第十三章积分变化法在第六章我们曾用拉普拉斯变换方法求解常微分

《第十三章积分变化法在第六章我们曾用拉普拉斯变换方法求解常微分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十三章积分变化法在第六章我们曾用拉普拉斯变换方法求解常微分（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第十三章积分变化法在第六章，我们曾用拉普拉斯变换方法求解常微分方程。经过变换，常微分方程变成了 代数方程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程的解。枳分变换在数学物理方程（也包括枳分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途。经过 变换以后，方程变得简单了，例如偏微分方程变成了常微分方程，解出常微分方程，再进行 反演，就得到了原来偏微分方程的解。利用枳分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往 往是用分离变数法不能得到的。本章主要介绍傅里叶变换、拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用。 13.1傅里叶变换法用分离变数法求解有界空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解町表 为对分立本

2、征值求和的傅里叶级数。对于无界空间，用分离变数法求解定解问题时，所得到 的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求枳分的傅里叶积分。因此，对于 无界空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法。本节将通过几个例子说明运用 傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定解问题的基本方法，并给出几个重要的 解的公式。例1求解无限长弦的自由振动u 一 cruxx = 0, (一8 x v 8)解 应用傅里叶变换，即用严2兀遍乘方程及定解条件各项。并对空间变数X积分（时间 变数f视作参数）。原来的定解问题变换成Un + k2a2U = 0（/|/=0=D（=0=）其中伙）、W（灯分别是仪

3、X）、03）的傅里叶变换。原来的定解问题变成了常微分方程及初值条件，其通解是代入初始条件可定出U(tyk) = A (k)eikat + B(k)eikal这样U（f,k） = t伙）幺畑2a ik+ W伙）曲+丄伙）广畑一丄丄W伙）广血2a ik22a ik最后，对作逆傅里叶变换。应用延迟定理与积分定理，结果是11 t+岔“ W）=尹“川）+如“）+茲/（现这正是达朗贝尔公式（747）。ut au =0、 （-co x oo） 例2求解无限长细杆的热传导问题（；Vf|eo=0（X）.解作傅里叶变换，定解问题变换为J Uf + k2a2U =0,I仏=伙）这个常微分方程的初始值问题的解是U（从

4、）=伙）严沙.再进行傅里叶变换，w（x,/） = FXU（f,k）m（k）e*盲严dk = -L 仃匚能）严疔e*启严侏交换积分次序w(x,0 = T 则)fV曲严订dg2 龙 J-OCLJ-X. 引用积分公式匸严edk =(石/&)炉置a = ayi , 0 = j（xf）以利用此积分公式，即得(13.1.2)求解无限长细杆的有源热传导问题=/(5 (-oOXcO) w|/=o= 解作傅里叶变换，问题变换成非齐次常微分方程与初始条件Uf + k2a2U = F(t,k),叽=0为求解这个非齐次常微分方程，用疋曲遍乘方程各项，得at对f枳分一次，计及零初始值，U（t-k）=严尸（材”3尤= /

5、（, T）e-e-k2a2,ek2aZrdT.进行逆傅里叶变换，u（x,t） = fx r ff fx / 少-曲舸订 eikxdk.2J-x|_Jo Joc交换积分次序畑）=匸/（鈿）0中的定解问题血-心乂 = 0,Jx=O=O，也=。5(兀-0) (X 0),其中。是每单位面枳硅片表层原有的杂质总量。解没有杂质穿过硅片表面即/ 口 =0是第二类齐次边界条件。读者已经熟悉，这种边界 条件意味着偶延拓，即求解无界空间中的定解问题-a2uxx = Q9 0)叫= = 0址 + 0) (x0).这个初始条件其实也就是u ,=0 = 25(x)。这样，问题成为此=0 =25(x) (-co X co

6、)L/E 02/ 4a21心荷卞eW(x,r) = 20中的定解问题XV飞_a切丽=， “”|x=O=No，.W|f=0=0，解首先应把非齐次边界条件化为齐次的。为此，令就把的定解问题转化为血的定解问题-旷=0,“必=0=|.、=0 - Noty|/=0= ul=0-N0 =-N这里是第一类齐次边界条件。读者已经熟悉，这种边界条件意味着奇延拓，即求解无界空间 中的定解问题_。叽=0，=!-“。(兀 o)+N(x0).引用(13丄2)式，得到答案 i cycr)在右边第一个积分中令z = (x-g)/2aJ7 , dz = -dg/2aJ7；在右边第二个积分中令Z = (-x)/2aVF , d

7、z = d/2a4t o 于是,力(兀/) = _厂dz.由于被枳函数是偶函数，所以e(x,f) = N通常把韦加dz叫做误差函数，记作刃，它的数值有表格可查，参看附录三。这样Q(x,/) = -Noeif $ 彳)，所求的解0心,/) = “0 + oxyt) = No 1 erf。1 67力工叫做余误差函数(eno】 fiinction complement),记作eifcx。这样例6 泊松公式。求解三维无界空间中的波动问题孑0（广）J Mn -2A3m = 0, 皿。=0（广）口|解作傅里叶变换，问题变换为常微分方程的初始值问题f U + “U = 0,I 几=。=伙）,（4=w伙）.这

