有限至无穷引人入胜的数学

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1、有限至無窮引人入勝的數學(數字的秘密生命頂尖數學家如何工作和思考的50則有趣故事)10531黃開洋 看著書，不知不覺地，夜深了，媽媽一旁探頭向我說該睡覺了，這時的我緩緩的動了一下已經發僵了三個小時的頸項。呆了，原來時間已經流逝的這麼久，我被我自己的專注嚇著了，平時的我只有在看漫畫書時才這般專心，但現在我居然能坐在不甚舒服的藤椅上看我不甚喜歡的自然科學書籍特別是數學三個小時，老實說，我自己也不甚清楚到底發生了什麼事，只是深刻感覺自己已經掉入數學漩渦中了！ 是啊，數學的漩渦，它似乎有股令人著迷的吸引力，而我就被這本書中隱約且無法言語的魔力強烈吸引，逕自往此書中的中心鑽了進去。誠然，在閱讀當下，一段

2、段令我難以了解的數學撰述(想必是我的慧根不夠)不時阻攔著我的思想與打斷我的閱讀；但神奇的是，雖然不懂打擊了我的閱讀興致，但終究我以運動選手般不畏阻欄的精神跨欄而過，連我自己都驚訝於自己的執著與專注了！ 我以為本書中有一段話十分具有代表性： 數學家如何找到靈感，並證明出曾經年累月被研究探索的問題？史派克的回答是：沒有人知道。即使在洗澡或刮鬍子時，有時都可能靈光一閃，他伸出一根手指，鄭重強調，一定要完全放鬆，因為壓力會破壞創造力。還有一件事，千萬別因起步的錯誤而氣餒。史派克強調，起步的錯誤常常有助於後來的研究，甚至形成未來研究的基礎。被降級的數學教授 這段話彰顯出數學家與其他科學家不同之處：數學家

3、對於自己的對待，是要比哲學家孤單的、要比小說家敏感的、要比企業家放鬆的，數學可能是無所不在，也可以是皆所不在的，靈光的乍現往往取決於那一剎那間的觀念。常常聽見同學間談到有關數學的解題往往靠的是運氣與手氣，如果考試一剎那間觀念正確，靈感和你來電，回答任何的題目就能一帆風順。但這段話卻也強調了另一個觀點：前面的錯誤是奠定未來成功的基礎，一條證明列式的錯誤價值，並不需要被全然否定，讓我們身為學生有了很大的啟示。有時在數學的學習過程中偶有挫敗，一部分的人就會打退堂鼓，而非堅持下去，正因如此，往往地扼殺了他們以後的成功創意種子在心中萌芽畢盡它是得建立在無數的失敗上！ 而以下則是我針對一些專業字條所做的探

4、討與想法： 龐加萊猜想 這是一個既偉大又令人討厭的猜想！偉大之處在於經過多名數學家畢生的驗證，終於在2006年被證明出它的正確性，但令人討厭的是，它所描繪出的圖形，是我個人從未觸及、從前連聽聞都沒聽聞的拓樸學領域。所謂的龐加萊猜想，最簡單來說指的是：任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。 為了這個問題，我首先了解何謂同胚(homeomorphism)，所謂同胚(前一頁左圖)就是可以在彎曲、延展、剪切（只要最終完全沿著當初剪開的縫隙再重新粘貼起來）等操作把其中一個變為另一個物品，例如：咖啡杯可以同胚於甜甜圈，而這正是拓樸學的基本觀念。至於流形(manifold)則是可以視為近看起來相對簡單

5、空間物體。一顆理想的球在足夠小的區域演變成一個平面，它即成為一個流形。但是球和平面有很不相同的整體結構：如果你在球面上沿一個固定方向走，你最終回到起點，而在一個平面上，你可以一直走下去。 一般流形能夠把許多平直的片折彎並黏接而成，流形不必連通(整個只有一片)、封閉、有限，所以一對分離的圓圈可以是一個拓撲流形，不帶兩個端點的線段也是流形，拋物線也是一個拓撲流形。但是，排除了向兩個相切的圓(它們共享一點並形成8字形)的例子，因為在切點無法創建一個滿意的坐標圖。 龐加萊已經證明了在二維空間時這個猜想的確定性，但他無法證明出在三維空間時是否也是如此，爾後許多科學家也已經證明出超過三維以上的可能性，卻惟

6、獨三維空間的二維表面不可解。直到2006年終於在俄國科學家佩雷爾曼的證明下，以幾何化猜想與瑞奇流的兩個定理交互運用，宣告破解龐加萊猜想。 自然對數 進入19世紀時，法國的安德烈馬利樂強德(Adrien-Morie Legendre, 1752-1833)與德國的卡爾高斯(Carl F. Gauss, 1752-1833)開始探究質數的分布。根據他們的研究，它們推測質數P與下一個質數間的距離，一般而言，應該與P的自然對數一樣大。 親友眾多的猜想 閱讀本章時，一切的開始都十分通順，直到這個關鍵名詞一再出現(它在文章後面又出現)，原來自然對數與一般的對數函數(log)極為相似，但不同之處在於，一般l

