有效数字及误差计算

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1、有效数字及误差计算一、测量所谓测量，就是被测量的物理量和选为标准的同类量（即，单位）进行比较，确定出它是标准量的多少倍。如：测量一本书的长度，将书与米尺进行比较，书的长度是米尺的18.85，则书的长度为0.1885m。测量结果的数值大小和选择的单位密切相关。同样一个量，测量时选择的单位越小，测量结果数值就越大，所以任何测量结果都必须标明单位如273.15K，3.0108m/s等等。二、测量分类根据获得数据的方法不同，测量可分为直接测量和间接测量两类。1直接测量直接测量：使用量具或仪表等标准量具经过比较可直接读数获取数据。相应测得量称为直接测量量。如：米尺测量长度、温度计测量温度、天平测量质量等

2、等。2间接测量间接测量：不能直接测量出结果，而必须先直接测量与它有关的一些物理量，然后利用函数关系而获取被测量数据的测量相应的测得量就是间接测量量。如：物质的密度、物体运动的速度、物体的体积等等。三、有效数字测量的结果因所用单位不同而不同，但在某一单位（量具）下，表示该测量值的数值位数不应随意取位，而是要用有确定意义的表示法。图1用毫米尺测量工件的长度如图1是用毫米尺测量一段工件长度的示意图。此工件的长度介于13mm和14mm之间，其右端点超过13mm刻度线处，估计为6/10格，即工件的长度为13.6mm。从获得结果看，前两位13是直接读出，称为可靠数字，而最末一位0.6mm则是从尺上最小刻度

3、间估计出来的，称为可疑数字（尽管可疑，但还是有一定根据，是有意义的）。定义：由几位可靠数字加上一位可疑数字在内的读数，称为有效数字。如上读数13.6mm共有三位有效数字，这里的第三位数“6”已是估计出来的，因此，用这种规格的尺子不可能测量到以毫米为单位小数点后第2位。注：1、有效数字的多少，表示了测量所能达到的准确程度，这与所用的测量工具有关。2、当被测物理量和测量仪器选定后，测量值的有效数字位数就可以确定了。3、仪器的读数规则测量就要从仪器上读数，读数包括仪器指示的全部有意义的数字和能够估读出来的数字。在测量中，有一些仪器读数是需要估读的，如米尺、螺旋测微计、指针式电表等等。估读时，首先根据

4、最小分格大小、指针的粗细等具体情况确定把最小分格分成几分来估读，通常读到格值的1/10，1/5或1/2。4、有效位数的认定（1）数字中无零的情况和数字间有零的情况：全部给出的数均为有效数。如：56.14mm，50.007mm有效位数分别为四位、五位。（2）对于小数末尾的零：有小数点时，小数点后面的零全部为有效数字。如：50.140mm，2.204500的有效位数分别为五位、七位。（3）对于第一位非零数字左边的零：第一位非零数字左边的零称为无效位零。如：0.05mm，0.00155m有效位数分别为一位、三位。（4）科学计数法：计量单位的不同选择可改变量值的数值，但决不应改变数值的有效位。因此，在

5、变换单位时，为了正确表达出有效位数，实验中常采用科学计数法（10的幂次方）。如： 注：大单位转换小单位或小单位转换大单位时，原数的有效位不变。四、有效数字的运算规则0数值的舍入修约规则（1）确定需要保留的有效数字和位数。（2）舍入后面多余的数字。原则“四舍六入五凑偶”。如 2.71737.6913.142 4.510注：测量结果的不确定度的有效数字，“只进不舍”。如某测量不确定度的计算结果为0.32，结果表示中取0.4（结果表示式中的不确定度取1位有效数）。1加减法运算和差运算的结果，其小数点以后的位数和参与运算各量中小数点位数最少的相同。如： （354.4）（514）2乘除法运算乘除运算结果

6、的有效位数一般和参与乘除运算各量中有效位最少者的位数相同。如注：（1）乘法：若两因子的最高位的积大于或等于10，其结果就要多保留一位有效数字。如：（2）除法：若被除数有效数字的位数小于（等于）除数的有效数字位数，并且它的最高位的数小于除数的最高位的数，其结果的有效数字位数应比被除数少1位。如在以上四则运算中，确定计算结果的有效数取位的原则,概括为：可靠数与可靠数运算的结果仍为可靠数；可靠数与可疑数运算的结果为可疑数；可疑数与可疑数运算的结果仍为可疑数。运算进位的数字是可靠数字。3乘方、开方运算此类运算规则和乘法运算法则相同。如：4三角函数、对数、指数运算（1）对数函数：对数运算结果的有效数字，

