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1、一道几何题的解法探索 海南省文昌中学 邓之淮对于数学这门学科，许多学生特别喜欢，也有许多学生感到特别头痛，之所以喜欢，是因为他们领悟到了数学学习的方法。对于数学学习，虽然有数学天赋之说，但数学学习经验的积累与数学学习的方法领悟更为重要。在数学学习上，看你是否有耐性静下心来认真深入地去分析，这是喜欢上数学的关键，对数学问题，如果你能静下心来分析与欣赏，你就会看到其中包含的数学思想与方法，存在的困惑也会迎韧而解，而且你还会衍生出更多的思考与想法，你就会看到数学原来是如此的有趣与美丽，那你也就跨进了数学的大门，也就是说你顿悟到了学习数学的“窍门”。下面随我去看看一道几何题的解答：如图，在ABC中，点
2、D、E分别是AB与BC的中点，AE与CD相交于点F求证：ABCDEF对于许多学生在讲，这道题目并不难，可是只要认真地去分析与思考，这道题目竟然会如此的“博大”，其所包含的思想与方法竟会如此丰富。ABCDEF图1思考一：如图1，连结DE，可得到从而可证出ABCDEFG图2思考二：如图2，过点D作DG/BC交AE于点G可得到从而可证出，ABCDEFG图3从而有思考三：如图3，过点E作EG/AB交CD于点G用与“思考二”同样的方法可以证出点评：思考一到思考三都是围绕着点D、E分别是边AB、BC的中点这个条件，构造与三角形三边的平行线来获得解答，当然如果综合“思考二”与“思考三”辅助线的构造方法，即“
3、过点D作DG/BC交AE于点G，过点E作EG/AB交CD于点H”添加两条辅助线，其证法会更加直接些。思考与猜想：过中点D、E分别作AE与CD的平行线能否获得别的证明方法？ ABCDEFG图4思考四：如图4，过点D作DG/AE交BC于点G可得到， 从而从而，ABCDEFG图5所以可得思考五：如图5，过点E作EG/CD交AB于点G可得到， 从而这样用与“思考四”同理的方法可证出点评：思考四与思考五的做法都是围绕着“中点”这个条件添加辅助线，如果添加两条辅助线，即“过点D作DG/AE交BC于点G，过点E作EG/CD交AB于点H”，也就是综合图4与图5辅助线的添加方法，则线段与线段之间的数量关系更为明
4、显，如、。分析“思考一”到“思考五”，其方法都是在ABC的内部作平行线构造比例，如果我们把眼光移到ABC的外部，则可以发现更广阔的“天地”：思考六：如图6，过点B作BG/AE交CD的延长线于点GABCDEFG图6可得到BDGADF，所以AF=BG，DG=DF所以所以由 DG=DF可得CF=FG=2DFABCDEFG如图7即CD=3DF，所以有所以思考七：如图7，过点B作BG/CD交AE的延长线于点G，用与思考六同样的方法可以证明点评：思考六与思考七是在三角形的外部添加辅助线，过三角形的顶点B分别构造中线AE与CD的平行线而获得证明方法；类似地把眼光移到过点A、点C，可以思考与猜想：过点A、点C
5、分别构造CD与AE的平行线，是否也可以发现其它的方法？答案是肯定的，经过偿试、分析与筛选，可以发现“思考八与思考九”两种方法：ABCDEFG图8思考八：如图8，过点A作AG/CD交BC的延长线于点G，可得到，由，可得ABCDEFG图9，所以，所以思考九：如图9，过点C作CG/AE交BA的延长线于点G，可得到，所以用与思考八同理证法可证得点评：在几何题的证明过程中，变换视角，往往可以把思维从一个空间扩展到另一个空间，从而获得不同的求解方法。思考六到思考九这四种方法，其都是过三角形的三个顶点构造三角形两条中线的平行线，再做一个合情推理与猜想，可以想得到过三角形的三个顶点A、B、C分别作三角形的三条
6、边BC、AC、AB的平行线也许还能获得另外的证明方法，如：ABCDEFG图10思考十：如图10，过点A作AG/BC交CD的延长线于点G则可以得到BCDAGD，则有，ABCDEFG图11则，所以所以思考十一：如图11，过点C作CG/AB交AE的延长线于点G则可以证明ABEGCE，用与思考十同理的方法可证出思考十二：如图12，过点B作GH/AC交AE的延长线于点G，交CD延长线于点H可以证明BHDACD，BGECAE，则，HABCDEFG图12所以，所以，同理可证所以点评：把视角放在三角形的内部，得到了“思考一到思考五”五种证法，而把视角移到三角形的外部又获得了“思考六到思考十二”七种证明方法，这
7、十二种方法都是靠构造平行线来获得的，当然并不是随意的构造平行线都能得到正确的证法，必须围绕着题目所给的条件去分析与尝试、去思考与筛选。这道题的证明方法如此之多，是否还有别的方法？抛开构造“平行线”，考虑“中点”这个条件与等积问题，还可以发现其思维的空间还未就此停止，如：思考十三：如图13，连结BF，并延长BF交AC于点G，则可知BG也是ABC的中线，则有GABCDEF图13即由点D是AB的中点可得由点E是BC的中点可得所以所以，同理，所以点评：同一个题目能用不同的方法或通过不同的途径解答出来，称为一题多解，变换视角，变换解题的思路，往往可以发现同一个题目有多种解法，但变换视角并不是盲目的，要紧
8、紧围绕着题目所给的条件，否则可能徒劳无功。学习数学存在的最大问题是如何学会“变通”，不懂得“变通”其实也就是没有把握住问题的本质特点，一遇到与原来不同的题目就“手忙脚乱”，不知如何下手，或者是盲目地把条件胡乱拼凑。在教学的过程中，要注意设计或者寻找一些具有广阔拓展空间的题目，引导学生静下心来分析，理清条件与条件之间的联系、条件与结论之间的联系，引导学生进行适当的拓展研究，总结规律，分析解法的优劣，这样可以让学生举一反三，积累更多的学习经验。当然，学习数学也需要“悟”，老师讲得再多，也许不如引导学生去“悟”，一但“悟”出了，数学学习方法也就“悟”到了。“一题多解、一题多变、一题多问”可以极大地训练学习的思维，拓展学生的思维空间，让学生理解知识之间的联系，融会贯通，尽早地“悟”出学习数学的方法。4
一道几何题的解法探索
