必修2数学知识点和例题

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1、第1讲 第1章 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征知识要点：结 构 特 征图例棱柱（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；（2）侧棱平行且相等.圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴；（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；（2）各侧面有一个公共顶点.圆锥（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.圆台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平

2、行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.1.下列说法错误的是（ ）A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 答案：D2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_ cm. 答案：123.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是_.答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥第2讲 1.1.2 简单组合体的结构特征例题精讲：【例1】在四棱锥

3、的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 选D.【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为，求球的半径. 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R+r，梯形的高即球的直径为，所以，球的半径为.第3讲 1.2.2 空间几何体的三视图例题精讲：【例1】画出下列各几何体的三视图：解：【例2】画出下列三视图所表示的几何体.解：【例3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm），所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图.解第第4讲 1.2.3 空间几何体的直观图知识要点：“直观图”最常用的画法是斜

4、二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系，直观图中画成斜坐标系，两轴夹角为.(2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x或y轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.第5讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.知识要点：表面积相关公式表面积相关公式棱柱圆柱

5、 （r：底面半径，h：高）棱锥圆锥 （r：底面半径，l：母线长）棱台圆台（r：下底半径，r：上底半径，l：母线长）例题精讲：【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.解：.第6讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积知识要点：1. 体积公式：体积公式体积公式棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系： .例题精讲：【例1】一个

6、长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .解：设长方体的长宽高分别为，则，三式相乘得.所以，长方体的体积为6.【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域. 解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为.在中，, 所以, 于是.依题意函数的定义域为.【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .解：容器中水的体积为.流出水

7、的体积为，如图，.设圆柱的母线与水平面所成的角为，则，解得.第7讲 1.3.2球的体积和表面积知识要点：1. 表面积： （R：球的半径）. 2. 体积：.例题精讲：【例2】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积.解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，又，.【例3】设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）. ABCD【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一个小圆上. AB=BC=CD=DA=3， 四边形为正方形. 小圆半径. 由得，解得. 球的体积. 所以选A.第8讲 2.

8、1.1 平面知识要点：1. 点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作.2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言3.公理2的三条推论：推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.例题精讲：【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,

9、那么这三条直线是否共面？【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点. 解：PEF，EF面ABC，P面ABC. 同理P面ADC. P在面ABC与面ADC的交线上，又 面ABC面ADC=AC， PAC，即EF、HG、AC三线共点.【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线两两相交，交点分别为，求证：直线共面. 证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面 因为A，B，所以AB 同理BC ，AC .所以AB，BC，CA三直线共面【例4】在正方体中，（1

10、）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线. 解：（1）在正方体中， 由公理2的推论可知，与可确定平面，与在同一平面内. （2）点不共线，由公理3可知，点可确定平面， 点在同一平面内. （3）， 点平面，平面，又平面，平面， 平面平面，同理平面平面第9讲 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系知识要点：1.空间两条直线的位置关系：2. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成

11、的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.例题精讲：【例1】已知异面直线a和b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30的直线有且仅有（ ）. A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条解：过P作a，b，若Pa，则取a为，若Pb，则取b为这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50和130. 记，所确定的平面为，那么在平面内，不存在与，都成30的直线 过点P与，都成30角的直线必在平面外，这直线在平面的射影是，所成对顶角的平分线其中射影是50对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130对顶角平分线的直线不存在故

12、答案选B.【例2】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.证明：（1） 正方体中，. 又 中，E、F为中点， . , 即D、B、F、E四点共面.（2） ， .又 ， ， . 即P、Q、R三点共线【例3】已知直线a/b/c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明：因为a/b，由公理2的推论，存在平面，使得.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则, 在平面内过点C作，因为b/c，

13、则，此与矛盾. 故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.【例4】如图中，正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45， AB1 和CC1所成的角是45.（2）如图，连结DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直线AB1和EF所成的角. A1DC1是等边三角形， A1DC1=60，即直线AB1和EF所成的角是60.第10讲 2.1.3 直线与平面、平面

14、与平面位置关系知识要点：1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：；.2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作；.例题精讲：【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小. 解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PNAB，PMCD，于是MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2， PM=PN=1.而AN=DN=，由MNAD，AM=1

