国际数学奥林匹克试题分类解析-A数论A4整除

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1、A4 整除A4001 证明：当且仅当指数n不能被4整除时，1n2n3n4n能被5整除【题说】1901年匈牙利数学奥林匹克题1【证】容易验证14243444 （mod 5）假设n=4kr，k是整数，r=0，1，2，3则Sn=1n2n3n4n1r2r3r4r（mod 5）由此推出，当r=0时，Sn4，而当r=1，2，3时，Sn0（mod 5）因此，当且仅当n不能被4整除时，Sn能被5整除A4002 证明：从n个给定的自然数中，总可以挑选出若干个数（至少一个，也可能是全体），它们的和能被n整除【题说】1948年匈牙利数学奥林匹克题3【证】设a1，a2，an是给定的n个数考察和序列：a1，a1a2，a

2、1a2a3，a1a2an如果所有的和数被n除时余数都不相同，那么必有一个和数被n除时余数为0此时本题的断言成立如果在n个和数中，有两个余数相同（被n除时），那么从被加项较多的和数中减去被加项较少的和数，所得的差能被n整除此时本题的断言也成立A4003 1设n为正整数，证明132n1是168的倍数2问：具有那种性质的自然数n，能使123n整除123n【题说】1956年上海市赛高三复赛题1【解】1132n1=（132）n1，能被1321，即168整除2问题即何时为整数（1）若n1为奇质数，则（n1） 2（n1）！（2）若n1=2，则（n1）|2（n1）！（3）若n1为合数，则n1=ab其中ab1在

3、b=2时，a=n1an1，所以a|（n1）！，（n1）|2（n1）！在b2时，2an1an1，所以2ab|（n1）！更有 （n1）|2（n1）！综上所述，当np1（p为奇质数）时，12n整除12nA4004 证明：如果三个连续自然数的中间一个是自然数的立方，那么它们的乘积能被504整除【题说】 1957年1958年波兰数学奥林匹克三试题1【证】设三个连续自然数的乘积为n=（a31）a3（a31）（1）a1，2，-3（mod 7）时，7|a31a1，2，3（mod 7）时，7|a31a0（mod 7）时，7|a3因此7|n（2）当a为偶数时，a3被8整除；而当a为奇数时，a31与a31是两个相邻

4、偶数，其中一个被4整除，因此积被8整除（3）a1，2，4（mod 9）时，9|a31a1，2，-4（mod 9）时，9|a31a0，3（mod 9）时，9|a3因此9|n由于7、8、9互素，所以n被504=789整除A4005 设x、y、z是任意两两不等的整数，证明（xy）5（yz）5（zx）5能被5（yz）（zx）（xy）整除【题说】1962年全俄数学奥林匹克十年级题3【证】令xy=u，yz=v，则zx=（uv）（xy）5（yz）5（zx）5=u5v5（uv）5=5uv（nv）（u2uvv2）而 5（yz）（zx）（xy）=5uv（uv）因此，结论成立，而且除后所得商式为u2uvv2=x2y

5、2z22xy2yz2xz【别证】也可利用因式定理，分别考虑原式含有因式（xy），（yz），（zx）以及5A4006 已知自然数a与b互质，证明：ab与a2b2的最大公约数为1或2【题说】1963年全俄数学奥林匹克八年级题4【证】设（ab，a2b2）=d，则d可以整除（ab）2（a2b2）=2ab但由于a、b互质，a的质因数不整除ab，所以d与a互质，同理d与b互质因此d=1或2A4007 （a）求出所有正整数n使2n1能被7整除（b）证明：没有正整数n能使2n1被7整除【题说】第六届（1964年）国际数学奥林匹克题1本题由捷克斯洛伐克提供解的关键是找出2n被7除所得的余数的规律【证】（a）设m

