刚体的转动惯量专题

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1、刚体力学刚体的转动惯量专题1.刚体的转动惯量的三要素 刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量的定义式可看出，刚体的转动惯量是与下列三个因素有关的. （1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大. （2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如，质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大.（3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆

2、，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小. 刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式（1）转动惯量的定义式 可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.于是一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分.（2）刚体对某轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 刚体对轴的转动惯量 刚体对轴的转动惯量 仿照刚体对某轴

3、的转动惯量来定义刚体对于某点的转动惯量：刚体中各质点的质量各自与其至某（参考）点的距离的平方的乘积，所得总和称为刚体对该点的转动惯量.（3）刚体对某点的转动惯量刚体对坐标原点的转动惯量可表示为 由式、，得 即，质点系（刚体）对于坐标原点的转动惯量（或极转动惯量），等于它对于三个坐标轴的转动惯量之和的一半.3.刚体的平行轴定理（许泰乃尔定理） 即，刚体对于任何一轴的转动惯量，等于刚体对于通过它的质心并与该轴平行的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.注意：平行轴定理与刚体对质心轴的转动惯量紧密联系在一起，应用此定理的参考点是刚体对质心轴的转动惯量. 根据平行轴定理，可得到如下关系： （

4、1）刚体绕通过质心的轴的转动惯量小于绕另一平行轴的转动惯量，二者之差为. （2）设有两条平行轴与均不通过质心. 如果比靠近，则刚体绕轴的转动惯量小于绕轴的转动惯量（如图7.52(a)所示）.图7.52 平行轴定理的应用 (a) 在不同圆上；(b)同一圆上 （3）如果有一簇与质心的距离相等的平行轴，那么，刚体绕这些轴的转动惯量均相等（如图7.52(b)所示）.4.刚体的垂直轴定理（正交轴定理、薄片定理）设想刚体为平面薄片，即厚度可以略去不计，因而刚体为平面图形. 即，平面图形对于图形内的两条正交轴的转动惯量之和，等于这个图形对过二轴交点且垂直于图形平面的那条转轴的转动惯量.注意：正交轴定理对于有

5、限厚度的板不成立.5.转动惯量的叠加原理实际上，有些物体是由几种形状不同的刚体的组合. 它对于某轴的转动惯量，可视为各部分对于同一转轴的转动惯量之和，因而， 即，由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量，等于各部分对同轴的转动惯量之和. 此即转动惯量的叠加原理.叠加原理是根据加法的组合定则，把属于各部分的项分别相加，然后求和而得. 同理，设有一物体挖去若干部分，则剩余部分的转动惯量，等于原物体的转动惯量，减去挖去部分的转动惯量.例题1 在质量为，半径为的匀质圆盘上挖出半径为的两个圆孔，圆孔中心在半径的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.图7.53 转动惯量的叠加原理的应用解

6、 大圆盘对过圆盘中心且与盘面垂直的轴线（以下简称轴）的转动惯量 为 . 由于对称放置，两个小圆盘对轴的转动惯量相等，设为，圆盘质量的面密度，根据平行轴定理，有设挖去两个小圆盘后，剩余部分对轴的转动惯量为6.转动惯量的标度变换法 转动惯量的标度变换法是计算转动惯量的一种简便的方法. 由于在几何上具有相似性的均匀物体，它们对相应转轴的转动惯量的表达式也具有相似性，在根据转动惯量的平行轴定理、叠加原理等，确定彼此关系，比较系数，从而获得物体对该轴的转动惯量. 故这种方法可以不用积分即能求得某些特殊形状的物体的转动惯量. 例题2 求均匀立方体绕通过面心的中心轴的转动惯量.图7.54 标度变换法用于计算

7、立方体对通过面心的中心轴的转动惯量 解 令立方体的总质量为，边长为，设均匀立方体绕通过面心的中心轴的转动惯量为其中，系数是无量纲的量. 因为一切立方体在几何上都是相似的，它们应该具有同样的. 中心轴到棱边的距离为根据平行轴定理，立方体绕棱边的转动惯量为现将立方体等分为8个小立方体，每个小立方体的质量为，边长为，绕棱边的转动惯量为8个立方体绕棱边的转动惯量之和应等于大立方体绕中心轴的转动惯量，即比较系数，得于是，求得所以，下面介绍利用定积分法计算质量均匀分布、图形具有对称性的刚体对于一些特殊的转轴的转动惯量. 匀质细杆 例题3 质量为、长为的匀质细杆，绕其质心且垂直于杆的轴旋转，杆的转动惯量是多