15、，得MN=，MN2=MP2+NP2，MPN=90.异面直线AB、CD成90角.【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.解：四边形EFGH是平行四边形， =2=.ABCDEFGH【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. 证明：（1） 在ABD和CBD中， E、H分别是AB和CD的中点， EHBD.又 ， FGBD. EHFG. 所以，E、F、G、H四点共面.第11讲

16、 2.2.1 直线与平面平行的判定知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：. 图形如右图所示.例题精讲：【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF平面PEC证明：设PC的中点为G，连接EG、FG. F为PD中点， GFCD且GF=CD. ABCD， AB=CD， E为AB中点， GFAE， GF=AE， 四边形AEGF为平行四边形. EGAF， 又 AF平面PEC， EG平面PEC， AF平面PEC.【例2】在正方体ABCD-A1B

17、1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF平面BB1D1D. 证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OEDC， OE=DC. DCD1C1， DC=D1C1 ， F为D1C1的中点，ABC D E F GM O OED1F， OE=D1F， 四边形D1FEO为平行四边形. EFD1O. 又 EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， EF平面BB1D1D.【例3】如图，已知、分别是四面体 的棱、的中点，求证：平 面. 证明：如右图，连结，交于点，连结，在中，、分别是、中点， ，为中点， 为中点，在中，、为、中点， ，又平面，平面， 平面.点评：要证明直线和平面平行，只

18、须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN/平面PAD；（2）若，求异面直线PA与MN所成的角的大小.解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点， NH. 由M是AB的中点， NHAM， 即AMNH为平行四边形. . 由， .（2） 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON， OMBC，ONPA， 所以就是异面直线PA与MN所成的角，且MONO. 由，, 得OM=2，ON=所以，即异面直线PA与MN成30的角点评：已知中点，牢牢抓住中位

19、线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.第12讲 2.2.2 平面与平面平行的判定知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行用符号表示为：.例题精讲：【例1】如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD.A1AB1BC1CD1DGEF证明：连结B1D1，P、N分别是D1C1、B1C1的中点， PNB1D1.又B1D1BD，PNBD. 又PN不在平面A1BD上，PN

20、平面A1BD.同理，MN平面A1BD. 又PNMN=N， 平面PMN平面A1BD.【例2】正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求证：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD 证明：（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFNMPDCQBADF平面EB1D1平面EB

21、1D1平面FBD 【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求证：平面MNQ平面PBC. 证明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. MQ/AD，NQ/BP，而BP平面PBC，NQ 平面PBC, NQ/平面PBC.又ABCD为平行四边形，BC/AD， MQ/BC，而BC平面PBC，MQ 平面PBC, MQ/平面PBC.由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理， 平面MNQ平面PBC.点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为

22、面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.第13讲 2.2.3 直线与平面平行的性质知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：.例题精讲：【例1】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1EB1B证明： ， .又 ， .则.【例2】如图，求证：.ABCD证明：连结，直线和可以确定一个平面，记为， 又， 四边形为平行四边形， .第14讲 2.2.4 平面与平面平行的性质知识要点：1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平

23、行. 用符号语言表示为：.2. 其它性质：； ；夹在平行平面间的平行线段相等.例题精讲：【例1】如图，设平面平面，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D. 求证：MN. 证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，则MEAC， ME平面，又 NEBD， NE， 又MENE=E，平面MEN平面， MN平面MEN，MN. 【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形 证明： A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C

24、2，D2在一条直线上，A，B，C，D四点共面又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，平面ABB1A1平面CDD1C1AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线ABCD同理ADBC 四边形ABCD是平行四边形第15讲 2.3.1 直线与平面垂直的判定知识要点：1. 定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作. 平面的垂线，直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若，B，则3. 斜线和平面所成

25、的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）证（证所作为所求）求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.例题精讲：【例1】四面体中，分别为的中点，且，求证：平面. 证明：取的中点，连结，分别为的中点，.又，在中，又，即，平面.【例2】已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.解：取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO.由已知正方

