高中物理奥林匹克竞赛专题相对论习题

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1、 例题例题1.两个惯性系中的观察者两个惯性系中的观察者O和和O以以 0.6c 的相对速的相对速度互相接近。如果测得两者的初始距离是度互相接近。如果测得两者的初始距离是 20 m，则则O测得两者经过时间测得两者经过时间 t=_s 后相遇。后相遇。OOL=20 m0.6c0.6cm 16122cvLL18sm 1036.0m 16vLts1089.88A例例2：例例3：某宇宙飞船以某宇宙飞船以 0.8c 的速度离开地球，若地的速度离开地球，若地球上接收到它发出的两个信号之间的时间间隔为球上接收到它发出的两个信号之间的时间间隔为 10 s，则宇航员测出的相应的时间间隔为：则宇航员测出的相应的时间间隔

2、为：（A）6 s （B）8 s（C）10 s （D）16.7 ss6 8.01s10020tt例例4：一火箭的固有长度为一火箭的固有长度为 L，相对于地面匀速直线相对于地面匀速直线运动的速率为运动的速率为 v1，火箭上的人从火箭后端向位于前火箭上的人从火箭后端向位于前端的靶发射子弹，子弹相对于火箭的速率为端的靶发射子弹，子弹相对于火箭的速率为 v2，在，在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：2211122211)D()C()B()A(cvvLvvLvLvvL例例5：宇宙飞船相对地球以宇宙飞船相对地球以 0.8c 飞行，一光脉冲从飞行，一光脉冲从船

3、尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长 90 m，地球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件地球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件的空间间隔是：的空间间隔是：（A）30 m （B）54 m （C）270 m （D）90 mm)(54906.01220cvll设飞船系为设飞船系为S，地球系为地球系为S，由尺缩效应由尺缩效应错！错！在在地球系中，地球系中，“光脉冲从船尾发出光脉冲从船尾发出”与与“光脉冲到达光脉冲到达船头船头”不同时，所以，这两个事件的空间间隔不是不同时，所以，这两个事件的空间间隔不是地球系地球系中测得的飞船长度。中测得的飞船长度。解：解

4、：ctx9090m)(2708.01)908.090(12ccctxxvv地球系中地球系中飞船系中飞船系中 例例5：宇宙飞船相对地球以宇宙飞船相对地球以 0.8c 飞行，一光脉冲从飞行，一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长 90 m，地球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件地球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件的空间间隔是：的空间间隔是：（A）30 m （B）54 m （C）270 m （D）90 m例例6：地面上一个短跑选手用：地面上一个短跑选手用 10 s 跑完跑完 100 m，问在问在与运动员同方向上以与运动员同方向上以 v=0

5、.6c 运动的飞船中观测，这运动的飞船中观测，这个选手跑了多长距离？用了多少时间？个选手跑了多长距离？用了多少时间？思考：有原时和原长吗？思考：有原时和原长吗？事件事件1：起跑起跑事件事件2：到终点到终点地球系地球系 S飞船系飞船系 S（x1，t1）（x1，t1）（x2，t2）（x2，t2）两事件的空间间隔两事件的空间间隔两事件的时间间隔两事件的时间间隔原长原长非原时非原时非原时非原时非观测长度非观测长度例例6：地面上一个短跑选手用：地面上一个短跑选手用 10 s 跑完跑完 100 m，问在问在与运动员同方向上以与运动员同方向上以 v=0.6c 运动的飞船中观测，这运动的飞船中观测，这个选手跑

6、了多长距离？用了多少时间？个选手跑了多长距离？用了多少时间？由洛仑兹变换得由洛仑兹变换得s5.12)1006.010()6.0(11)(222ccccxcvttm1025.2)106.0100(25.1)(9ctvxx解：解：在飞船中的观察者看来，选手用在飞船中的观察者看来，选手用 12.5 秒时间反向跑了秒时间反向跑了 2.25109 米。米。例例7：一宇宙飞船的船身固有长度为一宇宙飞船的船身固有长度为 L0=90 m，相对地相对地面以匀速率面以匀速率 v=0.8c 在一观测站的上空飞过。求：在一观测站的上空飞过。求：（1）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔；）观测站测得飞船的船身通过

