重要教学资料：吴正宪估算

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1、第一场：案例研讨与提出问题对“运算教学的整体思考头脑风暴：1在运算教学中，您对估算教学有哪些思考？2如何处理算理与计算方法的关系？3如何科学地培养小学生的运算技能？4您对算法多样化有哪些思考？5在这局部教学中，您印象最深刻的教学现象是什么？您还有哪些困惑的问题？数与运算在小学数学课程中占有重要的地位，培养学生根本的运算技能，一直是广阔教师关注的问题。可是在新课程理念下的小学数学运算教学的实施过程中，不少老师遇到了困难，产生了疑惑，而且有一些问题是带有普遍性的，比方：1估算有什么价值？课上有没有必要用这么长时间来进行估算教学？2学生的估算意识不强，怎样培养学生的估算意识？3在解决问题中，学生不能

2、灵活选用适宜的估算策略，如何培养学生学生灵活选用估算策略？4估算有没有统一的评价标准？5运算教学中，新课程提倡“算法多样化，但实际教学中，是不是应该让学生都掌握一个最根本的计算方法？可是这样做会不会又回到老路子上？6学生的计算能力下降，练习过程中有没有更科学的训练方法？7计算教学中，如何处理算理和计算方法的关系？它们孰轻孰重？8什么是数感？如何培养学生数感？ 以上是教师们普遍关心的问题，不难看出，现在老师们关注的问题与实施新课程开始的问题已经有了不同。大家开始思考一些实施中新出现的问题。它涉及的是计算教学中整体的、更深层次的问题。关于运算教学，我们聚焦到以下三个问题：1、关于估算教学的思考；2

3、、如何科学地培养学生运算技能的问题；3、关于算法多样化的思考；话题一：由估算教学谈起估算在数学课程中得到了强调，?全日制义务教育课程标准实验?中在第一、二学段的“数与代数中共有45条具体目标，其中有关估算的目标就有6条。实验教材也大大增强了估算的份量，教师们更是在估算教学中进行着积极探索。但由于理论研究的缺乏、课程设计及实践的经验缺乏，教师们在估算教学和评价中遇到了许多困惑，本专题我们就一起对估算的价值和估算能力的培养进行讨论，希望能引起老师们一些思考。在我们的生活经验当中，估计是非常普遍的。有学者将估计的形式分为了三种：数量估计大约有多少，有人称之为估数、测量估计即我们所说的估测计算估计(即

4、我们所说的估算)。本专题讨论的是估算，还是从课堂教学入手，我们先看案例。【案例】 “为难的估算背景：学生已经有了一定的估算根底，在具体情境中让学生用估算解决问题时，出现了以下三种情境。情境一：教师出示以下题目，请学生进行估算。东方书报亭10月上旬的营业额单元：元，你能估计出这个月上旬的营业额吗？日期12345678910营业额206201206204205198196198195203生1：我把这些数都估成200，20010=2000元生2：我把206、205看作210，其他的数都看作200，2103+2007=2030元其他学生也表示同意，这时一个学生站起来：老师，我也算出来，比他们算得更准

5、确，得2021元。就情境一，某校老师进行了讨论： 1学生按精算方法计算，认为该生没有认真审题。2如果学生是在估算的根底上，再加上巧算的配合，得到了精确的答案，认为可以鼓励。因为简算和估算都很重要，在培养学生估算能力的同时，也要注意简算能力的培养。在解决实际问题的时候，既可以估算，也可以简算。情境二：某校期末考试卷上一道估算题：每个足球78元，要买2个足球，请你估计150元够吗？阅卷时发现，学生几乎全是用精算算出结果的，即782=156元156150，所以不够。学生这样解答算不算对？给不给分？就情境二，局部教师认为：1虽然学生采用了精确计算的方法，只要结果是正确的，就应该给予肯定。2学生没有认真

6、审题，不能给分。情境三：1课上通过一个实际问题，引入了估算。2抽象地谈在一个算式中，每个数可以怎么进行估计。“388可以怎么估？380，390，400，300在388+120，388+110中，你打算分别怎样估“388，才能不仅快，而且与实际结果相差最小？生1：388+110，388估成390，因为10+90是100，结果凑成整百。 师：这个方法的结果是不是最接近实际结果呢？生1：是，因为390离388最近。生2：用四舍五入法。师再次强调题目要求：又快又与实际结果相差最少生3：388+120，388估成380最方便，因为相加为整百数。师：不是离实际结果最近，可以估成390。3最后解决一个实际问

7、题：一班学生238人，二班学生158个学生，399个座位够吗？学生分6个小组进行讨论后，有5个小组用了前面所强调的“既凑整算得快，又与实际结果相差得尽可能小的思路，将238估计为240，158估计为160，240+160=400，所以399个座位不够；有1个小组进行了精确计算，发现399个座位够。面对学生不同的答案，教师说道：“确实，有些问题是不能用估算解决的，必须进行精确计算。学生在上完课与教师的交流中这样说道：“好象只有您的课堂中才用到估算。教师陷入了为难中。就情境三，局部教师认为：1 老师面向全体强调“好的估算标准，这样拔高要求了。2 练习题的设计欠妥，学生感受不到估算的价值。 通过以上

8、案例的讨论，并不一定非要取得一个共识，只是希望通过案例引发老师们的进一步思考，因此提出几个问题：1在实际教学中，学生常常习惯于精确计算，而不愿意进行估算，对于学生缺乏估算意识你有什么想法？ 2估算的价值表达在哪些方面？举例说明。在培养学生的估算意识中，你有哪些好的经验和做法？3在情境三中，教师一直强调“好的估算的标准是“既凑整算得快，又与实际结果相差得尽可能小，对于这个标准也赞同吗？估算是否有“统一标准？关于估算的评价问题，也是广阔一线教师十分关注的问题。我们在这里向大家介绍TIMSS国际测试中的几个估算测试题，希望能引起大家的思考。【案例】TIMSS测试给我们的启示TIMSS测试是由国际教育