26、体，易知平面，所以为所求.在中，.所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.【例3】三棱锥中，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面ABC的垂心.证明：连接OA、OB、OC， 平面ABC， .又 ， ，得, O为底面ABC的垂心.点评：此例可以变式为“已知，求证”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.第16讲 2.3.2 平面与平面垂直的判定知识要点：1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记）2. 二面角的平面角：在二

27、面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 范围：.3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作.4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直）例题精讲：【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：APEF；（2）求证：平面APE平面APF.证明：（1）如右图，APE=APF=90，PEPF=P， PA平面PEF. EF平面PEF，PAEF.（

28、2）APE=EPF=90，APPF=P，PE平面APF.又PE平面PAE，平面APE平面APF.【例2】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面. 证明：为AC中点，所以. 同理可证 面BGD. 又易知EF/AC，则面BGD. 又因为面BEF，所以平面平面.第17讲 2.3.3 线面、面面垂直的性质知识要点：1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平行）2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，则.（面面垂直线面垂直）例题精讲：ACBa【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放

29、置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？解：注：若BC与a垂直，同理可得AB与a也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： “线线垂直线面垂直线线垂直”.【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC. （1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 解：（1）证明：C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径， BCAC.又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，从而BC平面PAC. BC 平面P

30、BC， 平面PAC平面PBC.（2）平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD.第18讲 第3章 3.1.1 倾斜角与斜率知识要点：1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0. 则直线l的倾斜角的范围是.2. 倾斜角不是90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即. 如果知道直线上两点，则有斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角=90时，斜率不存

31、在，即直线与y轴平行或者重合. 当=90时，斜率k=0；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.例题精讲：【例2】已知过两点, 的直线l的倾斜角为45，求实数的值.解： ， ，解得 或. 但当时，A、B重合，舍去 【例3】已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值解: ， . A、B、C三点在一条直线上， ， 即， 解得或.第19讲 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定知识要点：1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有：（1）；（2）.2. 特例：两条

32、直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；.例题精讲：【例1】四边形ABCD的顶点为、，试判断四边形ABCD的形状.解：AB边所在直线的斜率，CD边所在直线的斜率,BC边所在直线的斜率，DA边所在直线的斜率, ， AB/CD，BC/DA，即四边形ABCD为平行四边形.又 ， ABBC，即四边形ABCD为矩形.【例2】已知的顶点，其垂心为，求顶点的坐标解：设顶点A的坐标为 ， ， 即 ，化简为，解之得：. A的坐标为.【例3】（1）已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？（2）的倾斜角为45，经过点P（-2

33、，-1）、Q（3，-6），问与是否垂直？点评：当与的斜率存在时，. 斜率不存在时，进行具体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直.第20讲 3.2.1 直线的点斜式方程知识要点：1. 点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为.2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或. 4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程： （1）经过点，

34、斜率是4；（2）经过点，倾斜角是.【例2】已知直线.（1）求直线恒经过的定点；（2）当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.解：（1）由，易知时，所以直线恒经过的定点.（2）由题意得，解得.【例3】光线从点A（3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（2，6），求射入y轴后的反射线的方程.解：A（3，4）关于x轴的对称点A1（3，4）在经x轴反射的光线上，同样A1（3，4）关于y轴的对称点A2（3，4）在经过射入y轴的反射线上，k=2. 故所求直线方程为y6=2（x+2）， 即2x+y2=0.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常

35、需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.【例4】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程解：由已知得与两坐标轴不垂直直线经过点， 可设直线的方程为，即.则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.根据题意得，即.当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，此方程无实数解.故直线的方程为，或.即或.点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

36、第21讲 3.2.2 直线的两点式方程知识要点：1. 两点式：直线经过两点，其方程为， 2. 截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4. 线段中点坐标公式.例题精讲：【例1】已知顶点为，求过点且将面积平分的直线方程.解：求出中点的坐标，则直线即为所求，由直线方程的两点式得，即.【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程解：设菱形的四个顶点为A、B、C、D，如右图所示. 根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A、B、C、D在坐标轴上，且A、C关于原