6、是正整数，则23m=（23）m=（71）m=7k1（k是正整数）从而 23m+1=223m=2（7k1）=7k1223m+2=423m=4（7k1）=7k24所以当n=3m时，2n17k；当n=3m1时，2n1=7k11；当n=3m2时，2n1=7k23因此，当且仅当n是3的倍数时，2n1能被7整除（b）由（a）可知，2n1被7除，余数只可能是2、3、5因此，2n1总不能被7整除A4008 设k、m和n为正整数，mk1是比n1大的一个质数，记Cs=s（s1）证明：乘积（Cm+1Ck）（Cm+2-Ck）（Cm+nCk）能被乘积C1C2Cn整除【题说】第九届（1967年）国际数学奥林匹克题3本题由

7、英国提供【证】CpCq=p（p1）q（q1）=p2q2pq=（pq）（pq1）所以 （Cm+1Ck）（Cm+2Ck）（Cm+nCk）=（mk1）（mk2）（mkn）（mk2）（mk3）（mkn1）C1C2Cn=n！（n1）！因此只需证=AB是整数由于n个连续整数之积能被n！整除，故A是整数是整数因为mk1是大于n1的质数，所以mk1与（n1）！互素，从而（mk2）（mk3）（mkn1）能被（n1）！整除，于是B也是整数，命题得证A4009 设a、b、m、n是自然数且a与b互素，又a1，证明：如果ambm能被anbn整除，那么m能被n整除【题说】第六届（1972年）全苏数学奥林匹克十年级题1【证

8、】由于akbk=ak-n（anbn）bn（ak-nbk-n）albl=al-n（anbn）bn（al-nbl-n）所以（i）如果akbk能被anbn整除，那么ak-nbk-n也能被anbn整除（ii）如果albl能被anbn整除，那么al-nbl-n也能被anbn整除设m=qnr，0rn，由（i）、（ii）知ar（1）qbr能被anbn整除，但0|ar（1）qbr|anbn，故r=0（同时q是奇数）亦即n|mA4010 设m，n为任意的非负整数，证明：是整数（约定0！=1）【题说】第十四届（1972年）国际数学奥林匹克题3本题由英国提供易证 f（m1，n）=4f（m，n）f（m，n1） （1）

9、n）为整数，则由（1），f（m1，n）是整数因此，对一切非负整数m、n，f（m，n）是整数A4011 证明对任意的自然数n，和数不能被5整除【题说】第十六届（1974年）国际数学奥林匹克题3本题由罗马尼亚提供又两式相乘得因为72n+1=749n2（1）n（mod 5）A4012 设p和q均为自然数，使得证明：数p可被1979整除【题说】第二十一届（1979年）国际数学奥林匹克题1本题由原联邦德国提供将等式两边同乘以1319！，得其中N是自然数由此可见1979整除1319！p因为1979是素数，显然不能整除1319！，所以1979整除p A4013 一个六位数能被37整除，它的六个数字各个相同且

10、都不是0证明：重新排列这个数的六个数字，至少可得到23个不同的能被37整除的六位数【题说】第十四届（1980年）全苏数学奥林匹克十年级题1（cf）被37整除由于上述括号中的数字是对称出现的，且各数字不为0，故交换对又因为100a10bc=999c10（100c10ab），所以各再得7个被37整除的数，这样共得23个六位数A4014 （a）对于什么样的整数n2，有n个连续正整数，其中最大的数是其余n1个数的最小公倍数的约数？（b）对于什么样的n2，恰有一组正整数具有上述性质？【题说】第二十二届（1981年）国际数学奥林匹克题4【解】设n个连续正整数中最大的为m当n=3时，如果m是m1，m2的最小

11、公倍数的约数，那么m整除（m1）（m2），由m|（m1）（m2）得m|2，与m20矛盾设n=4由于m|（m1）（m2）（m3）所以m|6，而m4，故这时只有一组正整数3，4，5，6具有所述性质设n4由于m|（m1）（m2）（mn1），所以m|（n1）！取m=（n1）（n2），则（n1）|（m（n1），（n2）|（m（n2）由于n1与n2互质，m（n1）与m（n2）互质，所以m=（n1）（n2）整除m（n1）与m（n2）的最小公倍数，因而m具有题述性质类似地，取m=（n2）（n3），则m整除m（n2）与m（n3）的最小公倍数，因而m具有题述性质所以，当n4时，总能找到具有题述性质的一组正整数当且

