对数障碍函数法

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1、对数障碍函数法minf(x)=Cx-pplnxjj=1Ax=b参数搜索方向的讨论设h为一有利方向,注意到f严格凸,将其Taylor展开ps.t.hT2f(x0)h+(x0)ThppAh=0易知f(xo)=Ct一pD,11,p02f(xo)=pD,2卩0其中,于是,D=diag(x0)0上面的优化问题可写为:minQ(h)=phTD,2h+(C一p1TD,1)h200s.t.Ah=0作Lagrange函数=hTD一2h+(C一p1tD,1)h一uAh,20u=(u,.,u)为Lagrange乘子1m故由帥n=0(i=1,,n)dhipD,2h+CtpD,i1,(uA)t=00h=-1D2(Ct-

2、pD-11-Atut)p00两端左乘A,注意到Ah=0的约束,有1f(x0)+(Vf(x0)Th+hT2f(x0)hpp2p于是,可通过下面的优化问题寻求h:1minQ(h)=2AD2(CtpD,i1)AD2Atut=0000A行满秩时,AD0AT可逆,于是ut=(AD2At),iAD2(CtpD,i1)000而A非行满秩时,记w=C-uA,可将前面h的表达式写为:h=一D2(Ct一,D-11一Atut)=D(1,-1Dwt),0000于是可由此直接计算h。计算步骤10给出x0,设定障碍函数,00,缩减因子0及精度020计算(uk+i)t二(AD2At)-1AD2(Ct,D-kkkkW(k+1)=C一U(k+1)Ahk二D(1,-1D(wk+i)t)kkk并检查,若hk0且Chk0,判无界,否则转到3o30计算Xk+1=Xk+hk若wk+1Xk+100工(Cx0)2ii并要求满足00(1一0)1+0n1其中001,例如,可令0二2,1=6注意,前面的仿射尺度法尚未能证明是多项式算法,而对数障碍函数法已证明属多项式算法类于前一算法,对初始点也可用大M法启动求解。

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