7、其小数点后面部分的位数与真数的位数相同。如：若真数的第一位数大于5，运算结果的有效数字可以多取1位。如：（2）指数函数：指数运算结果的有效数字位数与指数的小数点后的位数相同（包括小数点后的0）。如：，由于6.25的小数点后只有2位，则，而当x=0.0000924，小数点后有7位，则。对于的有效数字取法与的取法相同。（3）三角函数：三角函数运算结果的有效位数通常是由角度的有效位数决定的。通过改变角度值的末位的1个单位，由函数值的变化来决定三角函数值的有效数字取位。如：，而，两结果在小数点后第四位产生差别，即5非测量常量的有效位数是无限的（1）自然数是准确的，运算中不考虑它们的位数（或者说有效位数

8、无限）。（2）运算中无理常数（如p，e，等）的位数：*若是手工计算，此类常数有效位比参加运算的各分量中有效位最少者多取一位。*若是计算器，可以直接利用计算器相应的“键”。 五、测量误差的基本概念测量的目的是为了得到测量结果，但在许多场合下仅给出测量结果往往还不充分。任何测量都存在缺陷，所有的测量结果都会或多或少地偏离被测量的真值，因此在给出测量结果的同时，还必须同时指出所给测量结果的可靠程度。在各种测量领域，经常采用诸如测量误差、测量准确度和测量不确定度等术语来表示测量结果质量的好坏。附：真值，是指在一定条件下，任何物理量的大小都是客观存在的，不以人的意志为转移的客观量值。1测量误差的定义测量

9、误差常常简称为误差（）：测量值（x）减去被测量的真值（a）。注：(1)由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。严格意义上的误差也无法得到，因而得到的只是误差的估计值。（2）误差只有通过测量才能得到。通过误差分析所得到的测量结果的所谓“误差”，实际上并不是真正的误差，而是被测量不能确定的范围。测量误差的大小反映了测量结果的准确程度。测量误差可以用绝对误差、相对误差、百分误差表示。绝对误差测量量值真值附：最佳值，是指测量结果中的报告值。如直接多次测量中的平均值。2系统误差和随机误差误差可以分为系统误差和随机误差两类。系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真

10、值之差。注：（1）由于真值不确定，则能确定的只是系统误差估计值。（2）对测量仪器而言，其系统误差也称为测量仪器的偏差。（3）在重复性条件下得到的不同测量结果应该具有相同的系统误差。（4）系统误差可以通过对测量结果进行修正而消除。随机误差：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。注：（1）随机误差等于误差减去系统误差。测量结果为无限多次测量结果的平均值，根据随机误差的性质（对称性、抵偿性）可知，随机误差为零。只存在系统误差。实际测量只能进行有限次数，测量结果中随机误差和系统误差分量都存在。在重复性条件下得到的不同测量结果具有不同的随机误差，但有相同的系统误差。

11、根据定义，误差、系统误差和随机误差均表示两个量值之差，因此随机误差和系统误差也都应该具有确定的符号，同样也不应当以“”号的形式出现。由于随机误差和系统误差都是对应于无限多次测量的理想概念，而实际上无法进行无限多次测量，只能用有限次测量的结果作为无限多次测量结果的估计值，因此可以确定的只是随机误差和系统误差的估计值。附：随机误差的性质，单峰性、对称性、有界性、抵偿性。3随机误差的处理根据随机误差的分布特征，可知：（1）在多次测量时，正负随机误差常可以大致相消，因而用多次测量的算术平均值表示测量结果可以减少随机误差的影响；（2）测量值的分散程度直接体现随机误差的大小，测量值越分散，测量的随机误差就

12、越大，因此必须对测量的随机误差做出估计才能表示出测量的精密度。对随机误差估计的方法有多种，科学实验中，常用标准偏差来估计测量的随机误差。残差、偏差和误差设a为被测量真值，m为总体平均值（无限多次测量结果的平均值），为测量平均值（有限次测量的平均值），为单次测量值。残差：单次测量值与测量平均值之差。 偏差：单次测量值与总体平均值m之差。误差：单次测量值与真值a之差。、和 （总体标准偏差）：注：不是测量值中任何一个具体测量值的随机误差；的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况；（单次测量值的标准偏差，有限次测量时）：贝塞尔公式注：是从有限次测量中计算出来的对总体标准偏差的最佳估