12、仅当n=4时，恰有唯一的一组正整数A4015 求一对正整数a和b，使得：（1）ab（ab）不被7整除；（2）（ab）7a7b7被77整除证明你的论断【题说】第二十五届（1984年）国际数学奥林匹克题2【解】（ab）7a7b7=7a6b21a5b235a4b335a3b421a2b57ab6=7ab（a5b5）3ab（a3b3）5a2b2（ab）=7ab（ab）a42a3b3a2b22ab3b4=7ab（ab）（a2abb2）2取a=18，b=1，则a2abb2=a（ab）b2=343=73所以（ab）7a7b7被77整除，ab（ab）不被7整除A4016 1是否存在14个连续正整数，其中每一个

13、数均至少可被一个不小于2、不大于11的素数整除？2是否存在21个连续正整数，其中每一个数均至少可被一个不小于2、不大于13的素数整除？【题说】第十五届（1986年）美国数学奥林匹克题1【解】114个连续正整数中，有7个奇数n，n2，n4，n6，n8，n10，n12不能被2整除这7个奇数中，至多1个被11整除，一个被7整除，2个被5整除，3个被3整除如果被3整除的数少于3个或被5整除的数少于2个，那么这7个奇数中被3，5，7，11整除的数不足7个如果恰有3个数被3整除，2个数被5整除，那么，被3整除的数必须是n，n6，n12，被5整除的2个数必须为n与n10或n2与n12此时必有一个数n或n12

14、同时被3，5整除即这7个奇数中被3，5，7，11整除的数仍不足7个不管怎样，这14个连续正整数中必有1个不被2，3，5，7，11任一个整除故答案为不存在2存在以下21个连续整数10，9，1，0，1，2，3，10除去1，其余整数被2，3，5，7之一整除由中国剩余定理，满足N0（mod 210）N1（mod 11）N1（mod 13）的整数N存在，于是N10，N9，N，N1，N10这21个连续整数满足所有要求A4018 试求出所有的正整数a、b、c，其中1abc，使得（a1）（b1）（c1）是abc1的约数【题说】第三十三届（1992年）国际数学奥林匹克题1本题由新西兰提供【解】设x=a1，y=b

15、1，z=c1，则1xyz并且xyz是（x1）（y1）（z1）1=xyzxyzxyyzzx的约数，从而xyz是xyzxyyzzx的约数由于xyzxyyzzx3yz，所以x=1或2若x=1，则yz是奇数12y2z的约数由于12y2z4z，所以y=3并且3z是72z的约数于是z=7若x=2，则2yz是23y3zyz的约数，从而y，z均为偶数，设y=2y1，z=2z1，则4y1z113y13z12y1z16z12y1z1，所以y13因为yx，所以y1=2，y=4再由8z1是77z1的约数得z1=7，z=14因此，所求解为（3，5，15）与（2，4，8）019 x与y是两个互素的正整数，且xy1，n为正

16、偶数证明：xy不整除xnyn【题说】1992年日本数学奥林匹克题1【证】由（x，y）=1知（xy，y）=1，（xy，xy）=1当n=2时，x2y2=（xy）22xy由于xy2，所以（xy） 2xy故（xy） （x2y2）假设当n=2k（kN+）时，（xy） （x2ky2k）则当n=2（k1）时，由于x2(k+1)y2(k+1)=（xy）（x2k+1y2k+1）xy（x2ky2k）所以（xy） （x2(k+1)y2(k+1)）故对一切正偶数n，xy不整除xnyn A4020 证明当且仅当n1不是奇素数时，前n个自然数的积被前n个自然数的和整除【题说】第二十四届（1992年）加拿大数学奥林匹克题1

