《高等数学》教学课件：高等数学下学期

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1、高等高等数学数学 第二学期第二学期u 第四章第四章 不定积分不定积分u 第五章第五章 定积分及应用定积分及应用u 第六章第六章 微分方程微分方程积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、第四章一、第四章 主要内容主要内容1 1、原函数、原函数 如如果果在在区区间间I内内，可可导导函函数数)(xF的的导导函函数数为为)(xf，即即Ix ，都都 有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()(，那那么么函函数数)

2、(xF就就称称为为)(xf或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数.定义定义原函数存在定理原函数存在定理 如果函数如果函数)(xf在区间在区间I内连续，那内连续，那么在区间么在区间I内存在可导函数内存在可导函数)(xF，使，使Ix ，都有，都有)()(xfxF .即：即：2 2、不定积分、不定积分(1)定义定义 在区间在区间I内，函数内，函数)(xf的带有任意常数项的带有任意常数项的原函数称为的原函数称为)(xf在区间在区间I内的内的不定积分不定积分，记，记为为 dxxf)(CxFdxxf )()(函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.dxxg

3、xf)()(10 dxxgdxxf)()(2)微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常数数，)0 k(3)不定积分的性质不定积分的性质()()df x dxf xdx()()df x dxf x dx()()F x dxF xC()()dF xF xC3 3、基本积分表、基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 Cxdxx(3)lndxxCx dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)1

4、0(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8(xdx2secCx tan xdx2sin)9(xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16(Cxxdxsinlncot)17(Cxxxdx)tanln(secsec)18(Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx s

5、h)14(xdxch xdxCx ch)15(sh5 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法定理定理 1 设设)(uf具有原函数，具有原函数，)(xu 可导，可导，则有换元公式则有换元公式 dxxxf)()()()(xuduuf 第一类换元公式（第一类换元公式（）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx常见类型常见类型:;sec)(tan.72xdxxf;1)

6、(arctan.82dxxxf 6 6、第二类换元法、第二类换元法定理定理 设设)(tx 是单调的、可导的函数，并是单调的、可导的函数，并且且0)(t，又设，又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，则有换元公式则有换元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函数的反函数.第二类换元公式第二类换元公式常用代换常用代换:.,)(.1Rbatx .sin,)(.222taxxaxf 令令如如三角函数代换三角函数代换.tx.13令令倒置代换倒置代换4 4、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 5.5.选择选择u

7、 u的有效方法的有效方法:LIATELIATE选择法选择法L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数；A-代数函数；代数函数；T-三角函数；三角函数；E-指数函数；指数函数；哪哪个在前哪个选作个在前哪个选作u.6 6、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其中其中m、n都是非负整数；都是非负整数；naaa,10及及mbbb,10都是实数，并且都是实数，并且00 a，00 b.真分式化为部分分式之和的真

8、分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （2）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR（3）简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：),(nbaxxR),(necxbaxxR 解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号;necxbaxt 令令;nbaxt 令令例例

9、1 1解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原式原式xxxxarctan)ln(1(121222dxxxx1)1ln(21222 二、典型例题二、典型例题例例2 2解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx C.23)ln(123)ln(1(1arctan212222xxxxxxx例例3 3解解 dxxf

10、xfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 二、第五章二、第五章 主要内容主要内容1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的

11、面积A）iniixfA )(lim10 曲曲边边梯梯形形 由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)(xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所所围围成成.实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）iniitvs )(lim10 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时间是时间间隔间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)(tv，求，求物体在这段时间内所经过的路程物体在这段时间内所经过的路程 S.方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.2 2、定积分的定义、定积分的定义设函数设函数)(xf在在,ba上有界，上有界，在

12、在,ba中任意中任意若干若干个分点若干若干个分点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点i（iix ），），定义定义,12110nnxxxxxx 怎怎样样的的分分法法，baIdxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和S总总趋趋于于确定的极限确定的极限I，在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，记为记为记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba我们称这

13、个极限我们称这个极限I为函数为函数)(xf作作乘乘积积iixf)(),2,1(i点点i 怎怎样样并作和并作和iinixfS )(1，可积的两个可积的两个条件：条件：当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1定理定理2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且只有有限个间断点，则且只有有限个间断点，则)(xf在区间在区间,ba上可积上可积.3 3、存在定理、存在定理4 4、定积分的性质、定积分的性质 badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(性质性质1 babadxxfkdxxkf)()(k为常数为

14、常数)性质性质2 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(假假设设bca 性质性质3 则则0)(dxxfba )(ba 性质性质5如果在区间如果在区间,ba上上0)(xf，推论：推论：则则dxxfba)(dxxgba )()(ba 如果在区间如果在区间,ba上上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性质性质4如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点，使使dxxfba)()(abf )(ba 性质性质7(定积分中值定理定积分中值定理)设设M及

15、及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abMdxxfabmba .)(xf在在区区间间,ba性质性质6上上的的最最大大值值及及最最小小值值，积分中值公式积分中值公式5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理）如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba

16、上上的的一一个个原原函函数数.定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如果如果)(xF是连续函数是连续函数)(xf在区间在区间,ba上的一个原函数，则上的一个原函数，则 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函数在区间它的任一原函数在区间上的定积分等于上的定积分等于一个连续函数在区间一个连续函数在区间表明表明baba6 6、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式

17、bababavduuvudv、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)(babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散.bdxxf)(baadxxf)(lim(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxxf)(badxxf )(lim0当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散.badxxf)(badxxf)(lim0 badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(

18、lim0 bcdxxf )(lim0例例1 1解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 则则 62)sincos(cosdtttt原式原式 262sincosdtttxt02ln26 2626sinsintdttdt.23)32ln(二、典型例题二、典型例题例例2 2.)1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln2123ln23例例3 3.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函数是偶函数,dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx.2ln232