8、少？ 解 设杆的线密度为，则. 选择如图所示的坐标轴，杆的质心位于原点，取一个长度为、与质心的距离为的微元，则图7.55 匀质细杆对质心轴的转动惯量根据平行轴定理，杆对通过其一端且垂直于杆的轴的转动惯量为当然用定积分也可得相同的结果. 匀质正方形薄板例题4 求质量为、边长为的匀质正方形薄板对其边为轴的转动惯量. 解 匀质薄板可视为细长条的组合. 根据叠加原理可得对一边的转动惯量.图7.56 匀质正方形薄板对一边为轴的转动惯量同理，可得或利用定积分，其中，为面密度.对轴的转动惯量对质心轴的转动惯量对以对角线为轴的转动惯量当然，对轴的转动惯量也可用二重积分计算得到. 匀质矩形薄板例题5 求质量为、

9、长和宽分别为和的匀质矩形薄板对其边为轴的转动惯量. 解 方法同上，不难得到图7.57 匀质矩形薄板对一边为轴的转动惯量由垂直轴定理，可以进一步求得矩形薄板对通过顶点且垂直于板平面的轴的转动惯量（如图7.57）为当然，对轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.矩形薄板对通过质心且垂直于板平面的轴的转动惯量为图7.58 匀质矩形薄板对过中心且垂直于板面的轴的转动惯量另解：从量纲上考虑，所求的转动惯量可表示为其中，为待定系数.将和转置后，但不会因为和转置而发生变化，比较系数，有则利用匀质矩形板可等分为两个小匀质矩形板的特点，如图7.54所示，有比较系数，有得，因而，匀质长方体例题6 求质量为、长、宽和高

10、分别为、和的匀质长方体对其棱边为轴的转动惯量.图7.59 匀质长方体对其棱边为轴的转动惯量解 由叠加原理，不难得到以棱边为轴的转动惯量同理可得，以棱边为轴的转动惯量以棱边为轴的转动惯量当然，对轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.对轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.对轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.根据平行轴定理，对通过长方体面心为轴的转动惯量如果将上述长方体换成边长为的立方体，则绕其棱边的转动惯量均相等，且对通过正方体面心为轴的转动惯量余此类推.对于特殊刚体，线（线段）面（矩形） 体（长方体）匀质细圆环例题7 求质量为、半径为的匀质细圆环对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量.图7.60

11、匀质细圆环对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量解 细圆环的质量可以认为全部分布在半径为的圆周上，即在距离中心小于或大于的各处，质量均为零，所以转动惯量为或又由垂直轴定理，可以得到其对直径为转轴的转动惯量为再利用平行轴定理，可得细圆环对其任意切线为转轴的转动惯量为.图7.61 匀质细圆环对任意切线为轴的转动惯量其中，为细圆环的线密度，则细圆环对切线的转动惯量 匀质中空薄圆盘例题8 求质量为、内半径为、外半径为的匀质中空薄圆盘对通过中心并与盘面垂直的轴的转动惯量.图7.62 匀质中空薄圆盘对通过中心并与盘面垂直的轴的转动惯量解 匀质中空薄圆盘可视为无限多个同心的细圆环的组合，所以，根据叠加原理可以

12、得到该中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量. 中空薄圆盘的质量为其中，为中空薄圆盘的面密度，则中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量当然，中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.匀质薄圆盘例题9 求质量为、半径为的匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量.图7.63 匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量解 匀质薄圆盘可视为无限多个同心的细圆环的组合，所以，根据叠加原理可以得到该厚圆环对通过中心且垂直于环面的转轴的转动惯量. 薄圆盘的质量为其中，为薄圆盘的面密度，则薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量当然，薄圆盘对通过

