对数函数

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1、对 数 函 数教材分析对数函数是一类重要的函数模型，它与指数函数互为反函数教材是在学生学过指数函数、对数及其运算的基础上引入对数函数的概念的须要说明的是，这里与传统的教材有所不同，即没有先学习反函数，这对学生学习对数函数的概念、图像及性质有较大影响，使指数函数的知识点不能直接应用于对数函数的知识点，但从对数的定义中知道：指数式与对数式可互化因此，在某些方面，如在画对数函数ylog2x的图像列表时，可以把画指数函数y2x图像时列的表中的x与y的值对调这节内容的重点是对数函数的概念、图像及性质，难点是对数函数与指数函数的关系教学目标1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型刻画的数量关系，初步理解对

2、数函数的概念，并能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图像和性质2. 知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数（a0且a1）3. 能应用对数函数的性质解有关问题任务分析首先复习指数函数、对数的定义及对数的性质，这也是学习本节内容的基础解析式xlogay是函数，叫作对数函数，为了符合习惯，常写成ylogax这些内容学生较难理解，教学时要引起重视教学中，要注意从实例出发，使学生从感性认识提高到理性认识；要注意运用对比的方法；要结合对数函数的图像抽象概括对数函数的性质注意：不要求讨论形式化的函数定义，也不要求求已知函数的反函数，只须知道对数函数与指数函数互为反函数教学设计一、问题情境同指

3、数函数中的细胞分裂问题，即：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数为y我们已经知道，个数y是分裂次数x的函数，解析式是y2x形式上是指数函数（这里的定义域是N）思考：在这个问题中，细胞分裂的次数x是不是细胞分裂个数y的函数？若是，这个函数的解析式是什么？x也是y的函数，由对数的定义得到这个新函数是xlog2y其中，细胞的个数y是自变量，细胞分裂的次数x是函数二、建立模型1. 学生讨论（1）函数xlog2y与指数函数y2x有何关系？（2）函数log2y中的自变量、字母与我们以前所学的函数有何区别？结论：问题（1）：两函数中的x表

4、示的都是细胞分裂的次数，y表示的都是细胞分裂的个数，对应法则都是以2为底数，一个是取对数，一个是取指数，正好相逆注意：这里不能说它们互为反函数，因为还没有学习反函数的概念问题（2）：这里的自变量所用字母是y，以前学习的函数的自变量常用字母x，即这里的用法不合习惯2. 教师明晰定义：函数xlong2y，（a0，且a1）叫作对数函数，它的定义域是（0，），值域是（，）由对数函数的定义可知，在指数函数yax和对数函数xlogay中，x，y两个变量之间的关系是一样的不同的只是在指数函数yax里，x是自变量，y是因变量，而在对数函数xlogay中，y是自变量，x是因变量习惯上，我们常用x表示自变量，y表

5、示因变量，因此，对数函数通常写成ylogay，（a0且a1，x0）3. 练习在同一坐标系中画出下列函数的图像（1）ylong2x（2）y解：列表：表12-1思考：上表中的x，y的对应值与指数函数中所列表的对应值有何关系？描点，画图：4. 观察上面的函数图像，结合列表，仿照指数函数的性质，归纳总结出对数函数的性质（1）定义域是（0，），值域是（，）（2）函数图像在y轴的右侧且过定点（1，0）（3）当a1时，函数在定义域上是增函数，且当x1时，y0；当0x1时，y0当0a1时，函数在定义域上是减函数，且当x1时，y0；当0x1时，y0三、解释应用例题1. 求下列函数的定义域（1）ylog2x2（2

6、）yloga（4x）（3）y解：（1）xx0（2）（，4）（3）（0，1）2. 比较下列各组数的大小（1）log23与log23.5（2）loga5.1与loga5.9，（a0且a1）（3）log67与log76解：（1）考查对数函数ylog2x21，它在（0，）上是增函数又33.5，log23log23.5（2）当a1时，loga5.1loga5.9；当0a1时，loga5.1loga5.9（3）log671log76总结：本例是利用对数的单调性比较两个对数的大小，当底数与1的大小不确定时，要分类讨论；当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个已知数间接比较两个数的大小3. 溶液的酸碱度是

7、通过pH值来刻画的，pH值的计算公式为pHlgH+，其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是molL（1）根据对数函数性质及上述pH值的计算公式，说明溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系（2）已知纯净水中氢离子的浓度为H+10-7molL，计算纯净水的pH值解：（1）根据对数的性质，有pHlgH+lgH+1lg，所以溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小（2）当H+10-7时，pHlg10-77，所以，纯净水的pH值是74. 设函数f（x）lg（axbx），（a1b0），问：当a，b满足什么关系时，f（x）在（1，）上恒取正值？解：当x（1，）时，lg（axbx）0恒成立axbx1恒

8、成立令g（x）axbxa1b0，g（x）在（0，）上是增函数，当x1时，g（x）g（1）ab，当ab1时，f（x）在（1，）上恒取正值练习1. 求函数y的定义域2. 比较log0.50.2与log0.50.3的大小3. 函数ylg（x22x）的增区间是 _ 4. 已知a0，且a1，则在同一直角坐标系中，函数ya-x和yloga（x）的图像有可能是（）5. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现，一岁鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是ms，其中Q表示鲑鱼的耗氧量（1）当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是多少？（2）计算一条鲑鱼的最低耗氧量四、拓展延伸1.

9、 作出对数函数ylogax，（a1）与ylogax，（0a1）的草图2. 说出指数函数与对数函数的关系以指数函数y2x与对数函数ylog2x为代表加以说明（1）对数函数ylog2x是把指数函数y2x中自变量与因变量对调位置而得出的教师明晰：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量我们称这两个函数互为函数函数yf（x）的反函数记作：yf-1（x）对数函数ylog2x与指数函数y2x互为反函数（2）对数函数ylog2x与指数函数y2x的图像关于直线yx对称（3）指数函数与对数函数对照表表12-2点评这篇案例首先通过细胞分裂问题说明了对数函数的意义，这样安排既有利于学生理解对数函数的概念，又有利于学生了解了它与指数函数的关系其次通过画具体的对数函数的图像，归纳总结出对数函数的性质，体现了由特殊到一般的认识规律，知识传授较为自然性质的列举模仿了指数函数的性质通过对比，便于学生理解、记忆例题、练习的选配注意了题目的代表性，并且由易到难，注重学生解题能力的提高拓展延伸侧重于指数函数与对数函数的图像、性质方面的关系，加深了学生对这两个函数的理解，并使学生从中了解了反函数的概念