13、计值，称为实验标准误差。（算术平均值的标准误差）：注：l 算术平均值的标准偏差，表征同一被测量量的各个测量列算术平均值分散度，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。l 算术平均值对单次测量的随机误差有一定的抵消，因而更接近真值，它们的随机误差分布离散就会小得多。附：多次测量的最佳值为算术平均值设在一组测量值中，n次测量的值分别为：x1、x2、x3、xn，由统计原理可知，其真值的最佳值x0是能使各次测量值与该值之差的平方和为最小的那个值。即存在x0值使得有最小值。令0则得即，算术平均值最接近于真值。4系统误差的处理（1）系统误差的发现发现系统误差是消除和修正系统误差的前提。1）理论分析法：测量过程

14、中因理论误差公式的近似等原因造成的系统误差常常可以从理论上作出判断并估计其量值，如伏安法测电阻。2）实验比较法：对被测量的测量量采用实验方法对比、测量方法对比、仪器对比及测量条件对比来研究其测量结果的变化规律，从而发现可能存在的系统误差。3）数据分析法：分析多次测量的数据分布规律来发现系统误差。（2）系统误差的减小和修正1）通过公式引入修正值。2）消除系统误差产生的因素。3）改进测量原理和测量方法。六、测量结果的不确定度概念1表征测量结果质量的指标（1）精密度、准确度和精确度精密度、准确度和精确度都是评价测量结果好坏的三个概念，但含义不同。1）精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。即指在规

15、定条件下对被测量进行多次测量时，各次测量结果之间离散的程度。精密度高则离散程度小，随机误差小，但系统误差的大小不明确。 2）准确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。它反应了在规定条件下，多次测量数据的平均值或实验所得结果与真值符合的程度。准确度高即测量结果接近真值的程度好，系统误差小，但数据离散程度，即随机误差的大小不明确。 3）精确度：表示测量结果中系统误差与随机误差综合大小的程度，也就是对测量的精密度和准确度的综合评定。对于实验测量来说，精密度高准确度不一定高；而准确度高精密度也不一定高；只有精密度和准确度都高时，也就是说，只有随机误差和系统误差都小时，精确度才高。图 2精密度、准确度、

16、精确度示意图为了更好地理解这些概念，现以打靶为例来形象地说明。图2（a） 表示弹着点相互之间比较分散，但总体来看没有明显的固定偏向，因而随机误差大，系统误差小，即精密度较低，而准确度较高；图 (b)表示弹着点比较密集，但总体来看偏离耙心较远，因而随机误差小，系统误差大，即精密度较高，而准确度较低；图 (c)表示弹着点比较密集，且总体来看离靶心近，因而随机误差小，系统误差也小，即精密度和准确度都高，这才是精确度高。以上关于测量结果质量评价的几个术语，能够定性地描述测量结果的质量。对测量结果的质量定量描述还得有具体的处理方法。目前国际上采用测量不确定度来定量评定测量结果。2测量不确定度（1）为什么

17、要引入不确定度由于真值一般不可能准确的知道，误差仅是一个理想概念，测量误差也就不可能确切获得。根据现实可行的办法，由实验数据和测量条件推算出来的只能是误差的估计值。将任何一个确定的已知值称为误差是不科学的，因而误差估计值应采用一个专门名称，即测量不确定度。（2）测量不确定度的概念：测量不确定度：表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。注：1）不确定度表示一个区间，即被测量之值可能的分布区间。（测量误差仅是一个差值）为了表征这种分散性，测量不确定度可以用标准偏差，或标准偏差的倍数。2）测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准偏差表征。另

18、一些分量则可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准偏差表征。3）测量结果：它是被测量之值的最佳估计，而所有的不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的分量。被测量之值：它是指许多个测量结果，其中不仅包括通过测量得到的测量结果，还应包括测量中没有得到但又是可能出现的测量结果。（3）测量不确定度的表示1）第一种表示方式标准不确定度：测量不确定度用标准偏差表示。统一规定用小写拉丁字母“u”表示。在正态分布情况下，所对应的置信概率仅为68.27%。2）第二种表示方式扩展不确定度：测量不确定度也可以用标准偏差的倍数k来表示。统一规定用大写拉丁字母U表示。即标准不确定度和扩展不确定