13、中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.可见，薄圆盘是中空圆盘的特例. 同样，根据垂直轴定理，得其对直径为转轴的转动惯量为再利用平行轴定理，可得其对切线为转轴的转动惯量为匀质薄壁圆筒例题10 求质量为、半径为的匀质薄壁圆筒对中心轴线的转动惯量.解 匀质薄壁圆筒可视为半径相同，圆心在同一条直线上且各个环面均垂直于该直线的一系列细圆环的组合. 根据叠加原理，由圆环对该直线的转动惯量较易求出此圆筒对该直线为转轴的转动惯量图7.64 匀质薄壁圆筒对中心轴线的转动惯量当然，也可定积分法求解.匀质中空圆柱体例题11 求质量为、内半径为、外半径为的匀质中空圆柱体对中心轴线的转动惯量.图7.6

14、5 匀质中空圆柱体对中心轴线的转动惯量解 匀质中空圆柱体可视圆心在同一条直线上且环面均垂直于该直线的一系列中空圆盘的组合. 根据叠加原理，由中空圆盘对该直线的转动惯量较易求出此中空圆柱体对该直线为转轴的转动惯量当然，也可定积分法求解.其中，为体密度.匀质实心圆柱体例题12 求质量为、半径为的匀质实心圆柱体对中心轴线的转动惯量.图7.66 匀质实心圆柱体对中心轴线的转动惯量解 匀质实心圆柱体可视圆心在同一条直线上且圆面均垂直于该直线的一系列薄圆盘的组合. 根据叠加原理，由薄圆盘对该直线的转动惯量较易求出此圆柱体对该直线为转轴的转动惯量当然，也可定积分法求解.其中，为体密度.当然，实心圆柱体对中心

15、轴线的转动惯量可用三重积分计算得到.可见，厚圆筒是实心圆柱体的特例. 同样，根据垂直轴定理，得其对直径为转轴的转动惯量为匀质实心圆柱体例题12 求质量为、半径为的匀质实心圆柱体对中心直径为轴的转动惯量.图7.67 匀质实心圆柱体对中心直径的转动惯量解 设匀质实心圆柱体由与、围成.其中，为体密度.绕轴的转动惯量为同理可得，绕轴的转动惯量为匀质实心圆柱体例题13 求质量为、半径为的匀质实心圆柱体对端面直径为轴的转动惯量.图7.68 匀质实心圆柱体对端面直径的转动惯量解 设匀质实心圆柱体由与、围成.其中，为体密度.绕轴的转动惯量为同理可得，绕轴的转动惯量为当然，利用平行轴定理也可得到相同的结果.圆环

16、细圆环中空薄圆盘薄圆盘薄圆筒中空圆柱体实心圆柱体匀质球壳例题14 求质量为、半径为的匀质球壳对球心的转动惯量、对任意直径和切线的转动惯量.图7.69 匀质球壳对球心、对任意直径和切线为轴的转动惯量 解 因为在距离球心大于或小于处，质量均为零，而质量均匀分布于球壳上. .解法一：根据刚体对坐标原点的转动惯量的定义式，有或当然，极转动惯量也可用二重积分计算得到.根据关系式对于匀质球壳，球心为坐标原点. 根据对称性，可知则即为球壳对任意直径的转动惯量.解法二：当然，、和也可利用二重积分计算得到.解法三：球壳可视为一系列薄圆环的组合.其中，表示薄圆环的半径，为薄圆环的元质量，为薄圆环的面元.而根据平行

17、轴定理，可得球壳对任意切线为轴的转动惯量若将该球壳切除一半，求剩余部分（球冠）对任一直径的转动惯量.根据刚体对坐标原点的转动惯量的定义式，有或当然，极转动惯量也可用二重积分计算得到.显然，、和可利用二重积分计算得到.将该球壳部分切除，若剩余部分（球冠）的高度为直径的1/4，求其对任一直径的转动惯量.此时在球坐标系中的极角.极转动惯量可用二重积分计算得到.、和可利用二重积分计算得到.这里已利用积分将该球壳部分切除，若剩余部分为原来的1/8，求其对任一直径的转动惯量.极转动惯量可用二重积分计算得到.、和可利用二重积分计算得到.匀质实心球体例题15 求质量为、半径为的匀质实心球体对球心的转动惯量、对