7、观测站的时间间隔；（2）宇航员测得飞船的船身通过观测站的时间间隔。）宇航员测得飞船的船身通过观测站的时间间隔。（2）宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔)s(1075.31038.0907800vLt解：解：（1）由相对论效应，观测站测出船身的长度为由相对论效应，观测站测出船身的长度为)m(548.0190)(1220cLLv观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔(s)1025.21038.05478vLt例例8：在惯性系：在惯性系K中，有两个事件同时发生在中，有两个事件同时发生在x轴上相距轴上相距 1000m的

8、两点，而在另一惯性系的两点，而在另一惯性系K（沿沿 x 轴方向相对轴方向相对于于K系运动）中测得这两个事件发生的地点相距系运动）中测得这两个事件发生的地点相距2000m.求在求在K系中测这两个事件的时间间隔。系中测这两个事件的时间间隔。解：解：tvxx由洛仑兹变换得：由洛仑兹变换得：xcvtt2m2000,0,m1000 xtx2 xxcvcv23 2)(11)s(1077.51031000232)(682212cxvxcvtttt解法二解法二 由由“洛仑兹不变量洛仑兹不变量”得：得：2222)()()()(tcxtcxm2000,0,m1000 xtxs1077.56t例例9：（本题（本题5

9、分）分）4368 在在 K 惯性系中观测到相距惯性系中观测到相距 x=9108 m 的两地的两地点相隔点相隔 t=5 s 发生两事件，而在相对于发生两事件，而在相对于 K 系沿系沿 x 方方向以匀速度运动的向以匀速度运动的 K系中发现此两事件恰好发生在系中发现此两事件恰好发生在同一地点。试求在同一地点。试求在 K系中此两事件的时间间隔。系中此两事件的时间间隔。21ctxxvv解：设两系的相对速度为解：设两系的相对速度为 v txxv 0 xcvtt2tvcvt2221cvt可直接得到，因为可直接得到，因为t是原时。是原时。21222)()(cxts 4解法二解法二 由由“洛仑兹不变量洛仑兹不变

10、量”得：得：2222)()()()(tcxtcx例例10：（本题（本题5分）分）4378 火箭相对于地面以火箭相对于地面以 v=0.6c（c 为真空中光速）为真空中光速）的匀速度向上飞离地球。在火箭发射后的匀速度向上飞离地球。在火箭发射后t=10 s 时时（火箭上的钟），该火箭向地面发射一导弹，其速（火箭上的钟），该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地面为度相对于地面为 v1=0.3c，问火箭发射后多长时间，问火箭发射后多长时间，导弹到达地球？（地球上的钟）。计算中假设地面导弹到达地球？（地球上的钟）。计算中假设地面不动。不动。解：解：按地球的钟，导弹发射的时间是在火箭发射后按地球的钟，导弹发

11、射的时间是在火箭发射后 s 5.12121cvtt3分分 这段时间火箭在地面上飞行距离：这段时间火箭在地面上飞行距离：1tvS则导弹飞到地球的时间是：则导弹飞到地球的时间是：s 251112tvvvSt1分分 那么从火箭发射后到导弹到达地面的时间是：那么从火箭发射后到导弹到达地面的时间是：s 5.37255.1221ttt1分分 例题例题11 设电子静止质量为设电子静止质量为 m0，将一个电子从将一个电子从 0.6c加速到速率为加速到速率为 0.8c，需作功需作功_。1kk2EEA)6.01()8.01(2022020220cmcmcmcm0.128MeV例题例题12：北京和上海直线相距北京和

12、上海直线相距 1 000 km，在某一在某一时刻从两地同时各开出一列火车。现有一飞船沿从时刻从两地同时各开出一列火车。现有一飞船沿从北京到上海的方向在高空掠过，速率恒为北京到上海的方向在高空掠过，速率恒为 v=9 km/s.求宇航员测得的两列火车开出时刻的间隔，求宇航员测得的两列火车开出时刻的间隔，哪一列先开出？哪一列先开出？北京北京 x1上海上海 x2 x地面地面 S 系系飞船飞船飞船系：由洛仑兹变换得飞船系：由洛仑兹变换得s 10/1 7221221212cvxxcvttttm 10612xxx012ttt上海先发车。上海先发车。例例13：一位宇航员乘一艘火箭飞船以一位宇航员乘一艘火箭飞船