9、成就评价协会发起和组织的国际教育评价研究和评测活动。成立于1959年的IEA曾经在60年代初组织了有十多个国家参加的第一次国际数学评测和第一次国际科学评测。70年代末、80年代初，IEA又组织了第二次国际数学评测和第二次国际科学评测。1994年，国际教育成就评价协会IEA在美国国家教育统计中心和国家科学基金会的财政支持下，发起并组织了第三次国际数学和科学评测，这次活动被简称为TIMSS，1999年，这项活动继续进行，并被称为TIMSS-R或TIMSS-REPEAT。2003年，为了更好地延续这项有意义的研究活动，TIMSS成为国际数学和科学评测趋势的缩写，从而使1995年、1999年、2003

10、年的三次测试有了统一的名称。这三次测试是当代青少年数学教育和科学教育的重要的国际比拟研究，对我国的数学教育和科学教育有一定的启发和借鉴意义。TIMSS是有史以来最大、最全面、也是最严格的国际比拟研究工程。在TIMSS测试中，有考察学生估算能力的题目，下面是其中的一些：1史密斯家每星期的用水量是6000升，他家每年的用水量大约是多少升？A.30000 B.240000 C2约翰想在磁带上录5首歌，每首歌所用的时间如下表所示：歌12345时间2 分 41 秒3 分 10 秒2 分 51 秒3 分3 分 32 秒估计一下他录完这5首歌需要多少时间，并解释你的结果。3保罗用$5去购置牛奶、面包和鸡蛋。

11、当他到达商店时，发现这三种食品的价格如以下图所示：在以下哪种情况下使用估算比精算有意义？A.当保罗试图确认$5是否够用时；B.当销售员将每种食品的价钱输入收银机时；C.当保罗被告知应付多少钱时；D.当销售员数保罗所付的费用时。4.对估算的评价。在估算或估测过程中，由于每个学生都有自己的想法，面对同一问题所采取的策略不尽相同，因而估算结果往往是不唯一的，这就涉及估算的评价问题。那么TIMSS对估算是如何评价的呢？我们不妨看一下上述第2题的评价标准：提出问题：上面的测试题目对你有哪些启发？你有哪些好的测试学生估算能力的题目？你设计这些题目的意图是什么？上面对估算的评价标准你是否赞同？对你有哪些启发

12、？你的学校中是如何进行估算评价的？以上通过几个案例，对估算教学中呈现出的一些问题进行了简单梳理，最后针对这一局部留一些作业：作 业1.在实际教学中，对于学生缺乏估算意识你有什么想法？你是怎样认识估算价值的?2在课堂教学中你有哪些估算策略?你有哪些经验?3如何评价估算？估算是否有“统一标准？ 话题二：如何科学地培养学生的运算技能 课程改革以来，不少老师反响学生的运算技能有所下降，并且学生分化情况提前、分化程度加剧，于是提出了“计算教学的有效性问题。提到有效性，是不是就是要回到“重复性训练、“题海战术，的做法上去。答复当然是“不！关键是我们需要对根本运算技能的标准，以及运算技能培养的科学化进行深入

13、分析。还是从具体案例谈起：案例一：关于“0.3”的讨论背景：这是小数乘法单元中的一节课，在此之前学生已经会计算整数乘小数，并了解了小数点移动的规律。这节课在讨论具体小数乘小数如何计算的根底上，归纳出如何进行小数乘小数的运算。课上通过一个问题情境，首先引出了0.30.2=？首先，学生进行了猜测。一局部学生认为是0.6，一局部学生认为是0.06，产生了分歧。教师给学生充分思考、计算的空间，交流时学生发言热烈。学生1：用画图表示0.30.2=0.06，如以下图 “我是这样想的,宽是,不到1米,所以结果不会是0.3(平方米)。我用百格图，这里的0.3米代表花园的长，表示花园的宽，表示面积的这些方格占百

14、格图的百分之六，所以0.30.2结果是0.06.学生2：“我还有一种方法。把看成是2,把看成是3,2乘3得6, 因为我刚刚扩大了100倍，所以我要再缩小百分之一，得。学生3：“我没有这么麻烦，不用把两个数都扩大，我只把扩大10倍，2得0.6,再把缩小到原来的十分之一，就是0.06. 学生4：“我用竖式。02与3相乘得06,任何数和0相乘都得0，所以和0相乘得00,加起来就是0.06.边说边写出了下面的竖式：学生的方法得到同学们的热烈的掌声。随即有同学问：“为什么不把小数点加在0和6之间呢？学生5：“我们学过两位数乘以两位数了，我看成是03乘以02,得数应当是006。小数点点哪儿呢？我认为不会是

15、00.6,如果小数点前有两个0,前边的0就没有意义了, 小数点前只能是一个0,所以是0.06.学生6：“乘以就是把平均分成10分，取其中的两份。的十分之一是0.03,也就是一份是0.03,两份就是0.06.学生7：“不到1，如果1乘以0.3,得0.3,而比1小，它是1的五分之一，所以应当是比还小。师：这么多种方法计算这个问题，你喜欢哪一种？ 就上面的教学设计和课上实施，一些老师进行了讨论：1老师的设计给了学生足够的空间，展示了学生的很多种方法，这些方法都是学生个性化的思考，代表了他们的智慧，这样设计能够开展学生创造力，而且这些方法有学生各自的思考，能够跟算理有联系。 2在将近20分钟的时间里，

16、学生交流了6种方法，那么这个在课堂上给予学生充分，探索的时间是非常好的，但是，最后应该落点在什么地方，还是应该让孩子去掌握这种计算方法，让他以后做题的时候能一通百通。3关于算法和算理教师头脑一定要清楚，老师应该把重点放在算理上，不应该在具体方法上浪费这么多时间。4在运算教学过程当中，算理与算法都是并重的，很重要，但是40钟的课堂是时间有限的，怎样处理好它们的关系，把重点放在什么位置，这也是我们要思考的问题。 就0.2的算理，有老师这样认为：10.2和0.3同时都看成整数2和3，这样同时扩大了10倍，要想积复原回去，就应该缩小100倍，20.3就等于0.06。0.3就是求十分之二的十分之三是多少