18、任意直径的转动惯量.图7.70 匀质球体对球心、对任意直径和切线为轴的转动惯量解 解法一：球体可视为球壳的组合，其中，为体密度.根据刚体对坐标原点的转动惯量的定义式，有当然，极转动惯量也可利用三重积分计算得到.根据关系式对于匀质球体，球心为坐标原点. 根据对称性，可知则即为球体对任意直径的转动惯量.当然，、和也可利用三重积分计算得到.解法二：球体可视为球壳的组合，根据叠加原理，也可较易求得其对直径的转动惯量为解法三：球体可视为一系列薄圆盘的组合.其中，表示薄圆盘的半径，为薄圆盘的元质量，为薄圆环的体元，为薄圆盘到质心轴的距离，为薄圆环的厚度.根据平行轴定理，可得球体对任意切线为轴的转动惯量若将

19、该球体切除一半，求剩余部分对任一直径的转动惯量.根据刚体转动惯量的叠加原理，有当然，极转动惯量也可用三重积分计算得到.显然，、和也可利用三重积分计算得到.将该球壳部分切除，若剩余部分的高度为直径的1/4，求其对任一直径的转动惯量.此时在球坐标系中的极角.极转动惯量可用三重积分计算得到.、和可利用三重积分计算得到.将该球体部分切除，若剩余部分为原来的1/8，求其对任一直径的转动惯量.极转动惯量可用三重积分计算得到.、和可利用三重积分计算得到.匀质中空球体例题16 求质量为、内半径为、外半径为的匀质中空球体对球心的转动惯量、对任意直径的转动惯量.图7.71 匀质中空球体对球心、对任意直径和切线为轴

20、的转动惯量解 中空球体可视为球壳的组合，其中，为体密度.根据刚体对坐标原点的转动惯量的定义式，有当然，极转动惯量也可利用三重积分计算得到.根据关系式对于匀质球体，球心为坐标原点. 根据对称性，可知则即为球壳对任意直径的转动惯量.当然，、和也可利用三重积分计算得到.另解：中空球体可视为球壳的组合，根据叠加原理，也可较易求得其对直径的转动惯量为薄球壳中空球体实心球体练习：1 求质量为、边长为的匀质等边三角形对过顶点且垂直于板面的轴的转动惯量.图7.72 等边三角形对过顶点且垂直于板面为轴的转动惯量 解 对轴的转动惯量，对轴的转动惯量，错误的做法：正确的做法：根据垂直轴定理，有若直接计算对经过顶点且

21、垂直于三角形平面的轴的转动惯量，取窄条后，则窄条上各点到轴的距离并非处处相等，故此法不可行！2 求质量为、底面为边长的等边三角形、高的匀质正三棱柱对以其高为轴的转动惯量. 解 正三棱柱可视为由无限多个正三角形的组合，根据第1题的结论，利用转动惯量的叠加原理，有3 求质量为、边长为且一个顶角为匀质棱形对过顶点且垂直于板面的轴的转动惯量.图7.73 一个顶角为的棱形对过顶点且垂直于板面为轴的转动惯量 解 根据第1题结论，利用转动惯量的叠加原理，有4求质量为、底面为边长且一个顶角为匀质棱形、高的匀质正四棱柱对以其高为轴的转动惯量.解 该正四棱柱可视为由无限多个棱形的组合，根据第3题的结论，利用转动惯

22、量的叠加原理，有5求质量为、边长为匀质正六边形对过顶点且垂直于板面的轴的转动惯量.图7.74 正六边形对过顶点且垂直于板面为轴的转动惯量解 根据第1题结论，利用转动惯量的叠加原理，有其中，.6 求质量为、底面为边长的正六边形、高的匀质正六棱柱对以其高为轴的转动惯量.解 该正六棱柱可视为由无限多个正六边形的组合，根据第5题的结论，利用转动惯量的叠加原理，有表7.2 一些简单几何图形的转动惯量刚体转轴的位置转动惯量细杆通过中心且垂直于杆通过杆端且垂直于杆细圆环通过中心且与环面垂直沿直径沿切线中空圆盘通过中心且与环面垂直沿直径薄圆盘通过中心且与盘面垂直沿直径沿切线薄壁中空圆筒通过中心轴沿直径中空圆柱

