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1、有关 三角形“四心”的向量问题一知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。l 与“重心”有关的向量问题【命题1】 已知是所在平面上的一点，若，则是的重心如图.M 图图 【命题2】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.l 与“垂心”
2、有关的向量问题【命题3】是所在平面上一点，若，则是的垂心【解析】由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图. 图图【命题4】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的垂心【解析】由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图.【命题5】若为所在平面内一点，且则点是的垂心BCHA图6证明: 得即 同理， 故H是ABC的垂心l 与“内心”有关的向量问题【命题6】已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的内心图图【解析】，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的内心，如
3、图.【命题7】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的内心【解析】由题意得，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图.l 与“外心”有关的向量问题【命题8】已知是所在平面上一点，若，则是的外心图图【解析】若，则，则是的外心，如图。【命题9】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图l 四心的相互关系1.三角形外心与垂心的向量关系及应用设的外心为，则点为的垂心的充
4、要条件是。2.三角形外心与重心的向量关系及应用设的外心为，则点为的重心的充要条件是3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设的外心、重心、垂心分别为、，则、三点共线（、三点连线称为欧拉线），且。二巩固练习一选择题1已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足,则点一定为的（ ）A.边中线的中点 B.边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.边的中点2在同一个平面上有及一点满足关系式： ，则为的（ ） 外心 内心 C 重心 D 垂心3已知的三个顶点及平面内一点P满足：，则为的（ ） 外心 内心 C 重心 D 垂心4已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：，则的轨迹一定通过ABC的
5、（ ） 外心 内心 C 重心 D 垂心5已知，为三角形所在平面上的动点，且动点满足：，则点为三角形的（ ） 外心 内心 C 重心 D 垂心6已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的（ ） 外心 内心 C 重心 D 垂心7.在中，动点满足：，则点轨迹一定通过的（ ） 外心 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量与满足且, 则为( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形8.点是三角形所在平面内的一点，满足，则点是的（ ）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点9. 的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，则实数= ABCMNG图110. 如图1，已知点是的重心，过作直线与，两边分别交于两点，且，则_
教育专题：42三角形四心的向量问题 (2)