17、。由上面的案例，我们提出以下几个思考问题：1小数乘小数运算的算理究竟是什么？算理与算法的关系是什么？2教师在使学生理解算理上有哪些好的经验和做法，举例说明。3有的老师认为：“画图的方法很形象，总不能一直画下去吧？，你如何看待这个问题？学生的想法表达出这个片段活动有哪些价值？ 案例二：学生常见的错例整数乘法中： 253=95； 245=1001.8 = 8；四那么混合运算中： 327-27+75=375 872872=1看了错例，我们提出以下两个问题：1学生在计算中出现错误问题的原因是什么？以下是局部老师的看法：1我觉得学生出现计算错误的主要原因，是注意力不集中，审题马虎，计算马虎。2245学生

18、造成错误的原因就是受思维定势的影响。1.88学生错误是对计算法那么和算理不清楚。475253，学生一看就得300，这种是假简算，给学生造成错误。其中还存在一个问题，就是学生的计算习惯，要有认真审题的意识。有的老师把学生的错误归结为“注意力不集中，马虎，您同意他的看法吗？尝试分析这些错误中的合理成分，以及错误的可能原因。2你在课堂中是否愿意“暴露学生的错误？为什么？在帮助学生改正错误的过程中，你有哪些经验？其实，在运算教学中，有不少老师积累了成功的经验。我们先后采访了朝阳区实验小学的陈立华老师、石景山特级教师李祖功和杭州的张天孝老师，看看他们在计算教学当中，是如何科学地培养学生运算技能的。1朝阳

19、区实验小学陈立华老师的经验她认为学生对根本概念的理解是提高计算正确率的根底；有效的训练是提高学生计算正确率的保障。根本概念的理解是提高计算正确率的根底。在计算中，根本概念就是数位、计数单位和进率，尤其是计数单位这个概念，对于计数来讲是非常重要的，我们可以梳理一下整数加减法、小数加减法和分数加减法，应该说它们最核心 、最本质的就是相同的计数单位的个数相加减，核心概念如果掌握了，在课堂上对孩子来讲，就创造了一定的前提条件。在这个过程中，不但建立了知识和知识之间的关系，而且更重要的是培养了孩子的迁移能力和数学思维能力。我们在讲计算的时候，不单纯地是讲算理、讲算法，那为什么有时候老师或孩子们都有这样的

20、困惑：觉得计算就是很单调的、很枯燥的，其原因就是我们就题讲题了，就方法讲方法了。有效的训练是提高计算正确率的保障。心理学指出，根据计算形成的各阶段的特点，应适当地分配练习的次数和时间，技能的形成和稳固需要有足够的练习次数和时间，但是并非练习的次数越多，时间越长，练习的效果就越好。根据这个原那么，我们提出了交错训练，也就是说把计算的练习量，安排在了平时的每一天，和我们后面要讲的新知识结合在一起，比方说后面要讲应用题了，孩子们前面已经掌握了算理和算法，后面一节课我们就可以这样安排，30分钟的时间讲应用题，后面的10分钟我们就可以做一、两道计算题；一般来讲，在计算教学的一段时间，讲完算理和算法以后，

21、每天早晨我们会做四到六道题的计算，课堂当中可以做一、两道题，这样随着时间的拉长，练习的量会逐渐地减少，比方说在以后就可能是一周练习两到三次，那么一次一两道题，这样根本一个月下来，错题率就能保证在2左右。2石景山特级教师李祖功的经验口算练习是这个提高计算能力的非常有效的方法。把基把根本口算抓好20以内加减法、表内乘除法；练习的针对性：一天一组一组地根据问题练，问题越练越少；如：小数加法减法学生容易丢数，一般给学生准备三组题，先单练一组，时间很短，也非常有针对性，帮助学生找出错误原因；第二次反复练就到达一种认识掌握，再练第三组是熟练掌握。李老师与 一般老师可能都是一练就是练一组20题，练完一纠正就

22、完了，但如果把它分为三组，每组可能就5道题，题目很少，但是针对一个问题，错了之后学生有一个改错、再认识的时机，最后一组再进行熟练，这样每天的这个效果肯定非常突出，非常明显。3.张天孝老师和唐彩斌关于运算技能的对话唐彩斌：口算训练是一项需要长期坚持的教学任务，在教学中，老师们也有自己的一些个性训练方法，我曾经做过这样的“蠢事，当初刚学会电脑，为了出口算题的方便，就利用电脑的替换功能，这张口算纸上的6改成7，原来的8改成4，就这样通过替换，就非常“高效地出了很多的口算训练，结果是“快乐了自己，害苦了学生。效果也不甚理想。每每想起，感觉很惭愧。您觉得应该怎样进行口算的训练？张天孝：加强口算，不等于增

23、大机械重复的口算题量，而要做到口算训练的科学化，做到适时、适量、适度。有效地提供训练材料，选择训练时机，注意训练方法，考虑训练周期。口算训练的材料，不是平均使用力量，要从错误率及后继学习作用两方面来考虑。比方，100以内两位数加一位数进位加法共369题，对进位加法本身来说，这些题的口算训练价值是等同的。但对后继学习多位数乘法计算的作用来说，口算训练价值就不一样。在多位数乘法计算中，涉及两位数加一位数的进位加法的题共60题，占总题量的60，比方7487，要用到285，493两道口算题，这60道口算题的训练就应增加题量。就如何科学地培养学生运算技能问题，我们布置以下两项作业：思考作业选择一个学生错