37、点对称，B、D也关于原点对称.所以A(，0)，C（，0），B（0，3），D（0，3）. 由截距式，得直线AB的方程：1，即3xy120；直线BC的方程：1, 即3xy120；直线AD方程：1, 即3 xy120；直线CD方程：1即3 xy120.第22讲 3.2.3 直线的一般式方程知识要点：1. 一般式：，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.经过点，且平行于直线l的直线方程是；经过点，且垂直于直线l的直线方程是.3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0

38、），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）； （2）；（3）与重合； （4）与相交.如果时，则；与重合；与相交. 例题精讲：【例1】已知直线：，：，问m为何值时：（1）；（2）.解：（1）时，则，解得m0.（2）时，, 解得m1.【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式.（2） 由题意得所求垂直直线方程，化为一般式.【例3】已知直线l的方程为3x+4y12=0，求与直线l平行且过点（1，3）的直线的方程分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程. 解：直线l:3x

39、+4y12=0的斜率为， 所求直线与已知直线平行， 所求直线的斜率为，又由于所求直线过点（1，3），所以，所求直线的方程为：，即.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得.第23讲 3.3.1 两条直线的交点坐标知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程为直线系，所有的

40、直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l1: , l2: .解：解方程组，消y得 .当时，方程组无解，所以两直线无公共点，/.当时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l1与l2重合.当且，方程组有惟一解，得到， l1与l2相交.当时，/；当时，l1与l2重合；当且，l1与l2相交，交点是.【例2】求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程.解：设所求直线的方程为，整理为. 平行于直线， ，解得.则所求直线方程为.第24讲 3.3.2 两点间的距离知识要点：1. 平面内两点，则两点间的距离为：.特别地，当所在直线与

41、x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，.2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.例题精讲：【例1】在直线上求一点，使它到点的距离为，并求直线的方程.解： 点在直线上， 可设，根据两点的距离公式得,解得，直线PM的方程为，即.【例2】直线2xy4=0上有一点P，求它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值.解：找A关于l的对称点A，AB与直线l的交点即为所求的P点. 设, 则，解得， 所以线段.【例3】已知AO是ABC中BC边的中线，证明|AB|AC|=2（|AO|OC|）

42、.解：以O为坐标原点，BC为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图所示坐标系xOy.yxB(-c,0)A(a,b)C(c,0)O设点A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0),由两点间距离公式得：|AB|=，|AC|=，|AO|=， |OC|=c. |AB|AC|=， |AO|OC|=. |AB|AC|=2（|AO|OC|）.第25讲 3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离知识要点：1. 点到直线的距离公式为.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为.例题精讲：【例1】求过直线和的交点并且与原点相距为1的直

43、线l的方程.解：设所求直线l的方程为, 整理得.由点到直线的距离公式可知，, 解得.代入所设，得到直线l的方程为.【例2】在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离.解：直线方程化为. 设, 则点P到直线的距离为.当时，点到直线的距离最短，最短距离为.【例3】求证直线L：与点的距离不等于3.解：由点线距离公式，得=.假设，得到，整理得. ， 无实根. ，即直线L与点的距离不等于3.点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m，但求解的结果是m无解. 从而假设不成立，即距离不等于3.另解：把直线L：按参数m整

44、理，得.由，解得. 所以直线L恒过定点.点P到直线L取最大距离时, PQL，即最大距离是PQ=. 3， 直线L与点的距离不等于3.点评：此解妙在运用直线系恒过一个定点的知识，其定点就是与的交点. 由运动与变化观点，当直线PQL时，点线距离为最大.第26讲 第4章 4.1.1 圆的标准方程知识要点：1. 圆的标准方程：方程表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程.例题精讲：【例1】过点、且圆心在直线xy20上的圆的

45、方程是（ ）.A.（x3）2（y1）24 B.（x3）2（y1）24C.（x1）2（y1）24 D.（x1）2（y1）24解：由圆心在直线xy20上可以得到A、C满足条件, 再把A点坐标（1，1）代入圆方程. A不满足条件. 所以，选C.另解：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r, 因为圆心C在直线x+y2=0上, b=2a.由|CA|=|CB|，得（a1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b1）2，解得a=1，b=1.因此，所求圆的方程为（x1）2+（y1）2=4. 选C.【例2】求下列各圆的方程：（1）过点，圆心在；（2）圆心在直线上的圆C与y轴交于两点解：（1）设所求圆的方程为. 则 ，