8、个问题的解是”（衣）=丄伙）（严+如）+丄丄W（R）（严一严）.22a ik再进行逆傅里叶变换， 心T j J 0（磅（严+严）+空伙）+扣严引用5.3例1结果,dk.dk.dk.)严一如5屮W+占 J / (小 j J J-严)严igdg, dV/4檢巾0/4(严-n&dk：%二(严-严JVf+ik辎列一z）eH（rj）=_L| j J似r）J j jF3（r-at）eltv,，）dkidkzdklV+-（叽门山F -:dV. 应用延迟定理，4ttci dtW(r, 0 =Hl 列d- +4ttci dt y |r-r|由于被枳公式中出现对厂的积分只需在球面S；上进行，S；以点r （确切 的

9、说，径矢为厂的点）为球心而半径为m。(13.1.4)畑戶丄2+丄ff必/S,4/ra dt 包 at 4/ra atSulSat式中dS是球面S：的面枳元。答案（13.1.4）叫作泊松公式。三维无界空间中的波动，只要知道它的初始状况，用泊松公式可以推算它在以后任一时 刻的状况。具体地说，为求时刻r在点厂的M（r，0，应以点厂为球心，以皿为半径作球面S；, 然后拿初始扰动曲）和0（h）按（13丄4）在球面S；上枳分。这是可以理解的，既然波动 以速度d传播，只有跟点广相距皿的那些点（即S；上的点）的初始扰动恰好在时刻/传到 点r。为明显起见，设初始扰动只限于区域7；（图13-3）.取定一点I它与7

10、；最小距离是d,最人距离是D。当td/a. S；跟7；不相交，按泊松公式，飒几f) = 0,这表示扰动的前锋尚未到达点九 当d/atD/a, S：包围了 7；但跟7；不相交，w(r,/) = 0,这表示扰动的阵尾已经过去。例7 推迟势3求解三维无界空间中的受迫振动他-fl2A3w = /(r,O,1紀/=0 = O Ut 1 t=Q =解 作傅里叶变换，问题变换为非齐次常微分方程的初始值问题这个问题的解是U(t;k) = 一 J； F(r;k)(eikar -eikar)dr.然后对u u；k)进行逆傅里叶变换。1； F(r;灯严(T 一严叫切.eikrdTdkdk2dk世出宀)論出凱严匚严巧

11、如ma引用5.3例1结果，并应用延迟定理，E =亡 J J寺叩 MX再引用(5.3.5)以及关系式5(处)=5(x)/问，32朽屮(“占牛一)一drdVf本问题的f(r.t)中的/0,所以上面这个枳分其实不必在无界空间进行，只需在条件 r-|r-/|/6F0 FWo换句话说，对”的积分只需在球体駕；中进行，此球的球心的径矢 为I而半径为川。这样值得注意的是/的宗量f换成了/-卜-川/。这是可以理解的，既然扰动以速度d传播,从点F出发的扰动，如果在时刻f对点广产生影响，必然是在时刻t-r-r9/a出发的。为了强调这种时间差异，通常把f（rt-r-iJ/a）记作于于是（13.1.5）又可写成(13

12、.1.6)这叫作推迟势。例8柱面波降维法。求解二维无界空间中的波动问题J 叫-込0 = 0,|,=0=心）， |,=0= 0（兀）解 当然可以像例6那样用傅里叶变换法求解。不过，我们知道，所谓二维空间即与平面 的波动其实还是三维空间中的波动，只是这波动跟坐标Z无关而已。这样说来，二维无界空 间中的波动问题的解也由泊松公式（13.1.4）给出。但既然问题跟坐标Z无关，当然不希望 泊松公式中出现Z。三维波动的泊松公式，消除了坐标Z,就成为二维波动的公式，这叫作 降维法）对于二维问题，球面S；上的积分应代之以可，平面的圆工:：上的积分。工:上的面积即 dSf = do元 da = dSr cos 3

13、 = dSrds，于一（*一兀）一（）一刃atcityjaY-x-xy-y)2又球面s;的上下两半都投影于同一圆，所以2dSr = 2d&,、Jc厂广一 （x-x）- - （y一 刃_于是，泊松公式在二维问题中成为畑心丄g斤厂次门4 1 n厂久3“Q dtJa干-匕 - x）2 -（y-yf2zJa干-（-对（13.1.7）注意二维波动有所谓后效，把图13-3当作二维的图来看，只要/d/a ,工；跟7；总有重叠部分，积分值一般不等于零，故在（兀刃点总有扰动。只有当S时，才趋于零皿出现在（13.1.7）的分母中。把二维波动看作是某种三维波动的横剖面就不难理解这种 后效。1. 求解无限长传输线上的