24、误的个案，与他进行谈话，了解这位学生思考的过程和错误的原因。总结自己在计算教学当中，是如何地科学地培养学生运算技能的经验、做法或困惑反思。话题三：关于算法多样化的思考谈到科学地培养学生运算技能，我们不得不面对这个话题算法多样化，算法多样化进入我们的视野已有五年了，大家对算法多样化有很多想法，也有诸多困惑：1算法多样化与过去提到的“一题多解有什么不同？2在算法多样化的教学中，要不要给学生推荐一种最根本的方法，让全体都掌握？3在教学中，如何把握算法多样化与“优化的关系？我们还是从课例开始。l 【案例二】500175?课上通过一个问题情境，引出了500175?学生一共出现了5种方法：方法：50020

25、0=300 ，30025=325；10010025100325175 200300500400方法：学生画出下面的图方法：500=499+1，499175324 所以500-175=325。方法：500+25 525175+25 200 325方法：用竖式。 以上呈现的是加拿大的有关算法多样化的课例，抛出两个问题，请老师们思考：1.面对本例中学生的那么多算法，你的感想是什么？算法多样化的价值到底有哪些？2.这些算法中是否有最优的？衡量的标准是什么？就案例中几种计算方法的价值，我们采访了北京五中数学特级教师张毅老师。主持人：以上案例中学生出现了这么多的算法，您有什么感受？张毅：学生能够用这么多种

26、方法解决一道在咱们眼里司空见惯的一道题，我觉得这些小孩那种没有被束缚的头脑，他们的想象力超出我的想像，我觉得学生能够出现这么多种算法，是一件非常可喜和值得称赞的一件事。主持人：您怎么看学生这几种不同方法的价值？张毅：第一种方法把减数175凑整，成为200，减掉了200怎么办呢？等于多减了，后面再给它补回来，所以在小孩的脑子里，他觉得不好减的东西，先要找一个好减的，然后再把这个数最后找回来，所以我觉得这在解决问题当中是非常有用的。实际上为学习估算就奠定根底。第二种方法用图示去解决。这个孩子的几何直观能力，可能在将来会显现出来，就是用图去解决数的问题，应该说真正到高中才完全系统地在这些几何的教学中

27、去呈现数与形的结合，现在他这么小就能够通过一个图式的方式，去完成一个计算问题，我觉得这是一个非常好的萌芽，或许说孩子他认识世界不仅从数去看待，他同时也从形去看待；如果我们在一开始，在他刚刚接触到的任何东西，都去激发他这种认识，或许我觉得在他的将来，能够突破一些我们原有的认识，很直观地去解决一些我们认为需要呆板计算的问题。第三种方法，他先找到一个认为最好减的数，就是用500去减不好减，他用499减，接着再把这个1找回来。我觉得这个事学生想得特别巧，这是最好减的一个数了，所以我觉得这个小孩或许在他处理问题的过程当中，可能在减很多不好减的数的时候，都用一个最好减的数去减，然后他只用一个1，同样给调整

28、过来，使差不变。第四种方法好似跟第一种方法有异曲同工之效，只不过他自己把减数和被减数同时增加一个相同的数，我觉得可能在他眼里这么做会更巧更简单，他在这个过程当中实际上把减数凑整，而在凑整的同时，他让那个被减数随之增加，所以我觉得教师有必要去挖掘学生背后的东西，价值更大，在同学中相互影响的教育意义也更丰富。关于算法多样化的研讨，我们布置以下两个作业：1在这个案例当中，学生那么多的算法，你有什么感想？算法多样化的价值到底是什么，你能够从你的那个角度来谈一谈吗？2在算法多样化的教学当中，你积累了哪些做法和经验？以上，我们为大家抛出了一些案例，提了一些思考问题，也布置了作业。但时间比拟紧张，要完成所有

29、作业不大可能，希望老师们能针对某一个在教学中感受最深的问题认真思考。第二场：观点分享经过上面对一些案例及问题的研讨，很多老师都有了自己的思考。下面我们将对估算教学、运算技能科学化的培养和算法多样化的教学与大家展开了进一步地交流。需要强调的是，这些观点是这个工程组集体讨论的结果，是我们团队的一些思考。肯定会有一些不成熟的地方，希望能引起大家更深刻的思考和讨论。通过上一场对计算教学当中案例与问题的研讨，很多老师都有了自己的思考。下面的话题就从计算教学中的老师们比拟关心的三个问题谈起。第一个问题，估算的教学问题；第二个问题，如何科学地培养学生运算技能的问题；第三个问题，关于算法多样化。在估算教学中，

30、我们分成三个层面进行讨论。首先是对估算价值的认识，即估算在人们的日常生活中，在孩子们的学习中有怎样的作用。其次，在课堂教学这个层面当中，如何培养学生的这种估算的意识，帮助学生选择适宜的估算策略，掌握估算的方法，提高估算技能。最后是如何对学生的估算结果进行客观公正的评价，即估算的评价标准。一、估算的价值1、估算在日常生活中有着广泛的应用。我们认为估算是对运算过程和运算结果来进行一种近似的或者粗略估计的一种能力。随着现在科技的飞速开展，很多事实际上不可能也不需要都来进行准确计算。通过对家长的访谈，我们看到从事各种职业的人士，都认同估算的价值。曾经有一个学者做过一个统计，一个人在日常生活当中精确计算

31、，和粗略估计算的时机来比，后者多得多。例如，我们每个家庭要方案自己家庭的收入和支出，这就需要估计；一个商场，它的营业额是多少，它的利润如何，这要进行大致的预测，这也是估计；企业对经营的产品或者销售额也要进行估计；又如现在北京市公交车辆特别多，那么公交部门的运输能力到底是多少，不一定很精确计算，也需要大致做估计；再比方，现在大城市流动人口很多，到底流动人口是多少，我们在做统计时也要做一些估计，一般来讲尾数就省略不计了。综上所述，我们可以看到生活离不开估算。因此，估算作为数学计算教学方面的一个新内容，或者说一个重要的内容提出来，是有它的道理的。2、估算为判断计算器、口算和笔算结果是否合理提供了依据

