作用时间内的任意时刻木板的速度必大于滑块的速度，若力F作用停止后，当两者的速度恰好能

10、够相等并且滑块到达下滑的临界状态，这时滑块相对于木板的位移为L，则力F作用在木板上的时间就是最短时间，设木板在力F作用期间的位移为sM，通过上述物理过程的分析可知，要使滑块滑下来，其临界条件是vM=vm=v，且滑块的相对位移sM=L，明确这些条件后，求极值就不难了，对由M和m组成的系统有：由动量定理得：由功能关系得：对木板有由、式，得s点评： 对于临界条件不明显的物理极值问题，解题的关键在于通过对物理过程的分析，使隐蔽的临界条件暴露，从而找到解题的突破口，根据有关规律求出极值。【例题3】 将质量为2m的长木板静止的放在光滑的水平面上，如图甲所示。以质量为m的小铅块（可视为质点）以水平初速度v0

11、由木板左端恰能滑至木板的右端与木板相对静止，铅块运动中所受的摩擦力始终不变。现在将木板分成长度与质量均相等的两段（1、2）后紧挨着仍放在此水平面上，让小铅块仍以相同的速度v0由木板的左端开始滑动，如图乙所示，则下列判断正确的是A小铅块仍滑到木板2的右端保持相对静止B小铅块滑过木板2的右端后飞离木板C小铅块滑过木板2的右端前就与之保持相对静止D乙过程产生的热量少于甲过程产生的热量【解析】 小铅块在木板上滑动时，由于水平面是光滑的，小铅块和木板组成的系统在水平方向上动量守恒，木板的质量越大，小铅块在木板上滑动的距离越长，若是木板的质量无穷大，则铅块最终的速度为零，其动能全部转化为热，没有动能转移到

12、长木板上，这说明了长木板的质量越大，获得的动能越小；质量越小，获得的动能越大。在乙图中小铅块在木板1上运动时的情况与甲图中的情况完全相同，小铅块滑上木板2之后，由于木板2的质量变小，动能转移到木板2上多于转移到甲中的情况，那么小铅块与木板2相对静止时的速度比甲中的大，系统损失的动能小于甲中损失的动能。而E损Qfs相对，说明在乙中的相对位移比甲中的小，故小铅块会滑到木板2的右端前就与之保持相对静止，乙过程产生的热量少于甲过程产生的热量。选项C、D正确。点拨：此类问题在日常生活中经常遇到：人站在岸上向船上跳容易，而从船上向岸上跳就比较困难，船的质量越大，越容易跳到岸上，其原理与本题是一致的。五、课

13、后作业：1、如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的34，圆滑半径为R，斜面倾角为，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？答案：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图所示。可知F1.25mg，方向与竖直方向左偏下37，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。由圆周运动知识得：即：由动能定理有：联立、可求出此时的高度h。2、如图所示，质量为m的球放在倾角为的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角多大时，A O所受压力最小？命题意图：考查分析推理能力及运用数学知识处理物理问题的能力。答案：解题方法与技巧：以球为研究对象，球所受重力mg产生的效果有两个：对斜面产生了压力FN1，对挡板产生了压力FN2，根据重力产生的效果将重力分解，如图所示，当挡板与斜面的夹角由图示位置变化时，FN1大小改变，但方向不变，始终与斜面垂直；FN2的大小、方向均改变（图中画出的一系列虚线表示变化的FN2）.由图可看出，当FN2与FN1垂直即=90时，挡板AO所受压力最小，最小压力FN2min=mgsin.5