正切与坡度

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1、11锐角三角函数问题2：如何描述图中台阶的倾斜程度？除已知：如图，在由边长为1的小正方形组第1课时正切与坡度1. 理解正切的意义，并能举例说明；（重点）2. 能够根据正切的概念进行简单的计算；（重3. 能运用正切、坡度解决问题.（难点）一、情境导入观察与思考：某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不 同坡度的台阶.问题1：图中的台阶哪个更陡？你是怎么判 断的？方法一：通过测量BC与AC的长度算出它们 的比，来说明台阶的倾斜程度；方法二：在台阶斜坡上另找一点B1，测出B1C1 与AC1的长度，算出它们的比，也能说明台阶的倾 斜程度.你觉得上面的方法正确吗？二、合作探究探究点一：正切类型一】 根据

2、正切的概念求正切值分别求出图中ZA、ZB的正切值（其中 ZC=90 ）.由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两 个锐角的正切值互为.解析：根据勾股定理求出需要的边长，然后利 用正切的定义解答即可.16 412 3解：如图，tanZA = 12 =3，tanZB=16=4；如图，BC=J732552=48, tanZA=55，tan ZB =55=48-因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒 数.方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用 勾股定理求出需要的边长，根据锐角三角函数的定 义求出对应三角函数值即可.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩 固提升”第1题类型二】 在网格中求正切值成的网格

3、中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶 点上，求tanZADC的值.解析：先证明ACDABCE,再根据tanZADC =tanZBEC即可求解.解：根据题意可得AC=BC=j 12+22=1；5，CD = CE=12+32=/10, AD=BE=5,A4CD9A BCE(SSS). AZ ADC =Z BEC. A tan Z ADC = tan Z1BEC=3方法总结：三角函数值的大小是由角度的大小 确定的，因此可以把求一个角的三角函数值的问题 转化为另一个与其相等的角的三角函数值.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩 固提升”第3题类型三】 构造直角三角形求三角函数值AC，D为AC的中点

4、，求tanZABD的值.解析：设AC=BC=2a，根据勾股定理可求得AB=;2a,再根据等腰直角三角形的性质，可得DE:.BE与AE的长，根据线段的和差，可得BE的长，根 据正切三角函数的定义，可得答案.解：如图，过D作DE丄AB于E.设AC=BC= 2a,根据勾股定理得AB=2Oa由D为AC中点， 得 AD=a.由/A=/ABC=45，又 DE丄AB,得2 ADE是等腰直角三角形，.DE=AE=*,.BE 至區/ DE 1 =AB-AE= 2，tan/ABD=BE = 3.方法总结：求三角函数值必须在直角三角形中 解答，当所求的角不在直角三角形内时，可作辅助 线构造直角三角形进行解答.变式训

5、练：见学练优本课时练习“课后巩 固提升”第7题探究点二：坡度类型一】利用坡度的概念求斜坡的坡度（坡 比）堤的横断面如图.堤高BC是5米，迎水 斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是（）A. 1 ： 3B. 1 : 2.6 C. 1 : 2.4 D. 1 ： 2解析：由勾股定理得AC=12米.则斜坡AB 的坡度=BC : AC=5 : 12=1 : 2.4.故选 C.方法总结：坡度是坡面的铅直髙度h和水平宽 度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜 坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1 : m的 形式.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达Ae 3AB 的坡度为 3 :3,.tan/A

6、BE=BE= p3, BE=4m.JBC= 14m,. EF=BC BECF=14 -4-,l3 = 10-,3（m）.VAD=EF,AAD = 10- 4朽 3.1（m）.所以，它的上底的长约为3.1m.方法总结：考查对坡度的理解及梯形的性质的 掌握情况解决问题的关键是添加辅助线构造直角 三角形.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩 固提升”第8题三、板书设计正切与坡度1.正切的概念/A的对边在直角三角形ABC中，tanA = /a的邻边2 坡度的概念坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，也就 是坡角的正切值.在教学中，要注重对学生进行数学学习方法的指 导.在数学学习中，有一些学生往往不注重基

7、本概 念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往 往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题 目.通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进 行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解和掌握 基本概念、基础知识呦5m,已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底 BC长14m，斜坡AB的坡度为3 ：_占，另一腰CD 与下底的夹角为45，且长为4”T6m,求它的上底 的长（精确到0.1m，参考数据：V21.414,霸 1.732）.解析：过点A作AELBC于E,过点D作 DF丄BC于F,根据已知条件求出AE=DF的值， 再根据坡度求出BE,最后根据EF=BCBEFC 求出AD.解：过点A作AE丄BC,过点D作DF丄BC， 垂足分别为E、F.：CD与BC的夹角为45, / DCF=45, /CDF=45 .VCD=.6m, :.DF = CF=26 = ,3（m）,AAE=DF=4V3m. J斜坡