32、。估算为判断计算器计算得是否准确，包括孩子们口算、笔算的结果是否合理，提供了重要的依据。小学生开始使用计算器，计算器按出来一般的结果都是准确的，但有时候由于操作失误可能会出现问题，如果学生有了估算的意识和能力，就能很快发现计算器计算结果的取值范围是否合理，可以马上改正来。过去我们要用加减法的互逆关系和除乘法的互逆关系来验算，现在就可以用估算的方法来检验结果。这也是估算的重要应用。3、估算有利于人们事先来把握运算结果的范围，是开展学生数感的一个重要的途径。数学新课程标准在开展学生的数感方面明确指出：能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。估算是开展学生数感的有效途径之一，也是保证计算正确的重

33、要环节，由其对提高学生的计算能力很有益处，计算前进行估算，可以估计出大致结果，为计算的准确性创设条件；计算后进行估算，能判断计算有无错误并找出错误的原因，及时纠正。在学生的日常口算和笔算过程中，无论是计算前估算或者是计算后估算，都有一定的价值，比方说拿到一道题，还没算之前，先估算一下，大概它的范围是多少，这有利于学生进行合理的判断。另外从思维角度来讲，对培养孩子的快速的判断和推理能力，也有一定的好处。4、估算对学生后续的数学学习有重要作用。估算是个很重要的事情，在后期的数学学习中占有一个非常重要的位置，并且是数学的一个根本思想，通常我们叫近似或者逼近。比方在初中，我们都学了一个数的平方等于2，

34、那么这个数就是叫做，那么是一个实数，但是我们在日常生活中，总不能说一个人的身高是，那么通常我们总说它是，这样别人可以了解你的这个具体的身高，所以说在数学的应用中，包括在数学的计算中，常常会需要用近似，用估计来解决问题，并且它这个估计的结果符合我们实际的要求。确实在我们数学的开展过程当中，估算也占有重要的地位，对学生的数学学习有重要的帮助，特别是开展学生近似的意识，估算的这种意识的培养，也是非常重要的。总之，作为数学教师，我们只有更加深刻地去感受，去领悟估算在我们生活工作中的价值，我们才能自觉地在我们的教学当中，很好地去培养学生的这种估算的意识，估算的能力，很好地去开展学生在这方面的一些创造能力

35、。附：家长访谈新药研发工 我觉得估算价值挺大的，因为我是做新药研发的，一个新药大概要投资下十亿到十五亿美元这样一个范围，风险很大，所以一定要有一个大概的估计，而且中国人是那种知觉性思维方式非常好的，估计性的能力相对来说可能是比拟强的，我觉得或多或少的会用到估算，就是你在确定方向的时候，觉得很有用。幼儿园工 我觉得应该有吧，比方吃饭，我经常会遇到这种情况，因为有时候开的发票不是很准确，你又希望这个价格很准确，但是大脑运作得又太慢，加菜单的时候太慢，所以我觉得这个应该挺有价值的，就是从生活角度。有时候你不可能当着朋友面算算算半天，搁那儿抠抠半天，但是也确实那个餐厅也有过这种情况，他可能给你写一个价

36、格，但是他最后的结果他比你要高出，有这种情况，所以为了防止这种损失，应该有一个大概的一个估算，不会差得太大。商人：我的职业是做出口生意，最根本的还是每天的零售，零售这个流水多少钱，那么估算在我这儿应该是每天、每月、每年都应该用的，因为有的时候，你计算的没有那么多时间，或者今天把今天的这个三次结完账，或者两个店的营业额流水有多少，估算一下，这个应该在生活当中是用的非常多的。二、估算教学目前“估算从学生角度来讲的主要问题有两个：一是学生不知道什么选择用估算，往往学生一看见有“大约，就开始估了。二是学生不知道在什么情况下选择用什么样的估算策略，也就是估算策略怎么能够合理地进行应用。1、培养估算意识。

37、估算教学，不是单纯的教给学生记住一种估算的方法，应当是通过估算的教学，来培养学生这种近似的意识，这种估算的意识，他不是被动地、机械地去记住一种估算方法，而是在通过我们教学当中，让学生逐步地去理解这种估算的意义，去开展学生这种估算的意识，在这个过程当中，应当多增加一些学生的体验，不断地去丰富他的这方面的经验，积累他的经验。下面提几条具体的教学建议。1教师要重视估算，并把估算意识的培养作为重要的教学目标。在教学设计当中，首先要考虑到你的教学目标，如果把目标定位在今天就教会往大估，或是见到“大约就要估算，做一些机械的训练，可能就会给学生形成一种错误的定式。而我们想要的那种估算的意识，是如何培养学生这

38、种近似的意识，这是我们数学教学本身开展应该关注的问题，那么也应该作为我们重要的教学目标来进行实施。2要选好题目，提出好问题，让学生去体会估算的必要性。作为教师，在教学设计当中，首先要选好题目，要提出好问题，提出有估计价值的问题，这对我们老师是个挑战。比方，三位数除以两位数，你估一估这道题，它的商是几位数？这个问题就有价值。另外，只有选好题目、提出好问题学生才能自觉体会到估算的价值，学生有了对估算价值这种体验以后，他的估算意识才能不断增强。提到选择好的题目，一位老师碰到了这么一件事，一家三口去吃饭，当时点了一些饭菜，价钱分别是42元、56元，19元、33元、25元，9元，当时就大致地估了估，大约

