高等数学总复习

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1、高等数学高等数学(下下)总复习总复习1.求过点（4,-1,3）且平行于直线x3yz 1的直线方程。215x2y4z 7=0,2.求过点(2,0,-3)且与直线垂直的平面方程。3x5y2z1 03.求过点（0,2,4）且与两平面x2z线方程。1和y3z 2平行的直4.求过点（-1，0,4）,且平行于平面3x4y z10 0，又与直线x1y 3z相交的直线的方程。1122z x sin2y的偏导数。5.求22z2z z6.求下列函数的2,:2和xyxyyxz arctanz yz x y 4x y（1）；（2）；（3）x44227.设u f(x,y,z)ex2y2z2uu，而z x sin y.求

2、和.yx2w2w8.设w f(x y z,xyz)，f具有二阶连续偏导数，求及xxz9.求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）：。xyu f(,)；u f(x,xy,xyz)u f(x y,e)；（1）（2）（3）yz22xy10.设z f(x y)，其中f z2z11.求下列函数的2，xyx2222z2z具有二阶导数，求2，xyx2z，2（其中y2z，2。yf具有二阶连续偏导数）：x)；y（1）z f(xy,y)；（2）z f(x,22xy（3）z f(xy,x y)；（4）z f(sin x,cos y,e)2 zz12.设e xyz 0，求2。x2 z3313.设z 3xyz

3、 a，求。xy14.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：u f(ux,v y),（1）设其中f，g具有一阶连续偏导数，2v g(u x,v y),uv求，。xxuuvux e usinv,（2）设求，uyxxy e ucosv,v，y。15.求曲线x t1t，y 1t，zt t2在对应于t01的点处的切线及法平面方程。2316.求出曲线x t,y t,z t上的点，使在该点的切线平行于平面x2y z 4。17.z求曲面e z xy 3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。18.求函数u xyz在附加条件1111xyza下的极值。(x 0,y 0,z 0,a 0)19.求函数f(x,y)

4、4(x y)x2 y2的极值。20.求函数f(x,y)(6x x2)(4y y2)的极值。21.求函数z xy在适合附加条件x y 1下的极大值。22.求下列函数的一阶与二阶偏导数.2z ln(x y)(2)z xy (1)23.设z f(u,x,y),u xey，其中f具有连续的二阶偏导数，2z求xy.zz24.设x e cosv,y e sinv,z uv.试求和xyuu。25.计算xyd，其中D是由直线y 1,x 2及y x所围D成的闭区域。2226.计算y 1 x y d，其中D是由直线y x,x 1和Dy 1所围成的闭区域。27.计算xydD，其中D是由抛物线y2 x及直线y x2所

5、围成的闭区域。28.求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2axa 0所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。29.改换下列二次积分的积分次序：（1）0dy0f(x,y)dx（2）（3）（5）1ydy02122yy2f(x,y)dxf(x,y)dydy011y2 1y2ln xf(x,y)dx（4）dx2xx22xe1dx0f(x,y)dy（6）0dxsinxf(x,y)dy2sinx30.求由平面x 0,y 0,x y 1所围成的柱体被平面z 0及抛物面x2 y2 6 z截得的立体的体积。31.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）0dx0f(x,y)dy（2）0dxx（

6、3）1123xf(x2 y2)dydx02a11x21xf(x,y)dy（4）dx01x20f(x,y)dy32.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）0dx01x2axx2(x y)dy（2）21222a0adxx0 x2 y2dy(x2 y2)dx（3）0dxx2(x y)dy（4）0dy033.利用极坐标计算：（1）eD2a2y2Dx2y222d，其中D是由圆周x y 4所围成的闭区域；（3）arctanydx，其中D是由圆周x2 y2 4，x2 y21及直线y 0,y x所围成的在第一象限内的闭区域。34.计算三重积分xdxdydz，其中为三个坐标面及平面x2y z 1所围成的

7、闭区域。35.利用柱面坐标计算三重积分zdv，其中为曲面22z 2 x2 y2及z x y所围成的闭区域。222 36.利用球面坐标计算三重积分(x y z)dv，其中是由球222面x y z 1所围成的闭区域。37.选用适当的坐标计算下列三重积分：（1）22x y 1及平面z 1，z 0，xydv，其中为柱面x 0,y 0所围成的在第一卦限内的闭区域；22(x y)dv，其中是由曲面4z2 25(x2 y2)及平（2）面z 5所围成的闭区域。2 38.计算二重积分：(y 3x6y9)d，其中DD(x,y)|x2 y2 R2。39证明：a0dye0ym(ax)f(x)dx(a x)em(ax)

