扭转轴的应力和强度计算

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1、扭转轴的应力和强度计算单元教学设计一、教案头单元名称：扭转轴的应力和强度计算学时：2项目五杆件的应力与强度计算学习型工作任务扭转轴的应力和强度计算教学目标知识目标技能目标态度目标(1) 理解切应变的 概念；(2) 理解剪切胡可 定律；(3) 熟练切应力的 分布规律及计算公 式；(4) 能应用强度条 件解决强度校核、截 面设计、确定许用荷 载等问题；(5) 掌握本单元的 教学方法、学习方 法、考核力法。(1) 能解释本早节的基本 任务与学习方法；(2) 能解决工程实际结构 中应圆轴发生扭转变形时 的强度计算。(1) 能按时到课，遵守课 堂纪律，不迟到，不早退；(2) 认真听讲，积极思考 与回答课

2、堂问题，按时上 交作业；(3) 课下能配合小组积极 完成老师布置的各项任 务；(4) 同学间能对疑难问题 相互讨论；(5) 能勇于表达个人的观 点和见解。能力训练任务及案例解决工程实际结构中应圆轴发生扭转变形时的强度计算。教学重点教学难点圆轴扭转横截面上的切应力、扭转的强度计算圆轴扭转横截面上的切应力、扭转的强度计算教学方法、手段专任教师利用板书、多媒体授课教学组织形式专任教师讲解，学生分组讨论，边讲边练，学生自评互评，教师点评接总结。教学条件教材、课件、课外参考资料。作业在规定时间内完成本单兀的课外作业。备注二、教学内容（以下条目可作参考）（一）概述本次学习任务的主要内容为切应变与剪切胡可定

3、律、切应力的分布规律及计算公式、切应力的强 度条件及强度计算，会应用强度条件解决圆轴扭转时的强度问题。（二）技能要求学生应具备一定的计算、分析问题、解决问题的能力。（三）教学内容、切应变与剪切胡可定律1薄壁圆管扭转时横截面上的切应力为了研究薄壁圆管扭转时横截面上的应力，先观察薄壁圆管扭转时的变形现象。取一等厚薄壁 圆管，受扭前在其表面用等间距的圆周线和纵向线画成微小的方格，如图1 （ a ）所示，然后在两 端加一对外力偶矩m，使圆管产生扭转变形，如图1 （b）所示。可以观察到下列现象：x（1）各纵向线向同一方向倾斜了同一微小角度丫，小方格变成了菱形。（2）各圆周线的形状、大小及间距没有改变，只

4、是绕轴线发生了相对转动。囘9)9)图1用相距dx的两横截面取出一圆环，如图1 （c）所示。由于各圆周线的间距不变，表明横截面 上无正应力。在变形过程中dx微段左右两个侧面产生相对转动，原来的小方格变成菱形，这种变形 称为剪切变形，角度丫是原小方格的直角改变量，这种直角改变量称为切应变，其方向位于圆周的 切线方向，单位为弧度。产生了切应变，说明横截面上必然存在切应力工，其方向垂直于半径。又 因为管壁很薄（壁厚t远远小于圆管的平均半径r），可以认为切应力沿壁厚方向均匀分布。在横截面上任取一微面积dA = trd申，其上的微内力为e dA，它对x轴之矩为ri dA。该横截面上所有微内力对x轴之矩的总

5、和即为该截面的扭矩J rT dA =A0所以，薄壁圆管受扭时，横截面上切应力的计算公式为:(1-1)精确分析表明，当tWr/10时，用式（1-1）计算薄壁圆管扭转时横截面上的切应力是足够精 确的，其误差不超过5%。2剪切虎克定律用相距为dx的两个横截面和两个径向纵截面从薄壁圆管上截取一厚度为t的微小单元体，如图1 （d）所示。单元体的左右两侧面是薄壁圆管横截面的一部分，故在这两个侧面上只有切应力而无 正应力，由切应力互等定理知，其上下侧面上也只有切应力而无正应力，单元体的这种受力状态称 为纯剪切状态。由塑性材料薄壁圆管的扭转实验可以得到切应力与切应变的关系曲线，如图2所示。图2实验表明，对于大

6、多数工程材料，在纯剪状态下，当切应力不超过材料的剪切比例极限T时， P剪应力T与剪应变Y成线性关系。即t = gy（1-2）上式称为剪切虎克定律。式中G为剪切弹性模量，其量纲与弹性模量E的量纲相同。对于各向同性的材料，在弹性范围内，可以证明G与其它两个弹性常数E、r之间存在如下关(1-3)系:G = 2(1+r )表1-1材料的剪切弹性模量G材料名称低碳钢合金钢灰铸铁铜及其合金橡胶木材（顺纹）G (GPa)78.579.579.544.139.245.10.470. 055二、圆轴扭转时横截面上的切应力与薄壁圆管相仿，圆轴扭转时横截面上也只有与扭矩对应的切应力。研究圆轴扭转时切应力的 方法与薄