39、不够200元。效劳员收费时却报出了226元。这显然是错误的。经查证效劳员将42记了两次，正好多收了42元。由于有了估算的意识才防止了效劳员的错收费。这就是估算的应用啊！在我们的生活当中需要估算的地方确实很多，那么能够设计一个这样表达估算价值的例子，让学生在解决问题中，去体会估算的必要性。久而久之，学生估算的意识也就会不断加强。3要鼓励学生，利用估算来验证计算结果，来养成好的习惯。比方现在学生用计算器计算，再比方学生的精确笔算，那么结果对不对呢，特别是积的位数、商的位数，准确不准确呢，可以先用估算的方法，来确定一下它大致的取值范围，这样就帮助学生来验证计算的结果。估算意识的培养，应该从点点滴滴做

40、起，使学生逐步地养成一种习惯，形成这种良好的习惯以后，他会自觉地进行估算。有这样一个例子，824141，学生算的结果商是21，他马上发现8000多除以40多，商不可能是两位数，肯定是算错了，他就去进一步检查哪里发生错误。可以看出正因为他有一个好的估算习惯，才能够及时纠正自己的错误。还有一个例子，231加上416，有位学生得500，当时同桌给他看的时候，说你这肯定不对，一个200多加一个400多，肯定得600多，怎么它也不能得500多。可见，让孩子感觉到估算的必要性，并养成好的估算习惯，是很有必要的。学生通过不断地体会估算给他带来的帮助和好处，从而不断地提升他们的估算的意识。4要引导学生在问题情

41、境的比照中，选择估算或精确计算，不断地来积累这方面的经验。作为数学教师，我们要想方法搜集或者捕捉一些好的素材，在具体的问题情境当中让学生去感受，哪样的问题解决需要近似值，就是需要估算，哪些问题解决一定要算出精确值，比方像刚刚我说的那个题，“全家吃饭的例子就是估算，大约是200元，这就是估算。当然没有必要精确地计算了，在这种情况下，我们就选择用估算，而不选择用精确计算。但作为饭店的收银员就需要精确计算，估算显然不行。估算的教学，是一个新的内容，我们没有更多的经验积累。虽然生活中的例子不少，甚至估算比精算用的还多，可是真正好的例子，能够搬到课堂上来用的，就不是那么多了。特别是适合儿童的、贴近儿童的

42、现实生活的例子就显得有些缺乏。这正是给老师们提出了一个新的挑战，需要我们不断的去积累这些鲜活的例子，为学生创设好情境，提出好问题。2、形成估算策略。首先看下面的课例，再让我们结合课例来谈学生估算策略培养。教学案例：北京市石景山区古二小王静燕老师?估算?一课。片段一：创设情境，感受估算价值。1、老师在海报上看中了几样商品，准备去超市购置，请同学们帮我想一想：带100元钱够不够？2、学生用凑整的方法进行估算。学生答复略3、收银员怎样来计算这些商品的总价钱的？学生答复：输机。 教师追问：能不能像前边同学那样对于某件商品只取一个与它近似的整数进行输机呢？不能现在我们就来进行一下收银员的工作，精确地这些

43、商品到底价值多少钱？9.80+23.60+16.60+9.70+14.00+25.20=98. 90元4、请大家思考：顾客和收银员同是计算这些商品的总价钱，那么在具体做法上有什么不同？5、生活中有很多问题都是用估算的方法来解决的，回想一下我们的生活，在哪些时候用到过估算？6、小组讨论之后反响。片段二：展现不同的估算方法。1、看来大家对于估算有一定的经验，下面我们就来试一试：这是我们古城二小五年级六个班的人数统计：班级一班二班三班四班五班六班人数33人37人35人38人36人32人你能估算出五年级大约一共有多少名学生吗？2、反响： 生1：把这六个数都看成30，306=180人，我估算的结果大约是

44、180人。生2：把这六个数都看成40，406=240人。生3：我把37、35、38和36看成40，把33和32看成30，404302=220人。生4：这六个数都在35上下，如果把这六个数平均一下大约就在35，所以可以把35看作中间数，356=210人3、教师评价：同学们的估算方法都有一定的道理。老师在同学们估算的同时悄悄的算出了精确结果，你们想不想看一看？4、公布年级实际的总人数：211人，看到这个结果你们有什么新的想法？5、学生开始结合精确结果和自己的估算结果进行比拟，并对自己的估算方法进行反思。生1：我都看成30，所以就估少了，用中间数的方法最接近。生2：都看成40，就估高了，要比240少

45、。生3：都看成30，每个数都少了，所以就比实际结果少；都看成40，每个数都多了，所以就比实际结果多。用“四舍五入和取中间数的方法要好一些。6、教师小结：同学们都发现了用“四舍五入和取中间数的方法的到的估算结果和准确结果比拟接近。但都看成30或都看成40的方法也有它的价值。我们可以看到实际的结果一定比180大，同时它要比240少，也就是要在180和240之间，这两种方法就为我们画定了准确值的范围。这个课例中，王老师给孩子出示的问题情境很巧妙，使学生产生了估算需要。更为可贵的是，教师能在课堂教学过程当中，追问学生：生活当中还哪儿用到估算？这个就是对学生这种估算意识的一种培养，久而久之学生这种估算意

46、识就会慢慢地形成了。 这节课的后半段也是非常精彩，学生用了那么多种不同的策略来进行估算，可谓是精彩纷呈。特别是，老师又抛出了一个精确值，让孩子用自己估算的结果和这个精确值去比拟，然后又把这个问题再放下去，让孩子又有了二次的交流和反思，在这个反思的过程当中，孩子所能开展到的，他所能获得到的，不仅仅是他要调整自己原有的一种估算的策略，同时让他更多的主动的去积累一些估算的方法或者能力，让他尽量地来逼近精确值，合理地调整把握取值范围。本节课，老师是将估算意识的培养，作为的一个重要的课堂教学目标来做的，所以老师在几个环节都在用心地去培养学生这种估算的意识，包括题目的引入，包括结合生活实际谈例子，另外她还

