2723相似三角形的周长与面积

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1、相似三角形的相似三角形的,各对应边各对应边。对应角相等对应角相等成比例成比例1.三角形相似的判定方法有那些？三角形相似的判定方法有那些？两个角对应相等两个角对应相等的两个三角形相似。的两个三角形相似。两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。的两个三角形相似。三边对应成比例三边对应成比例的两个三角形相似。的两个三角形相似。2.相似三角形的有哪些性质相似三角形的有哪些性质?3.相似三角形还有哪些性质相似三角形还有哪些性质?预备定理预备定理平行线构成的三角形与原三角形相似。平行线构成的三角形与原三角形相似。定义定义三个对应角相等，三条对应边的比相等。三个对应角相等，三条对应

2、边的比相等。（不常用）（不常用）常常 用用如果两个三角形相似，它如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？两个相似多边形呢？如果如果ABCABC，相似比为，相似比为k，那么，那么kACCACBBCBAAB因此因此ABk AB，BCkBC，CAkCA从而从而kACCBBAAkCCkBBkAACCBBACABCABABCABC相似多边形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比得到：得到：相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。等。已知：如图，已知：

3、如图，ABC ABC,ABC与与ABC的相似比是的相似比是k，AD、AD是对应高是对应高求证：求证：=kADADABCDABCD证明：证明：ABCABC B=B 又又ADBC,ADBCADB=ADB=90ABDABD kBAABDAAD如图，如图，ABCABC，相似比为，相似比为k，AD，AD分别是边分别是边BC、BC上的中线，求证上的中线，求证kDAADCABCDABD思考：思考：若若AD，AD改为角平分线呢改为角平分线呢ABCABCDD相似三角形对应相似三角形对应高高的比等于相似比的比等于相似比结论结论:相似三角形对应相似三角形对应中线中线的比等于相似比的比等于相似比结论结论:相似三角形对

4、应相似三角形对应角平分线角平分线的比等于相似比的比等于相似比探究探究（1）如图，）如图，ABCABC，相似比为，相似比为k1，它们的面积比，它们的面积比是多少？是多少？ABCABCDD如图，分别作出如图，分别作出ABC和和ABC的高的高AD和和AD ADB=A/D/B/BB ABDABDkBAABDAAD 2121 DACBADBCSSCBAABC22121kDACBDAkCBk这样，得到：这样，得到：相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方探究探究（2）如图，四边形）如图，四边形ABCD相似于四边形相似于四边形ABCD，相似比为，相似比为k2，它们的面积比是多少？

5、，它们的面积比是多少？ABCDABCD则则ABCABC，ADCACD，相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方分别连接分别连接AC，AC2ABCA B CSkS2ACDA C DSkS2ABCA B CSk S2ACDA C DSk S2ABCACDA B CA C DSSkSS2 =kABCDABCDSS四边形四边形例例6.如图，在如图，在ABC和和DEF中，中，AB2DE，AC2DF，AD，ABC的周长是的周长是24，面积是，面积是48，求，求DEF的周长的周长和面积和面积解：在解：在ABC和和DEF中，中，AB2DE，AC2DF21ACDFABDE又又 DA

6、DEFABC，相似比为，相似比为21ABCDEFADE11,=L=122242ADEADEABCLLL11=124484ADEADEADEABCSSSS 例题分析例题分析相似三角形的性质相似三角形的性质对应角相等对应角相等对应边成比例对应边成比例对应高的比，对应中线的比、对应对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比角平分线的比都等于相似比.相似比等于对应边的比相似比等于对应边的比周长的比等于相似比周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方面积的比等于相似比的平方归纳归纳1.判断判断（1）一个三角形的各边长扩大为原来的）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个倍，这个三角形的周长也

7、扩大为原来的三角形的周长也扩大为原来的5倍；倍；（2）一个四边形的各边长扩大为原来的）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个倍，这个四边形的面积也扩大为原来的四边形的面积也扩大为原来的9倍倍练习练习（1）一个三角形各边扩大为原来）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为倍，相似比为1：51 55原周长扩大 倍周长扩大扩大5倍周长倍周长5原周长原周长解：解：一个三角形各边扩大为原来一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为倍，相似比为1：92199SS原四边形扩大 倍四边形边长扩大边长扩大9倍四边形倍四边形81倍原四边形的的面积倍原四边形的的面积（2）一个四边形的各边长扩大为原来的）一个四边形的各边

8、长扩大为原来的9倍，这个四边倍，这个四边形的面积也扩大为原来的形的面积也扩大为原来的9倍倍2.把一个三角形变成和它相似的三角形，把一个三角形变成和它相似的三角形，（1）如果面积扩大为原来的）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的倍，那么边长扩大为原来的_倍。倍。（2）如图在等边三角形）如图在等边三角形ABC中，点中，点D、E分别在分别在AB、AC边上，且边上，且DEBC,如果如果BC=8cm,AD:AB=1:4,那么那么ADE的周长等于的周长等于_cm。3.两个相似三角形的一对对应边分别是两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和厘米和14 厘米，厘米，（1）它们的周长差）它们的周

9、长差60厘米，这两个三角形的周长分别是厘米，这两个三角形的周长分别是。（2）它们的面积之和是）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分平方厘米，这两个三角形的面积分别是别是_。ADEBC4.如图，如图，ABCABC，他们的周长分别为，他们的周长分别为60cm和和72cm，且且AB=15cm，BC=24cm，求，求BC、AC、AB、AC的长的长解解：ABCABC60157218k1518ABA B181815181515A BAB1518BCB C15 242018BC60 152025AC72 182430A C ABCABC5.蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是蛋糕店制作两种圆形蛋

10、糕，一种半径是15cm,一种半径一种半径是是30cm，如果半径是，如果半径是15cm的蛋糕够的蛋糕够2个人吃，半径是个人吃，半径是30cm的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同）的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同）解解：两块蛋糕是相似的两块蛋糕是相似的相似比是相似比是1：2面积的比为面积的比为211:42设半径是设半径是30cm的蛋糕够的蛋糕够x人吃人吃1：42：xx=8答：半径是答：半径是30cm的蛋糕够的蛋糕够8个人个人吃吃6.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的图中的2cm变成了变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？，这

11、次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？这个多边形的面积发生了怎样的变化？6321解：解：放缩比例为放缩比例为面积发生了面积发生了23911SS变化原图9SS变化原图7.如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，米，桌面距离地面为桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影米，则地面上阴影部分的面积为多少？部分的面积为多少？FEDCBALLFFBH8.8.某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路

12、旁边某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为原有一个面积为100100平方米，周长为平方米，周长为8080米的三角形绿化地，米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边绿化地一边ABAB的长由原来的的长由原来的3030米缩短成米缩短成1818米米.现在的问题是现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？DE30m18mBCA9.ABC中，中，DEBC，EFAB，已知，已知ADE和和EFC的面积分别为的面积分别为4和和9，求，求ABC的面积。的面积。FEDCBA