23、体通过中心轴沿直径中实圆柱体通过中心轴沿直径沿中心直径沿端面直径球壳沿直径沿切线中空球体沿直径球体沿直径沿切线第七章习题选讲7.1.4 半径为0.1 m的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立坐标系，原点在轴上，和轴沿水平和铅直向上的方向. 边缘上一点当时恰好在轴上，该点的角坐标满足 (的单位为rad，的单位为s). （1）时，（2）自开始转45时，（3）转过90时，点的速度和加速度在和轴上的投影. 解： （1）当时，（2）当时，由，得当时，由，得7.1.7飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150 cm，发动机转速. 桨尖相对于飞机的线速率等于多少？若飞机以250 km/h的速率飞行，计

24、算桨尖相对地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹.解：桨尖相对飞机的速度：桨尖相对地面的速度：，飞机相对地面的速度与螺旋桨相对飞机的速度总是垂直的，所以，显然，桨尖相对地面的运动轨迹为螺旋线.7.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置. 圆锥体为匀质；密度为的函数：，为正常数.解：建立图示坐标轴,据对称性分析，质心必在轴上，在坐标处取一厚为的质元.根据相似三角形，有，即 ，则 圆锥体为匀质，即为常数，总质量：质心： 总质量：质心： 7.3.3 在质量为，半径为的匀质圆盘上挖出半径为的两个圆孔，圆孔中心在半径的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.解：大圆盘对过

25、圆盘中心且与盘面垂直的轴线（以下简称轴）的转动惯量 为 . 由于对称放置，两个小圆盘对轴的转动惯量相等，设为，圆盘质量的面密度，根据平行轴定理，有设挖去两个小圆盘后，剩余部分对轴的转动惯量为7.4.2 质量为2.97 kg，长为1.0 m的匀质等截面细杆可绕水平光滑的轴线转动，最初杆静止于铅直方向. 一弹片质量为10 g，以水平速度200 m/s射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角. 解：将子弹、杆构成的物体系作为研究对象，整个过程可分为两个阶段研究：第一阶段，子弹与杆发生完全非弹性碰撞，获得共同的角速度，此过程时间极短，可认为杆原地未动. 由于在此过程中，外力矩为零，因此角动量守

26、恒，根据牛顿碰撞公式第二阶段，子弹与杆以共同的初角速度摆动到最大角度，由于在此过程中，只有重力做功，所以物体系的机械能守恒.于是，.点评：当子弹射入细杆的瞬时，铰链处将出现冲击性作用力，此时，满足角动量守恒条件；当把细杆换成细绳，细绳的另一端有一木块，子弹射入木块时，悬挂点处不出现冲击性作用力，此时，满足动量守恒条件.7.5.6 如图，板的质量为，受水平力的作用，沿水平面运动. 板与平面间的摩擦因数为. 在板上放一半径为质量为的实心圆柱，此圆柱只滚动不滑动. 求板的加速度.解：隔离圆柱，其受力及运动情况如图所示.其中,为质心对地的加速度，为相对质心的角加速度，、分别为板施加给 圆柱的静摩擦力和

27、压力. 由质心定理，得对质心应用转动定理，有隔离木板，其受力及运动情况如图所示.其中，为板对地的加速度，、分别为水平面施加给板的滑动摩擦力和压力. 应用牛顿第二定律（或质心定理），有圆柱在木板上只滚动不滑动的条件是： （板本身具有加速度） (圆柱与板接触点对地的加速度等于质心加速度加上绕质心转动的加速度，即，它必须等于木板对地的加速度，才能只滚不滑)由以上式子，得7.5.7 在水平桌面上放置一质量为的线轴，内径为，外径为，其绕中心轴转动惯量为，线轴和地面之间的静摩擦系数为. 线轴受一水平拉力，如图所示.使线轴在桌面上保持无滑滚动之最大值是多少？若和水平方向成角，试证，时，线轴向前滚；时，线轴向后滚动.解：可将（1）看作（2）的特殊情况. 建立图示坐标，轴垂直纸面向外，为角量的正方向. 根据静摩擦力的性质，可知其方向与水平分量方向相反. 设线轴质心的加速度为，绕质心的角加速度为.由质心定理，有由转动定理，有只滚动不滑动，则要求 （桌面静止）联立上述诸式，得： 为水平拉力时，即 .根据库仑经验公式，有得. 若，即线轴向前滚；若，即线轴向后滚；若，即线轴处于平衡状态.第 133 页 共 133 页