19、度之间的关系为：式中k为包含因子。扩展不确定度U表示具有较大置信概率。附：JJF1059-1999测量不确定度评定与表示规定，除计量学基础研究基本物理常数测量，以及复现国际单位制单位的国际比对等领域通常仅给出合成标准不确定度外，在其余领域中一般均要求给出测量结果的扩展不确定度。附：误差可以用绝对误差和相对误差两种形式来表示，不确定度也同样可以有绝对不确定度和相对不确定度两种形式。绝对不确定度常简称为不确定度，而相对不确定度则往往在其不确定度符号“U”或“u”上加上脚标“rel”以示区别。被测量x的标准不确定度u(x)（或U(x)）和相对标准不确定度urel(x)（或Urel(x)）之间的关系为

20、：或在计算相对不确定度时，分母中的x应取其真值。由于真值无法知道，实际上用的是约定真值。而在实际工作中一般常以该量的最佳估计值，即测量结果来代替。（4）测量不确定度的分类由于测量结果会受许多因素的影响，因此通常不确定度由多个分量组成。评定方法分为A、B两类。A类测量不确定度：是指用对观测列进行统计分析的方法进行的评定，其标准不确定度用实验标准差表征；B类测量不确定度：是指用不同于对观测列进行统计分析的方法进行的评定。即所有与A类评定不同的其他评定方法均称为B类评定，它可以由根据经验或其他信息的假定概率分布估算其不确定度，也以估计的标准偏差表征。合成标准不确定度：所有各不确定度分量的合成，规定以

21、符号uc表示，它是测量结果的标准偏差的估计值。由于无论A类不确定或B类不确定，它们的标准不确定度均以标准偏差表示，因此两种评定方法得到的不确定度实质上并无区别，只是评定方法不同而已。在对各不确定度分量进行合成得到合成标准不确定度时，两者的合成方法也无区别。因此在进行不确定度评定时，过分认真地讨论每一个不确定度分量究竟属于A类不确定或是B类不确定是没有必要的。注：所谓的A类和B类仅是为了叙述方便起见而对其按评定方法进行的分类，而不是对不确定度本身的分类。根据定义，测量不确定度是与测量结果相联系的参数，意指测量不确定度是一个与测量结果“在一起”的参数，在测量结果的完整表述中应该包括测量不确定度。七

22、、不确定度的确定1、A类不确定度的估算对于有限多次直接测量，其不确定度的A类分量记为：其中：tp为分布系数，为无限多次直接测量的不确定度A类分量，。附表：分布系数t与测量次数n的关系 tn3456789101520P0.681.321.201.141.111.091.081.071.061.041.0310.902.922.352.132.021.941.861.831.761.731.711.650.954.303.182.782.572.462.372.312.262.152.091.960.999.935.844.604.033.713.503.363.252.982.862.58在大学

23、物理实验中约定1：针对测量次数一般少于10次的具体情况，可取，即不确定度的A类分量为：注意：此式应用条件：测量次数必须在610次。(置信概率近似为95或更大。或者说，被测量的真值落在范围内的概率接近或大于95。)2、B类不确定度的估算在工程实践中，绝大多数测量都是一次测量。通常以仪器的最大允差表示一次测量结果的B类不确定度。一般而言，与的关系为：其中C为置信系数，它由仪器质量指标在，范围内服从的分布（正态分布、均匀分布、三角分布）来确定。附表：几种常见仪器的质量指标在最大允差内的分布与置信系数C的关系仪器名称米尺游标卡尺千分尺物理天平秒表误差分布正态分布均匀分布正态分布正态分布正态分布C333

24、3在大学物理实验中约定2：C=1，即把直接当作B类不确定度。即：注：最大允差在大学物理实验中是一种简化表示，它是参照国家标准规定的计量仪表、器具的准确度等级或允许误差范围，由生产厂家给出或由实验室结合具体测量方法和条件简化的约定。通常取最大允差等于仪表、器具的示值误差限或基本误差限。在大学物理实验中约定3：仪器最大允差确定：（1）对可以估读的仪器：仪取仪器最小分度的一半。如米尺的最小刻度为1mm，则米尺的仪0.5mm。（2）对不可以估读的仪器：仪取仪器最小分辨读数。如分辨率为0.05mm的游标卡尺，其仪0.05mm；分辨率为0.02mm的游标卡尺，其仪0.02mm；分辨率为的分光计，其仪；各类