17、若n1为奇合数，设n1=qr，q、r为奇数且3qr，则nA4021 找出4个不同的正整数，它们的积能被它们中的任意两个数的和整除你能找出一组5个或更多个数具有同样的性质吗？【题说】1992年英国数学奥林匹克题3【解】显然，2、6、10、14满足要求任取n个不同的正整数。a1、a2、an，令则n个不同的正整数la1、la2、lan中任意两个的和显然整除l2，从而整除它们的积lna1a2anA4022 求最大自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除7y12y1【题说】1992年友谊杯国际数学竞赛七年级题1【解】当y=1时，7y12y1=18假设7y12y1是18的倍数，因为7y+112（y1）1=

18、67y12（7y12y-1）=6（7y2）（7y12y-1）7y2120（mod 3）所以，7y+112（y1）1是18的倍数从而对一切自然数y，18整除7y12y1，所求的x即18 A4023 证明：若n为大于1的自然数，则2n1不能被n整除【题说】1992年友谊杯国际数学竞赛九年级题2【证】若n是偶数，显然有n （2n1）若n是奇素数，由费马定理知2n2（mod n），所以2n11（mod n），即n （2n1）若n是奇合数，设p是n的最小素因子，由费马定理知2p-11（mod P）；若i是使2i1（mod P）成立的最小自然数，则2iP1，从而i n，设n=qir，0ri，则2n2r 1

19、（mod p），即p （2n1），故n （2n1）A4024 当n为何正整数时，323整除20n16n3n1？【题说】第三届（1993年）澳门数学奥林匹克第一轮题5【解】 323=1719当n为偶数时，20n16n3n113n3n10（mod 19）20n16n3n13n1n3n10（mod 17）所以此时323整除20n16n3n1当n为奇数时，20n16n3n13n13n2 0（mod 17），所以此时323不整除20n16n3n1A4025 设x、y、z都是整数，满足条件（xy）（yz）（zx）=xyz （*）试证：xyz可以被27整除【题说】第十九届（1993年）全俄数学奥林匹克九年级

20、二试题5【证】（1）整数x、y、z被3除后余数都相同时，27|（xy）（yz）（zx），即27|xyz（2） x、y、z被3除后有且仅有两个余数相同，例如xy（mod 3），且y z（mod 3），这时3 xyz且3|（xy），与（*）式矛盾，可见情形（2）不会发生（3）x、y、z被3除后余数都不相同，这时3|（xyz），但3 （xy）（yz）（zx）仍与（*）式矛盾，可见情况（3）也不会发生于是，x、y、z除以3余数都相同，并且，27|xyzA4026 对于自然数n，如果对于任何整数a，只要n|an1，就有n2|an1，则称n具有性质P（1）求证每个素数n都具有性质P；（2）求证有无穷多个合

21、数也都具有性质P【题说】第三十四届（1993年）IMO预选题本题由印度提供【证】（1）设n=P为素数且p|（ap1），于是，（a，p）=1因为ap1=a（ap-11）（a1）由费马小定理p|（ap-11）所以，p|（a1），即a1（mod p）因而ai1（mod p），i=0，1，2，p1将这p个同余式加起来即得ap-1ap-2a10（mod p）所以，p2|（a1）（ap-1ap-2a1）=ap1a1（mod n）于是，像（1）一样又可推得n2|（an1）因此，（q1）（p1）因为q|（p2），所以q （p1）又因具有性质P显然pnp2取大于p2的素数，又可获得另一个具有性质P的合数所以，有