47、很注重的一个问题，就是关于这个估算策略的调整。下面将要就估算策略，提出一些建议。1首先鼓励学生解释估算的思路和理由。鼓励每个学生尽可能地能够表述自己的思路和理由，适当地鼓励学生来总结估算的策略，因为这确实是一个经验的积累过程，要善于总结，灵活地使用，但凡合理的估算策略，我们应当给予肯定。经验积累是重要的，有的时候不是老师讲会的，需要学生自己不断的反思和调整原有的认识。2教师要积极地引导学生在对估算和精确计算结果的比拟当中，让学生学会倾听、反思，加强体验，积累经验，不断地提高估算的能力。以上面估算这节课为例，一般老师就是看到了学生用多样的方法、策略，来进行这个估算，可能就很快乐了，往往就在这儿要

48、收尾了。多样化也表达出来了，策略的变化也表达出来了。而王老师此时却提了一个很有价值的问题：“在你们估算时，老师已经悄悄地把准确结果地计算出来了。看到这个准确结果，你们有什么想法？这样又一次引起了同学们热烈的讨论，当学生把自己的估算的结果和精确值进行比拟的时候，同时也和其他同学的估算结果进行比拟的时候，就发现了有的取值的范围可能就更加合理，有的估计得远了些。怎么样使它更接近准确值呢，学生开始了反思自觉的进行二次估算方法的选择，学生这种经验的积累，对不断地提高判断的能力、选择能力，不断地提高估算能力，会有重要的帮助。3具体的估算的策略。 凑整的方法。如凑成一个整十整百的数。 取一个中间数。比方32

49、 37 30 39这四个数求和，这些数都很接近35，有的比35多一点，有的比35少一点，就取一个中间数35，直接用354，就大约地计算出了这几个数相加的结果。 利用特殊的数据特点进行估数。如1268，就可以想到1258，125的8倍，就得到1000。 寻找区间。也就是说叫寻找它的范围，也叫做去尾进一，去尾就是只看首位，那么只看首位的时候，估得的结果就是它的至少是多少，我们还说一个“进一，进一就是首位加一，假设说278，我们就看成了300，首位加一，这样就是它最多可能是多少，这样得到一个范围，就是寻找它的区间范围。 两个数，一个数往大了估，一个数往小了估，或者一个数估一个数不估。 先估后调。学生

50、根据不同的情况，来采取不同的估计的策略，这是对学生估算能力的一种很好培养的过程。在这里我们只是提了六种具体的策略，其实还有很多，我们一线的老师们有很多丰富的经验，希望你们不断的完善估算策略，不断地提升总结。三、估算的评价关于估算的评价，首先把估算分为：一种是根据实际问题来进行估算，一种是脱离实际问题的情境，纯算式的进行估算。1、根据实际问题，选择合理的估算策略，结果合理方为正确。学生只要能够解决实际问题，那这个估算就应该是合理的，这是针对着解决实际问题来说的。只要你估算的结果，和实际要求解决问题的结果是一致的，就应当算正确。2、脱离实际问题情境，纯试题的估算，只要结果落在区间内，方为正确。但要

51、根据不同年龄的学生的认知实际，给予针对性的评价。有一些题目，脱离了实际问题情境，属于纯算式的估算，在这种情况下，我们提出：不能简单地把估算结果是否与精确值最接近作为唯一的标准，只要能够落在区间内，就视为是合理的。这个区间内，也就是它的取值范围。同时提出不同年龄的学生，要有不同的评价标准。如低年级学生刚刚接触估算，它的估算结果落在区间内，但是范围比拟大，我们觉得也可以。高年级的学生已经有了一定的估算经验，就要引导他不断地进行再反思，再调整，把估算的结果能落在更趋于合理的位置上。举个例子来说：78365积大约是多少，刚开始学习的时候，学生可能这样估70300，或者80300，或者80400，这样我

52、们都可以视为是合理的。有了一定的计算技能以后，老师要引导学生不断地去进行反思，还可以估成80350，这时候的范围就比原来要小多了。另外还想从我们命题的角度来看问题，能不能让题目更适合学生用估算的方法来解答。希望老师们能够尝试着出一些好的题目，提出一些好的问题，有利于学生这种估算意识的培养，有利于学生这种估算策略的选择，不断地来提升学生的估算的能力。比方说在估算的题目当中，鼓励学生进行二次的调整、选择，这些策略都可以在和学生的交流和尝试中不断地让学生去积累经验。3、估算结果落在适宜的数量级中，视为合理。数量级也就是十、百、千，万，换句话说就可以用10的n次方表示。如TIMSS测试题很有意思，“史

53、密斯家每星期的用水量是6000升，他家每年的用水量大约是多少升？让学生选择下面答案。A.30000 B.240000 C这正是在考察学生数量级概念。只要学生结果落在适宜的数量级中视为合理。关于评价的问题，我们认为学生们估算的策略不同，只要是合理的，我们就应当鼓励他们大胆地尝试，鼓励他们积极解释自己的观点，交流自己的看法。在这个过程当中，肯定会有很多有价值的东西会在课堂中涌现出来，老师要小心翼翼地去呵护住学生们的这份探究的精神，不要轻易地用一两句话就否认一种方法。教师不要急于给予评判，给孩子一种宽松的气氛，让孩子不断地学会调整，不断地学会反思，提升孩子这种判断的能力。教师要不断地站在学生的角度去

54、思考、去挖掘这些方法的思维价值。不断地培养孩子的估算意识，利用这种近似的意识来开展孩子的数学思维。关于如何去评价估算的结果问题，这是一个要很长一段时间，我们需要探索和研究的问题。估算教学，很新也很难，对我们来讲还是刚刚起步，有待于我们共同来研究。第二个话题，如何的科学地培养学生运算技能数与运算在小学数学课程中占有重要的地位，培养学生根本的运算能力一直是广阔教师关注的问题。计算不单单是一种技能，它是一种根本的数学方法和数学意识，同时也是人们应具备的数学素养之一。计算教学是数学教学的一个重要领域，它直接关系着学生对数学根底知识与根本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、意志、思维等能力的开展，关系着学