25、数字式仪表，仪仪器最小读数。（3）对有说明或注明仪器精度等级的仪器：仪按仪器说明书计算，如：螺旋测微器（050mm），仪0.004mm；电学仪器（如电阻箱、电桥、电表等），仪按其仪器等级计算，如：电阻箱、电桥，；电磁仪表（指针式电流表、电压表），。3、合成不确定度（也称为总不确定度，简称为不确定度）根据国际标准化组织等7个国际组织联合发表测量不确定度表示指南ISO1993(E)的精神，大学物理实验的测量结果表示中，当两类不确定度相互独立时，可用“方、和、根”法合成，获得总不确定度，简称不确定度。相对不确定度为：八、测量结果的不确定度确定1、单次直接测量因单次测量不存在不确定度A类分量，故单次测

26、量的总不确定度就等于不确定度B类分量。注：此时的不确定度可能小于多次测量的不确定度，这并不意味着单次测量比多次测量准确，只是其置信概率要小于多次测量。2、多次直接测量对A类不确定度主要讨论多次等精度测量条件下，读数分散对应的不确定度，用贝塞尔公式计算；对B类不确定度，主要讨论仪器不准所对应的不确定度；用两类不确定度的“方、和、根”来求总不确定度。如：用螺旋测微器测量小钢球的直径，六次测量值分别为：5.499，5.498，5.500，5.499，5.498，5.500，单位mm，试求测量结果的不确定度。解：根据不确定度理论，可知A类不确定度分量为0.00090mm根据说明书可知，螺旋测微器的误差

27、限为0.004mm，即B类不确定度分量为其总不确定度为0.0041mm3、间接测量间接测量的最佳估计值和总不确定度是由直接测量结果通过函数式计算出来的。设间接测量的函数式为其中，则间接测量量的最佳估计值为间接测量量的不确定度为相对不确定度为特例：当间接测量的函数式为乘除形式，可以先求相对不确定度再求总不确定度附表：常用函数的不确定度传递公式函数式不确定度传递公式九、测量结果的表示实验数据处理好以后，最终要把测量结果表示出来，才算完成实验的测量任务。测量结果一般可写成式中X表示测量结果，表示被测量的最佳值，表示测量的不确定度。即：一个被测量的测量结果的表示包括“测量值”、“不确定度”、“单位”三

28、部分。也可以连同给出相对不确定度。即测量结果可以表示为注意：有效数字（补充）一个测量数据的最终结果通常只能保留一位可疑数字；在测量结果的表示方法中，不确定度在计算的中间过程中可以保留两位有效数字，但在最终结果中只能保留一位有效数字，其后面的数据采取“只进不舍”的修约原则取舍；如最终结果中不确定度所在数量级和测量最佳值的末位数所在的数量级相同；如在用科学记数法来表示测量结果时，要求结果表达式中两部分所乘的10的幂次相同；如：，可以写成不宜写成5、测量结果表示式中的相对不确定度保留两位有效数字。十、举例直接测量圆柱体的直径D和高度h，由函数关系计算出圆柱体的体积。用分度值0.01mm的测微仪重复6

29、次测量直径D和高度h，测得数据如下：次数123456D/mm10.07510.08510.09510.06010.08510.080H/mm10.10510.11510.11510.11010.11010.115（1）求体积V的测量结果最佳值计算直径D和高度h的测量平均值分别为：，。由此可得体积的测量最佳值为：806.95256524860068635705368204957mm3（计算器运算结果）根据前面有效数字运算原则，测量结果应只有5位有效数字，即（2）不确定度评定测微仪的仪器误差引起不确定度分量（）：由测微仪的说明书获得测微仪的示值误差范围为，取0.01mm。直径D的重复性测量引起的不确定度分量记为：由贝塞尔公式可得高度h的重复性测量引起的不确定度分量记为：由贝塞尔公式可得由总不确定度合成公式可分别得到直径D和高度h的总不确定度：根据不确定度的传递公式可得圆柱体的体积不确定度为：方法1直接利用不确定度传递公式先求不确定度，再求相对不确定度。式中：，最后整理得到相对不确定度为方法2考虑到函数式仅有乘除运算，可以先求相对不确定度，再求不确定度。圆柱体体积的对数及其偏导数为，即可得：简写成：其中：，即测量结果的相对不确定度为：根据相对不确定度与不确定度及测量值的关系，可得测量结果的不确定度（3）测量结果表达式