46、 解得. 圆的方程为.（2）圆心在线段AB的垂直平分线上，代入直线得，圆心为，半径. 圆C的方程为.【例3】推导以点为圆心，为半径的圆的方程.解：设圆上任意一点，则.由两点间的距离公式，得到.化简即得圆的标准方程：第27讲 4.1.2 圆的一般方程知识要点：1. 圆的一般方程：方程 （）表示圆心是，半径长为的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M的坐标满足的关系式.例题精讲：【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,1)的圆的方程.解：设所求圆的方程为. 则， 解得. 圆的方程为.【例2】设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程. 解：配方得，该方程表示圆，则有，得，此时

47、圆心的轨迹方程为，消去m，得，由得x=m+3. 所求的轨迹方程是，第28讲 4.2.1 直线与圆的位置关系知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或（y），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（）到直线的距离，比较d与r的大小.（1）相交 ；（2）相切；（3）相离.2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式例题精讲：【例1】若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2y22x0相切，则a的值为 .解：将圆x2y22x0的方程化为

48、标准式：（x1）2y21, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1a）xy10与该圆相切，则圆心到直线的距离， a1. 【例2】求直线被圆所截得的弦长. （P144 练习1题）解：由题意，列出方程组，消y得，得，.设直线与圆交于点，则 =.另解：圆心C的坐标是，半径长. 圆心到直线的距离.所以，直线被圆截得的弦长是.第29讲 4.2.2 圆与圆的位置关系知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为，半径分别为，则：（1）两圆相交；（2）两圆外切；（3）两圆内切；例题精讲：【例1】已知圆：，圆：（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.解：（1）圆的圆心为（3,0），半

49、径为，圆的圆心为（0，2），半径为，又，圆与相交.（2）由，得公共弦所在的直线方程为.【例2】求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程.解：设所求圆的方程为，即, 则所求圆的圆心为.圆心在直线上，解得. 所求圆的方程为第30讲 4.2.3 直线与圆的方程的应用知识要点：坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题例题精讲：【例1】有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是B地运费的3倍已知A、B两地相距10千米，顾客购物的标准是总费用较低，求A、B两地的售货区

50、域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地解：建立使A(5，0)、B(5，0)的直角坐标系，设单位距离的运费是a元. 若在A地购货费用较低，则：价格A地运费价格B地运费即 .a0， 8x28y2100x200y0.得(x)2y2()2 .两地购物区域的分界线是以点C(，0)为圆心，为半径的圆. 所以，在圆C内的居民从A地购物便宜，圆C外的居民从B地购物便宜，圆C上的居民从A、B两地购物总费用相等【例2】自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射, 其反射光线所在的直线与圆相切, 求光线l所在的直线方程.解：由已知可得圆C：关于x轴对称的圆C的方程为，其圆心

51、C（2，-2），易知l与圆C相切. 设l: y-3=k(x+3), 即kx-y+3k+3=0.，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或.所以，所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.点评：关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法. 如果由方程组思想，通过“”求切线方程也可, 但过程要复杂些. 第31讲 4.3.1 空间直角坐标系知识要点：1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做

52、坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.M（6，-2,4）Oxyz624

53、4. 在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零例题精讲：【例1】在空间直角坐标系中，作出点M(6，2,4).解：点M的位置可按如下步骤作出：先在x轴上作出横坐标是6的点，再将沿与y轴平行的方向向左移动2个单位得到点，然后将沿与z轴平行的方向向上移动4个单位即得点M. M点的位置如图所示.【例2】在长方体中，AB=12，AD=8，=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.解：以A为原点，射线AB、AD、分别为x轴、

54、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、(0,0,5)、(12,0,5)、(12,8,5)、(0,8,5).【例3】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系. 解：正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，正四棱锥的高为.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2,-2,0)、B(

55、2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,).点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.第32讲 4.3.2 空间两点间的距离公式知识要点：1. 空间两点、间的距离公式：.2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：在立体几何图形中建立空间直角坐标系；依题意确定各相应点的坐标 ；通过坐标运算得到答案.3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚； 15