55、生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养；从国内外课程标准和课程方案来看都十分重视计算教学，培养学生的计算技能已经成为小学计算教学的一个重要目标。下面我们就运算技能、算法多样化的问题进行讨论。一、什么是运算技能1运算技能的含义运算技能从心理学的角度讲，是指学生在顺利地完成运算任务过程中，借助自己的内部言语在头脑里进行的一系列智力活动方式。运算技能是指智力技能而不是操作技能，它是一种智力活动方式，其中主要包括思维、记忆、想象等，而思维占比拟重要的位置。 2算理和具体计算方法的关系一些教师认为，计算教学没有什么道理可讲，学生只要把法那么牢记于心，反复“演练就可以到达正确、熟练的要求。我们不能想像一

56、个连根本的计算原理和方法都模糊不清的学生能够灵活、简便地进行计算，会具有较强的计算能力；一些教师认为，算理非常重要，在计算过程中让学生会说一整套的程序化的语言，以说明学生对算理的理解，这种任意拔苗助长的做法也是不可取的。因为这样做不符合孩子的认知规律，也不可能让小学生一下子说那么多？说那么多，他就是真的理解吗？学生在小学阶段学过的定律有加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律五个运算定律。实际上从小学阶段到中学，一直到实数范围它是通行无阻的。从理论上讲只有运用了运算定律，才能保证某些计算结果的严密性。以前我们只把运算定律用到简算上，其实运算律不仅仅在此，更重要的是它能够保证整个计算的正确

57、性，取得唯一的结果。 整数加法的算理324+324=648，它的算理是什么呢？324+324=300+20+4+300+20+4=300+300+20+20+4+4=600+40+8=648在这里既运用了交换律、结合律，还利用了整数十进制计数法，最后算出来和是648。运用运算定律能够保证计算结果的唯一性，这就是算理。而运算法那么是人们进行计算的一个根本程序或方法，它是具有操作性的，先做什么，再做什么，最后做什么。运算法那么，来自于算理；学生在做计算的时候是基于运算法那么的，法那么通常又要满足运算律，这就是我们平时讲课时应做到明确算理，掌握法那么。当学生没有学习交换律和结合律时，怎样能够保证计算

58、结果正确呢？老师根据学生的实际，用操作和教具演示等方法。如学生在做加法时，大块和大块的放在一起，小块和小块的放在一起，单根和单根放一起，很直观，实际上就是把算理具体化和形象化的过程。小数乘法的算理“ ”的算理是什么？有一局部老师认为就是把0.3和 0.2同时扩大10倍，积是6，然后再把6缩小100倍，最后结果是0.06。误把这样一个计算的过程当作了算理。我们是这样理解 0.2算理的：=3 0.12 0.1=3 2 0.1 0.1= 6计算中根据小数的意义，并利用乘法的交换律与结合律，保证了计算结果的正确性。 算理是四那么运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；具体的计算方法

59、主要指计算法那么是四那么运算的根本程序和方法。运算是基于法那么进行的，而法那么又要满足运算定律。所以，算理为法那么提供理论依据，法那么又使算理具体化。现在计算教学淡化了程式化地表达算理和计算法那么，重在让学生经历计算方法的获得过程，重在展示计算方法的形成过程，重在暴露学生的思维过程，让学生真正理解算理，掌握具体的计算方法，形成计算技能。在教学中，既要使学生知道怎么算，又要知道为什么这样算。学生明确了算理和具体的方法，才能灵活、简便地进行计算，才可能产生多样的算法。关于0.2，孩子们做了各种推理，这些方法都是把算理和法那么融合在一起，有很高的思考价值。下面展示学生的几种计算方法：学生2：“我还有

60、一种方法。把0.2看成是2,把0.3看成是3,2乘3得6, 因为我刚刚扩大了100倍，所以我要再缩小百分之一，得0.06。学生3：“我没有这么麻烦，不用把两个数都扩大，我只把0.2扩大10倍，20.3得0.6,再把0.6缩小到原来的十分之一，就是0.06. 0 60 00.0 6学生4：“我用竖式。0.2与3相乘得06,任何数和0相乘都得0，所以0.2和0相乘得00,加起来就是0.06.边说边写出了下面的竖式：学生的方法得到同学们的热烈的掌声。随即有同学问：“为什么不把小数点加在0和6之间呢？学生5：“我们学过两位数乘以两位数了，我看成是03乘以02,得数应当是006。小数点点哪儿呢？我认为不

61、会是00.6,如果小数点前有两个0,前边的0就没有意义了, 小数点前只能是一个0,所以是0.06.学生6：“0.3乘以0.2就是把0.3平均分成10分，取其中的两份。0.3的十分之一是0.03,也就是一份是0.03,两份就是0.06.学生7：“0.2不到1，如果1乘以0.3,得0.3,而0.2比1小，它是1的五分之一，所以应当是比0.3还小。这种画图的解法运用了数形结合的思想，也就是在一个边长为1米的正方形中，长是3小格，宽是2个小格，画出来以后就是在一百格里面有6个，所以是0.06。这种方法非常直观，通过阴影局部与整个图的关系得出阴影占百分之六，百分之六就是0.06。这说明学生能够借助前面的经验来解决问题的，而且学生的形象思维比拟丰富。在具体直观的图中，学生理解了算理。其余几个孩子的想法，他们都有逻辑推理的过程：像 0.3乘0.2，他只把0.2扩大10倍，2乘0.3是0.6，然后把0.6再缩小10倍，就是0.06，他是在原有旧知识0.3乘2已经掌握的根底上，探究0.3乘0.2的，最后得出结果是0.06。学生的这些方法都是很可贵的，具有思维价值，值得教师很好地挖掘。这些做法已经把算理和具体的计算方法有机地融合在一起了，不必单独拿出来给学生讲算理。作为教师，在课堂上，应该好好地保护学生这种可贵的创造精神。在案例的探索过程中，