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1、 2023年全国高中数学联合竞赛一试试题A卷考试时间：2023年10月17日 8：009：20一、填空题此题总分值64分，每题8分1.函数的值域是_.2.函数的最小值为，那么实数的取值范围是_.3.双曲线的右半支与直线围成的区域内部不含边界整点纵横坐标均为整数的点的个数是_.4.是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，那么_.5. 函数在区间上的最大值为8，那么它在这个区间上的最小值是_.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否那么轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_.7.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,
2、那么_.8.方程 满足的正整数解的个数是_.二、解答题此题总分值56分9.(本小题总分值16分)函数，当时，试求的最大值.10. (本小题总分值20分)抛物线上的两个动点和,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.11. (本小题总分值20分)证明：方程恰有一个实根，且存在唯一的严格递增正整数列，使得.2023年全国高中数学联合竞赛加试试题A卷考试时间：2023年10月17日 9：4012：10一、此题总分值40分如图，锐角三角形的外心为，是边上一点不是边的中点，是线段延长线上一点，直线与交于点，直线与交于点.求证：假设,那么四点共圆.二、此题总分值40分设是给定的正整数，.记,.
3、证明：存在正整数,使得为一个整数.这里，表示不小于实数的最小整数，例如.三、此题总分值50分给定整数,设正实数满足,记求证：.四、此题总分值50分一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.2023年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案与评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次。2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确
4、，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。一、填空题1.2.3. 4.5.6.7.8.1.易知上是增函数，从而可知的值域为-3,.2.令sinx=t，那么原函数化为g(t)=(-at 2+a-3)t，即g(t)=-at 3+(a-3)t.由-at 3+(a-3)t-3，-at(t 2-1)-3(t-1)0，(t-1)(-at(t +1)-3)及知-at(t +1)-3即. 1当t=0，-1时1总成立：对；对.从而可知3.由对称性知，只需先考虑x轴上方的情况，设与双曲线右半支交于点，与直线交于点，那么线段内部
5、的整点个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为又x轴上有98个整点，那么所求整点个数为.4.设那么3+d=q， 133+4d=q2，21代入2得从而有对一切正整数n都成立，即对一切正整数n都成立。从而，求得.5.令，那么原函数化为上是递增的，当0a0, 2y0t2，t+t=4，那么 5分SABC=的绝对值， 10分S2ABC= = =SABC 15分当且仅当即，或时等号成立.所以ABC面积的最大值为 20分11.证明： 令f(x)=2x3+5x2，那么=6x2+50，所以f(x)是严格递增的.又f(0)=20，故f(x)有唯一实数根 5分所以 2r3+5r2=0，=r+r4+r7+r10+.故数列an=3n2(n=1,2,)是满足题设要求的数列. 10分假设存在两个不同的正整数数列满足 ，去掉上面等式两边相同的项，有，这里s1s2s3，t1t2t3，所有的si与tj都是不同的. 15分不妨设s10，此时代入式中，得3n+1 40分当n为偶数时，假设i，那么式仍然成立；假设i=，那么正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有3n+1种；当n为偶数时有3n+3种 50分
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