7、壁圆管类似，首先通过实验、观察、假设，由变形的几何关系、变形与应力之间的物理关 系以及静力学关系，推求横截面上应力公式。（1）几何关系。加载前在圆轴表面上画纵向平行线和横向圆周线，如图3（ a ）所示。在外力 矩作用下，弹性范围内所观察到的圆轴表面变形现象与薄壁圆管扭转时管表面变形现象完全相同， 如图3 （b）所示。根据观察到的变形现象可以提出如下假设：圆轴扭转时，原横截面变形后仍为平 面，其形状、大小不变，横截面只是刚性地绕轴线转动一个角度，这一假设称为平面假设。在圆轴上取dx微段，再从微段中用夹角很小的两个径向截面切出楔形体，如图3 （c）所示。 在圆轴扭转变形中,若截面nn相对截面mm转

8、动d申，由平面假设，截面nn上的两个半径o c和o d2 2 均旋转了同一个角度d申。圆周表面的矩形abed变成了平行四边形abcd，cd边相对ab的错动为cc = Rd申。圆周表面上任意点的直角改变量厂即为该点的切应变，即: cc Rd申Y q tan 丫 =ac dx根据平面假设，得到距圆心为P的任意点的切应变为：YP=p9(1-4)其单位为radm。对于给定截式中6=讐为扭转角沿杆长的变化率，称为单位长度扭转角, 面，6为常数，可见切应变丫与P成正比。P式（1-4）表明：横截面上任一点的切应变Y与该点到圆心的距离P成正比。因此，所有距圆P心等距离的点，其切应变都相等。这就是扭转圆轴横截面

9、上任一点切应变的变化规律。何由）何朗(e图3（2）物理关系。在剪切比例极限范围内，根据剪切虎克定律，得:t = Gy 二 G p0（1-5）pp式（1-5）表明：扭转圆轴横截面上任一点的切应力t与该点到圆心的距离P成正比。由此可 P见，所有距圆心等距离的点，其切应力都相等。因为y是垂直于半径平面内的切应变，所以t的1PP方向应垂直于半径。切应力沿任一半径的变化情况如图3 （d）所示。（3）静力学关系。几何关系、物理关系已确定了切应力在横截面上的分布规律，因为单位长 度扭转角6还是个待定的参数，故还不能由此计算切应力Tp，还需从静力学平衡条件确定单位长度 扭转角6。在横截面上距圆心p处取一微面积

10、dA,如图1-1（e）所示。作用在微面积dA上的微内力为T dA，此力对x轴的力矩为pT dA。整个横截面上各点处微内力对轴之矩为T，即:p 2 dAf pT dA 二 J Gp 26 dA 二 G0fAAA上式中积分f pA2dA为圆截面对圆心的极惯性矩IP。于是dxGIp(1-6)其中GI称为抗扭刚度，它反映了材料及截面形状、尺寸对扭转变形的影响。GI越大，单位pp长度扭转角0越小。将式（1-6）代入式（1-5 ）得(1-7)T_ Tp式（1-7）即扭转圆轴横截面上切应力的计算公式。它说明圆轴扭转时横截面上的切应力与扭 矩T成正比，且沿半径方向呈线性分布，在圆心处，剪应力为零。在横截面周边

11、各点处，剪应力达到最大值，其值为TRt =-max I=PR则有(1-8)t =max WP上式中W称为抗扭截面系数，是反映材料抵抗扭转变形的几何量，其单位为m3或mm3。P对实心圆轴R 3W =P 2对外半径为R，内半径为r的空心圆轴，则:兀R 3W =(1-a 4)P 2(1-9)式（1-6）、（1-7）、（1-8）是在材料符合虎克定律的前提下推导出来的，因此，这些公式使用条件是等直圆杆在线弹性范围内扭转。三、圆轴扭转时的强度计算为了保证受扭圆轴安全可靠地工作,必须使圆轴的最大工作剪应力工不超过材料的扭转许用max切应力T 。因此，圆轴的强度条件为t max（1-11a）p b （3）确定

12、许可荷载。已知构件的材料和尺寸，按强度条件计算出构件所能承担的扭矩，再根据扭矩与外力偶的关系，计算出圆轴所能承担的最大外力偶。此时式1-10）改写为maxIT t w（1-11b）maxp（三）操作要领（注意事项）（1）切应力与剪切胡可定律；（2）切应力的分布规律及计算公式；（3）切应力的强度条件；（4）切应力的强度计算。（四）任务实施对学生进行分组实施教学活动，每58人一组。布置任务安排学生课前查阅资料，教师再以板书 或多媒体课件授课形式对学生集中讲解；然后教师布置单元实训题目，各组学生学习讨论，最后各组 自行完成。（五）检查评价各组学生通过收集相关资料、学习、讨论，最终形成并提交单元实训成果。每组在自评过程对本 组的工作过程进行全面评价，明确下次改进的内容，最终推选一人做自评汇报，然后各组互评，最后 由教师评价并根据提交成果对各组打分，填写教师评价表并作总结。