13、以 0.6c 的速度飞过的速度飞过地球，同时校准他的时钟与地球时钟均指正午地球，同时校准他的时钟与地球时钟均指正午12点。按点。按照宇航员的测定，火箭飞船在午后照宇航员的测定，火箭飞船在午后12点点30分通过一个相分通过一个相对地球静止不动的空间站，并用无线电向地球报告。对地球静止不动的空间站，并用无线电向地球报告。（1）此时，空间站的时钟指的是什么时间？）此时，空间站的时钟指的是什么时间？（2）宇航员测定地球到空间站的距离是多少？）宇航员测定地球到空间站的距离是多少？（3）地球上观测者测定地球到空间站距离是多少？）地球上观测者测定地球到空间站距离是多少？（4）地球上收到无线电讯号，地球上是什

14、么时间？）地球上收到无线电讯号，地球上是什么时间？（5）地球上收到无线电讯号，飞船上是什么时间？）地球上收到无线电讯号，飞船上是什么时间？例题例题13：一位宇航员乘一艘火箭飞船以一位宇航员乘一艘火箭飞船以 0.6c 的速度飞过地球，的速度飞过地球，同时校准他的时钟与地球时钟均指正午同时校准他的时钟与地球时钟均指正午12点。按照宇航员的测点。按照宇航员的测定，火箭飞船在午后定，火箭飞船在午后12点点30分通过一个相对地球静止不动的空分通过一个相对地球静止不动的空间站，并用无线电向地球报告。间站，并用无线电向地球报告。（1）此时，空间站的时钟指的是什么时间？（）此时，空间站的时钟指的是什么时间？（

15、2）宇航员测定）宇航员测定地球到空间站的距离是多少？地球到空间站的距离是多少？解：（解：（1）火箭飞船测得为原时）火箭飞船测得为原时 min5.376.01301222cvtt火箭空间站空间站上时钟为空间站上时钟为午后午后12点点37.5分分（2）宇航员测得距离）宇航员测得距离=min/s60min30m/s1036.08m1024.311火箭tv 例题例题13：一位宇航员乘一艘火箭飞船以一位宇航员乘一艘火箭飞船以 0.6c 的速度飞过地球，的速度飞过地球，同时校准他的时钟与地球时钟均指正午同时校准他的时钟与地球时钟均指正午12点。按照宇航员的测点。按照宇航员的测定，火箭飞船在午后定，火箭飞船

16、在午后12点点30分通过一个相对地球静止不动的空分通过一个相对地球静止不动的空间站，并用无线电向地球报告。间站，并用无线电向地球报告。（3）地球上观测者测定地球到空间站距离是多少？）地球上观测者测定地球到空间站距离是多少？（4）地球上收到无线电讯号，地球上是什么时间？）地球上收到无线电讯号，地球上是什么时间？解：（解：（3）地球上观测者测得距离）地球上观测者测得距离=空间站tvmin/s60min5.37m/s1036.08m1005.411（4 4）按地球上的钟，讯号传播所需时间）按地球上的钟，讯号传播所需时间=距离距离/速度速度 min5.22s/min60m/s103m1005.4811

17、午后午后12点点37.5分分+22.5分分=午后午后1点点 地球上收到讯号地球上收到讯号 例题例题13：一位宇航员乘一艘火箭飞船以一位宇航员乘一艘火箭飞船以 0.6c 的速度飞过地球，的速度飞过地球，同时校准他的时钟与地球时钟均指正午同时校准他的时钟与地球时钟均指正午12点。按照宇航员的测点。按照宇航员的测定，火箭飞船在午后定，火箭飞船在午后12点点30分通过一个相对地球静止不动的空分通过一个相对地球静止不动的空间站，并用无线电向地球报告。间站，并用无线电向地球报告。（5）地球上收到无线电讯号，飞船上是什么时间？）地球上收到无线电讯号，飞船上是什么时间？解：（解：（5）按飞船上的钟，讯号传播所