7、og值中，若其中b=10並不會特別寫出，因為這是我們生活中十進位時經常使用的常用數，然而在數學家眼中則不然，數學界中視e 才為較常使用的自然數，因此自然對數所指稱的就是以e值代b時所形成的loge(x)，而e=2.71828。 黎曼猜想 1990年，哥廷根(Gttingen)的著名科學家希爾伯特列出了二十三個問題，用來決定下一個世紀的數學研究方向，這些問題同樣被捲入神秘的氛圍中。截至目前，已經解出二十個問題的答案，但六號(物理學的公理化)、八號黎曼猜想(Riemann conjecture)及十六號問題，迄今仍困擾著數學界。 數學家的名利難題 對於黎曼猜想，一開始藉由篇末的注釋，我完全無法了解

8、它的中心思想，因此有關：除了-2, -4實數根之外，所有黎曼函數有意義的根(指複數根)均落在臨界線(critical line)上這段話，經過尋找資料後才發現，原來此猜想所涵蓋的簡單版就是：=0 黎曼（Riemann）假設有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2，3，5，7，等等。這樣的數稱為質數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種質數的分佈並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼（18261866）觀察到，質數的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼函數。黎曼假設斷言，方程式 的所有有意義的解都在一條直線上。 以上根據一些書中的篇章特定學術內容所

9、做的深入了解(雖然我依舊並非全盤的了解了)，其實這本書的觀念注重於簡單文字的啟發，作者已盡量以淺顯的文字彰顯深入的內涵。 書中引用了許多的比喻來描繪出一個現象，例如： 依據一位與會者的說法，衝擊最大的對稱性突破發生在一百億到兩百億年前。一直處於平衡狀態的物質與反物質，其對稱性不知何故忽然受到干擾，結果就產生了所謂大霹靂(big bang)。 不對稱的奇蹟之美 這段文字令我震懾，因為我無法聯想，原來在日常生活中看似簡單無趣的對稱，竟然與一切宇宙的開端有關！如此的聯想恰似想到凡爾賽宮的對稱花園與皇宮可以擴大解釋成一個星球的誕生與毀滅一樣令人難以聯接，數學與生活之間可敬(或者是可怕？)的關係，原來可

10、以造就身邊的萬物，使我更對數學感到高深莫測了！ 此外，作者也善用了自身的幽默感： 第一個lap loop lop leap year將會在4400年來臨但要花八萬六千四百年的時間誤差才會累積為一天。這終細微的差異，即使是最嚴苛的數學家及教會人士都可以大步走(lope)呃，我的意思是說，應付(cope)。 閏年的故事 以色列軍方發言人宣稱，環繞耶路撒冷的圍牆長五十四公里，但巴勒斯坦研究中心(Center for Palestinan Studies)的地理學家哈里陶法吉(Khalil Toufakji)表示，檢視過軍方的資料後，他得到的結論是圍牆七十二公里。原因就藏在碎形(fractal)的數學

11、理論在比較詳細的地圖上，一公分對應五百公尺實際距離(1:50,000)，可以分辨出圍牆更曲折的細部，長度增加為五十公里至於這(西岸)圍牆，或許它還是蜿蜒些比較好。如果它完全是一直線，理論上可以由貝魯特直通麥加，那麼國際法庭真的有得忙了。 無法計算出長度的圍牆 作者身為數學教授與媒體工作者，在兩個職位中找到巧妙的平衡點，既有數學家的專業知識，也有新聞記者般的有條不紊，流暢的說故事魅力，令人想一看再看，引人入勝，他啟發了我的數學思考推理，讓我訝異於數字之間，竟可以衍生出無限的故事與知識。在第四篇的性情中人中，數學家們向我們展現了各個不同的樣貌，有的可愛，有的愛吹牛，有的則是際遇離奇，但是他們都有一

12、個共同點：膽大心細，胡適說：大膽的假設，小心的求證。這句話套用在每一位為數學奉獻青春的數學家再也不為過了，因此，不害怕一次次的失敗，而從中更能汲取成功的精隨，並大膽的猜想不可能的事物，因為那就可能是明日真理的基石，有誰在愛因斯坦一開始提出相對論時馬上就瞭解到他是位天才，而不是患有異想症的精神病人呢？ 對於科學，只有發現與開創，沒有退後證明已知的事物的道理，因此心細觀察萬物事理，找出平凡中的不平凡，恐怕就是我們凡夫俗生最值得學習的標的吧！後記：對於看一篇文章時，我喜歡針對文中我不甚清楚的地方加以探討，縱使這並非文中的焦點，但我對於自己的期許是可以明瞭書中任何一個細節，因此似乎閱讀這本書中的各個篇章耗費了我不少時間，卻也使我更投入數學之中。