8、f(x)dx0a 40.设f(x,y)在闭区域D(x,y)|x2 y2 y,x 0上连续，且f(x,y)1 x y 22f(x,y)dxdy,求f(x,y)。D8 41.计算下列对弧长的曲线积分。（1）L(x y)ds，其中L为圆周x acost,y asint(0t 2)。（2）22n(x y)ds，其中L为连接(1,0)及(0,1)的直线段。L（3）Lxds，其中L为由直线y x及抛物线y x2所围成区域的整个边界。2x（4）Lyzds，其中L为折线 ABCD,这里 A,B,C,D 依次为点(0,0,0)，(0,0,2)，(1,0,2)，(1,3,2)。42.计算Ly2dx，其中L为（1）

9、半径为 a，圆心为原点，按逆时针方向绕行的上半圆周；（2）从点 A（a,0）沿 x 轴到点 B（-a,0）的直线段。43.计算下列对坐标的曲线积分：222（1）L(x y)dx，其中L是抛物线y x上从点（0，0）到点（2，4）的一段弧；（2）Lydx xdy，其中L为圆周x Rcost,y Rsint上对应t从 0 到的一段弧；2(x y)dx(x y)dy（3）Lx2 y2，其中L为圆周x2 y2 a2（按逆时针方向绕行）。44.计算L(x y)dx(yx)dy，其中L是：2（1）抛物线y x上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；（3）先沿直线

10、从点（1,1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线；（4）曲线x 2t2t 1,y t21上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧。45.证明下列曲线积分在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值：（2）(1,2)(6xy2 y3)dx(6x2y3xy2)dy；（3）(3,4)(2,1)(1,0)(2xy2 y43)dx(x24xy3)dy.46.利用格林公式，计算下列曲线积分：（1）L(2x y4)dx(5y3x6)dy，其中L为三顶点分别为（0,0），（3，0）和（3，2）的三角形正向边界；3222（3）L(2xy y cosx)dx(12ysin x3x y)dy，其中L为在抛物

11、线2x y上由点（0，0）到(,1)的一段弧；2247.验证下列P(x,y)dxQ(x,y)dy在整个xoy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：（1）4sin xsin3 ycosxdx3cos3 ycos2xdy;（2）(3x2y 8xy2)dx(x38x2y 12yey)dyy2cosx)dx(2ysin x x2sin y)dy（3）(2xcos y 22(x y)dS,其中是：48.计算22（1）锥面z x y及平面z 1所围成的区域的整个边界曲面；（2）锥面z2 3(x2 y2)被平面z 0和z 3所截得的部分。49.计算下列对面积的曲面积分：4xyz（

12、1）(z 2xy)dS，其中为平面1在第一卦限中3234的部分；2（2）(2xy2x x z)dS，其中为平面2x2y z 6在第一卦限中的部分。50.计算下列对坐标的曲面积分：222222x（1）y zdxdy，其中是球面x y z R的下半部分的下侧；（2）zdxdy xdydz ydzdx，其中是柱面x2 y21被平面z 0及z 3所截得的在第一卦限内的部分的前侧。51.利用高斯公式计算曲面积分(x y)dxdy(y z)xdydz，其中是柱面x2 y21及平面z 0,z 3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。52.利用高斯公式计算曲面积分：x2dydz y2dzdx z2dxdy，

13、其中是平面x 0,y 0,z 0,x a,y a,z a所围成的立体的表面的外侧。xx 53.计算曲线积分：L(e sin y2y)dx(e cos y2)dy，其中L为上半圆周(xa)2 y2 a2,y 0沿逆时针方向。54.计算下列曲面积分：dS（1）x2 y2 z2，其中是界于平面z 0及z H之间222的圆柱面x y R；222xdydz ydzdx zdxdyz R x y，其中为半球面（3）的上侧。55、判断下列级数是否收敛(n!)（1）（2）2（3）2nn nn1n1n112ncos22nn3（4）n1nsin24nn32nnn1n3 sin2 sinn（7）（5）（8）3nn（6）73n1n1n1n1n(n2)2nn!n(9)(10)nn11n(n1n)(11)21nn1n156、讨论下列级数的绝对收敛与条件收敛n1p（2）（1）(1)nn1(1)n1n1n3n157、把下列函数展成x的幂级数（1）f(x)(1 x)ln(1 x)（2）ln(xx 1)211（3）（4）（a 0的常数）(2x)2(a x)2158、把f(x)2展开成(x1)的幂级数。x 4x359、把f(x)1展开成(x4)的幂级数。x23x260.求下列级数的和函数4n1xx2n1n1（1）nx（2）（3）4n12n1n1n1n1