18、需时间按飞船上的钟，讯号传播所需时间=距离距离/速度速度min18s/min60m/s103m1024.3811宇航员测得，午后宇航员测得，午后12点点30分分+18分分=午后午后12点点48分分 地球收到讯号。地球收到讯号。A 在地面参照系在地面参照系S中看，中看，火车长度要缩短。隧道火车长度要缩短。隧道A端端的闪电不会在火车的的闪电不会在火车的a端留端留下痕迹下痕迹。在火车参照系在火车参照系S 中，隧道长度缩短。但隧道的中，隧道长度缩短。但隧道的B端与端与火车火车b端相遇这一事件与隧道端相遇这一事件与隧道A端发生闪电的事件不是同时端发生闪电的事件不是同时的，而是的，而是B端先与端先与b端相

19、遇，而后端相遇，而后A处发生闪电，隧道处发生闪电，隧道B端与端与火车火车b端相遇这一事件与端相遇这一事件与A端发生闪电事件的时间差端发生闪电事件的时间差 t 为为 22201/cucult222201/cucultuS移动的距离为移动的距离为 当当A端发生闪电时，火车的端发生闪电时，火车的a端已进入隧道内，所端已进入隧道内，所以闪电仍不能击中以闪电仍不能击中a端。端。隧道隧道B端与火车端与火车b端相遇时，火车露在隧道外端相遇时，火车露在隧道外面的长度为面的长度为)11(2200cullll答案：答案：BC145tan30tan22yycvxxxyxyC22135cvBD220202120cvm

20、mcMmcVMVmvmv能量守恒：动量守恒：220012cvmM选择题选择题7.一个电子的运动速度一个电子的运动速度 v=0.99c，它的它的动能是：（电子的静止能量为动能是：（电子的静止能量为 0.51 MeV）（A）3.5 MeV （B）4.0 MeV（C）3.1 MeV （D）2.5 MeV 202kcmmcEJ 106.1eV 1192201cvmmC2mcE A物理定律对所有惯性系都是一样的，即所有惯性系对一切物理定律等价；在所有惯性系中，真空中的光速相同，且与光源运动无关；运动 相对 缩短 慢 2：在在 S 系中系中 x 轴上距离为轴上距离为 x 的两处有两个同步钟的两处有两个同步

21、钟 A 和和 B，在在 S 系中系中 x 轴上有一个相同的钟轴上有一个相同的钟 A 。设设 S 系相对于系相对于 S 系系沿沿 x 方向匀速运动，速度为方向匀速运动，速度为 v，且当且当 A 与与 A 相遇时，两钟相遇时，两钟的读数均为零。的读数均为零。那么，当那么，当 A 钟与钟与 B 钟相遇时，钟相遇时，S 系中系中 B 钟的读数是钟的读数是 ；此时此时S 系中系中A 钟的读数是钟的读数是 。xyABxyA xyA AB xvxvxttB2：在在 S 系中系中 x 轴上距离为轴上距离为 x 的两处有两个同步钟的两处有两个同步钟 A 和和 B，在在 S 系中系中 x 轴上有一个相同的钟轴上有

22、一个相同的钟 A 。设设 S 系相对于系相对于 S 系系沿沿 x 方向匀速运动，速度为方向匀速运动，速度为 v，且当且当 A 与与 A 相遇时，两钟相遇时，两钟的读数均为零。的读数均为零。那么，当那么，当 A 钟与钟与 B 钟相遇时，钟相遇时，S 系中系中 B 钟的读数是钟的读数是 ；此时此时S 系中系中A 钟的读数是钟的读数是 。xyxyA AB xvxvxcv 221xyA AB2)/(1cvtt2C)/(1cvvxtt填空题填空题3.一列高速火车以速率一列高速火车以速率 u 驶过车站，站台驶过车站，站台上的观察者甲观察到固定于站台、相距上的观察者甲观察到固定于站台、相距 1m 的两只的两