14、电振荡传播问题。G.C=R.L的情况跟G.CR.L的情况有 什么不同？2. 研究半无限长细杆导热问题。杆端x = 0温度保持为零，初始温度分布为K(旷肚-1)。3. 半无界杆，杆端x = 0有谐变热流Bsmd进入，求长时间以后的杆上温度分布u(x,t) o4. 应用泊松分布公式计算卞述定解问题的解。叫-/ = (),初始速度为零，初始位移在某个单位球内为1,在球外为零。5. 应用泊松分布公式计算卞述定解问题的解。叫-/ = (),初始速度为零，初始位移在球r = rQ以内为A cos(加72心),在球外为零。6. 二维波动，初始速度为零，初始位移在圆 = 1以内为1,在圆外为零。试求尸。7.

15、求解三维无界空间中的输运问题u,-a2Au = 0f虬=。=久尢y,z)。8. 例6研究三维无界空间中的自由振动是从初始(r = o)状况推算以后(/0)的状况。试重新求解例6,从初始状况反推以前(r0)的状况。试重新求解例7,从初始状况(/ = 0)反推以前(/ 0), 0）,.1=0 = 0式中帀是X的函数，0则作为参数而进入拆，即il = M （x； P）这个常微分方程的通解是up） = Ae-x,a + Bex/a.考虑到lmiw不应为无限大，积分常数定为零。又，利用边界条件定出积分常数A = N。丄。于是，iz（x; p） = Nqpp进行反演。由附录二的公式18,得u(xt) =

16、NQerfc(本例即13.1例5,可对照。uft -cruxx = 0,例2求解无界弦的振动彳，、丨，、W &0=久1）皿|&0=0（紛解对泛定方程施行拉普拉斯变换，初始条件通过二阶导数定理（6.2.12）而考虑到。变换的结果是p2u- p(p-y/-cruxx = 0.这个非齐次常微分方程的通解是h(x; p) = Aepxfa + Bea - ea J + P)d + ea J ) + p)d.考虑到lim帀不应为无限人，积分常数A定为零；lmin也不应为无限人，枳分常数B也 A-XA-X定为零。为了保证积分收敛，第一个积分的卞限取为8,第二个积分的下限则取为-8。这 样，”(勺+ P)

17、$ +亍”忆)+ 久刀百p2a pW(g)dg +丁 + I p(p3E p2a fpp2a 八兀第二个跟第一个相比较，仪代替了 0（f），并且多了一个因子 因此，先对第 一个进行反演，得到原函数之后，把0改为0并对f求导就得第二个的原函数。运用延迟定理于丄=Pe-p(i-x)ia( x+at).于是,-p(i-x)/a()dg =同理,12ci厂(r”a1这样，完成反演1O 1 fxal1 fiXat1 rngw需匚临川+石* =需匚严(歹吗+*+/)+*“).这就是达朗贝尔公式（7.4.7）o例3求解无限长传输线上的电报方程RGU + LG + RC)Ui + LCUn -Uxx u /=

18、0=D(x)，m/=0=(x).=0,解 像7.3末尾那样，作函数变换LG+RC定解问题转化为uH 一 a%xx 一 bu = 0,其中a2 =-;,b = -(LG-RC)cr,(p(x) = XXTY定为零。为了保证枳分收敛，第一个积分的卞限取为8,第二个积分的下限则取为-8。这样,讹X；刃=一 ），: /: ”忆）+皿（纫妬+ 匸）,：/ ：（勺+ W（纫刖第二个跟第一个相比较，仪代替了0（d）,并且多了一个因子P 因此，先对第一个进行反演，得到原函数之后，把0改为0并对f求导就得第二个的原函数。 由附录二的公式30,上R 于是，扛祜手T *命广”氏阿6妣.同理，-匸J舟匸说尹敷4l人匚

19、阿匸右*必这样，完成反演硝Wmr” （如吗痔0。（弘沪-（心）十忆则時仁：4弘沪-（f ”（抽+知*）+吩叭碍1：胁：_；7：硝也沪一心）+（吨习题1. 求解一维无界空间中的扩散问题即终一丁 = 0,虬=0 =仅X）。2. 求解硅片的限定源扩散问题。把硅片的厚度当作无限人，这是半无界空间的定解问题 ，一冷|円=0，叭=o=。5（兀一）。本题即13.1例4,可对照。3. 求解一维无界空间中的有源输运问题=|/=0 = 0。本题即13.1例3, 可对照。4. 求解一维半无界空间的输运问题u,-a-uxx = 0 , |,=0 = 0,边界条件是“|,=。=/（）。本 题为13.1习题10的一部分，可对照。5. 求解无界弦的受迫振动u(t -cru = f(x,t) w|/=0 =仅x)口 =0(兀)。