22、无穷多个合数n具有性质pA4027 证明：对于自然数k、m和n不等式k，mm，nn，kk，m，n2成立（其中a，b，c，z表示数a、b、c，z的最小公倍数）【题说】第二十届（1994年）全俄数学奥林匹克十年级（决赛）题5【证】将k、m、n分解设其中pi（i=1，2，l）为不同的素数，i、i、i为非负整数对任一个素因数pi，不妨设0iii在所要证明的不等式左边，pi的指数为iii=i2i；而右边pi的指数为i2=2i因而所要证明的不等式成立A4029 证明；所有形如10017，100117，1001117，的整数皆可被53整除【题说】第五十八届（1995年）莫斯科数学奥林匹克八年级题2【证】易知

23、第一个数10017可被53整除，而数列中相邻二数的差也可被53整除，所以数列中所有数皆可被53整除 A4030 证明：无论在数12008的两个0之间添加多少个3，所得的数都可被19整除【题说】第五十八届（1995年）莫斯科数学奥林匹克九年级题7【证】我们有故结论成立A4031 设S=1，2，50），求最小自然数k，使S的任一k元子集中都存在两个不同的数a与b，满足（ab）|ab【题说】1996年中国数学奥林匹克（第十一届数学冬令营）题2【解】设a、bS，满足（ab）|ab，令（a，b）=c，则 a=ca1，b=cb1，（a1，b1）=1从而c（a1b1）=（ab）|ab=c2a1b1因为（a1

24、b1，a1）=1，（a1b1，b1）=1，所以（a1b1）|c由于a、b是S中不同的数，从而ab99即 c（a1b1）99，而a1b1|c，故有3a1b19在a1b1=3时，d=3，6，9，12，15，18，21，24，相应的（a，b）=（3，6），（6，12），（9，18），（12，24），（15，30），（18，36），（21，42），（24，48）类似地，可得出a1b1=4，5，6，7，8，9时的数对（a，b）将每一对得到的a、b用线相连成右图S中剩下的25个数与图上画圈的13个数所成的38元集，不含任一对a、b满足（ab）|ab另一方面，S中任一集R，如果元数39，那么图上至多11个数

25、 R，从而12对数（14，35），（9，18），（28，21），（42，7），（5，20），（30，15），（45，36），（6，3），（10，40），（12，4），（24，8），（48，16）中至少有一对数都属于R，即R中有a、b满足（ab）|ab综上所述，K=39A4032 设自然数x、y、p、n和k满足等式xn+yn=pk证明：若n（n1）是奇数，p是奇素数，则n是数p的正整数幂【题说】第二十二届（1996年）全俄数学奥林匹克九年级题3【证】不失一般性，设x与y都不被p整除因为n为奇数，所以用A表示上式右边由于p2，因此x、y中至少有一个数大于1因为n1，所以A1因为A（xy）=pk，所

26、以A被p整除，数xy也被p整除于是得到0Axn-1xn-2（x）xn-3（x）2x（x）n-2（x）n-1（mod p）即nxn-10（mod p），而x不被素数P整除，所以n被p整除对n的任一素因数r，设n=rs，则（xs）r（ys）r=pk，根据上面所证，r被p整除，所以r=p，从而n是p的正整数幂A4033 是否存在3个大于1的自然数，使得其中每个自然数的平方减1，能分别被其余的每个自然数所整除？【题说】第二十二届（1996年）全俄数学奥林匹克十一年级题5【解】设abc是满足题设条件的三个自然数因为a21被b整除，所以a与b互素又c21能分别被a、b整除，因而被ab整除，于是c21ab另一方面由ac及bc得abc2，矛盾所以满足题设的数不存在A4034 是否存在三个相异的素数p、q、r，使qr整除p2d，rp整除q2d，pq整除r2d，其中（1）d=10；（2）d=11【题说】1996年城市数学联赛低年级较高水平题2【解】（1）满足条件的素数不存在，事实上，若p、q、r满足条件，不妨设pqr则r2（若不然，pq|14=r2d，与q2相矛盾），从而qr2，又3210=19是素数，从而p、q、r不可能是三个连续奇数（因三个连续奇素数中必有一个是3），所以pr6，但r210pq（r6）（r2）=r28r12这是不可能的（2）p=5，q=3，r=2满足条件