23、只机械手在车厢上同时划出两个痕迹，求车厢上的观机械手在车厢上同时划出两个痕迹，求车厢上的观察者乙测出两个痕迹间的距离为多少？察者乙测出两个痕迹间的距离为多少？思考：哪个长度为原长？思考：哪个长度为原长？把把“火车上的痕迹火车上的痕迹”看成看成“一把尺一把尺”，在站台系，在站台系中，两端同时测量得中，两端同时测量得 L1m，这一长度为这一长度为“非原非原长长”。“火车上的痕迹火车上的痕迹”在在车厢系中的长度为原车厢系中的长度为原长长)m(11220cuLLlsm甲222211cvllcvmmslm乙lsm925乙s1033.48.01106.2182822cvt填空题填空题6.（1）在速度）在速

24、度 v=_情况下粒子的动量情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍。等于非相对论动量的两倍。（2）在速度）在速度 v=_情况下粒子的动能情况下粒子的动能等于它的静止能量。等于它的静止能量。202kcmmcEvmpEinstein200cmE vmp0Newtonc23c23填空题填空题7.在实验室中，有一个以速率在实验室中，有一个以速率 0.5c 飞行的飞行的原子核，此核沿着它的运动方向以相对于核为原子核，此核沿着它的运动方向以相对于核为 0.8c的速度射出一电子，同时还向反方向发射一光子，的速度射出一电子，同时还向反方向发射一光子，实验室中的观察者测得电子的速率为实验室中的观察者测得电子的速率

25、为_，光子的速率为光子的速率为_。0.8cK0.5cc21cvuvuuxxx25.08.015.08.0ccccc0.93cc填空题填空题8 设电子静止质量为设电子静止质量为 m0，将一个电子从将一个电子从 静静止加速到速率为止加速到速率为 0.6c，需作功需作功_。1kk2EEA20202022020202020.6c418.02.06.01)()(cmcmcmcmcmcmcmcm0.128MeV解：解：题中计算时，应用了伽利略速度变换式求两把尺子的相对题中计算时，应用了伽利略速度变换式求两把尺子的相对速度，即速度，即0002)(vvvv这显然是错误的。应采用相对论速度变换式求相对速度，即这

26、显然是错误的。应采用相对论速度变换式求相对速度，即220020000vvvvvvvcc121202202021222200021201211vvvvvccLccLcLL计算题计算题2：在惯性系在惯性系 K 中，测得某两个事件发生在同中，测得某两个事件发生在同一个地点，时间间隔为一个地点，时间间隔为 4 s.在另一个惯性系在另一个惯性系 K中，中，测得这两个事件发生的时间间隔为测得这两个事件发生的时间间隔为 6 s.求：在求：在 K系中这两个事件的空间间隔。系中这两个事件的空间间隔。解：解：tvxx由洛仑兹变换得：由洛仑兹变换得：xcvtt2=0=4=623tvxcv35410335238m 1

27、05682222)()()()(tcxtcx计算题计算题3：在宇宙飞船上的人从飞船的后面向前面的靶在宇宙飞船上的人从飞船的后面向前面的靶子发射一颗高速子弹，子弹相对飞船的速度是子发射一颗高速子弹，子弹相对飞船的速度是 0.8c，此，此人测得飞船长人测得飞船长60m.求：当飞船对地球以求：当飞船对地球以 0.6c 的速度运的速度运动时，地球上的观察者测得子弹飞行的时间是多少？动时，地球上的观察者测得子弹飞行的时间是多少？解：解：地球系地球系S，飞船系飞船系S，v=0.6c.m 60 x0.8cxt606.08.060)6.0(1111222222cccccxctctvv两事件：子弹发射、子弹中靶两事件：子弹发射、子弹中靶s1063.47解：解：(1)20202202220091.0)14.011(1cmcmcmcvcmEk20202202220667.0)18.011(41cmcmcmcvcmEk33.7091.0667.0kkEE06.3411214122222220220cvcvcvvmcvvmPP42.2)144.0100()144.0(1010010144.04.04.0112202220222022202220222022202220020220cmcmcmPcmPcmPPccmPcPvvcmPPcvcvvmPcmcmvcvmmvP解：解：(1)