相量法基础知识讲义

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1、第八章第八章 相量法相量法 内容：内容：复数复数 正弦量正弦量 相量法的基础相量法的基础 电路定律的相量形式电路定律的相量形式8.1 复数复数一、复数的几种形式：一、复数的几种形式：1、代数形式：、代数形式：F=a+j ba=Re F b=Im F 2、三角形式：、三角形式：F=|F|(cos+jsin)+1abF0+j3、指数形式：、指数形式：F=|F|ej 欧拉公式：欧拉公式：sinjcosej极坐标形式：极坐标形式：F=|F|一、复数的运算：一、复数的运算：则则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算加减运算直角坐标直角坐标若若 F1=a1+jb1，F2=a2+jb2加减法

2、可用图解法。加减法可用图解法。平行四边形法平行四边形法(2)乘除运算乘除运算极坐标（指数形式）极坐标（指数形式）若若 F1=|F1|1 ，若若F2=|F2|221212212211211|F|F|e|F|e|F|F|F|FF j j 除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。则则:F1F2ReImOF1+F2F1-F221212121212121 FFeFFeFeFFF)(jjj例例1.?2510475 )226.4063.9()657.341.3(2510475jj 569.047.12j 61.248.12 解解:例例2.?5 j20j6)(4

3、 j9)(17 35 220 解：上式解：上式2.126j2.180 04.1462.203.56211.79.2724.19 16.70728.62.126j2.180 329.6j238.22.126j2.180 36522551325182 .j.(3)旋转因子：旋转因子：复数复数 ej =cos +jsin =1 A ej 相当于相当于A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度 ，而模不变。，而模不变。8.2 正弦量正弦量一一.正弦量：按正弦规律变化的量。正弦量：按正弦规律变化的量。瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=Imsin(w w t+y y)i+_u波形：波形：tiOy y/w

4、wT周期周期T(period)和频率和频率f(frequency):频率频率f：每秒重复变化的次数。每秒重复变化的次数。周期周期T：重复变化一次所需的时间。重复变化一次所需的时间。f=1/T单位：单位：Hz，赫，赫(兹兹)单位：单位：s，秒，秒(1)幅值幅值(amplitude)(振幅、振幅、最大值最大值)Im：反映正弦量变反映正弦量变化幅度的大小。化幅度的大小。(2)(2)角频率角频率(angular frequency)w w ：每秒变化的角度：每秒变化的角度(弧度弧度)，反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。二、正弦量的二、正弦量的三要素三要素：tiOy y/w wT(3)初相位初相位

5、(initial phase angle)y y：反映了正弦量的：反映了正弦量的计时起点计时起点。(w wt+y y)表示正弦量随时间变化的表示正弦量随时间变化的进程进程,称之为相位角。它的大小决定该称之为相位角。它的大小决定该时刻正弦量的值。时刻正弦量的值。Im2 w wtTf w w22 单位：单位：rad/s ，弧度弧度/秒秒i(t)=Imsin(w w t+y y)峰峰-峰值：峰值：2 Im同一个正弦量，同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同计时起点不同，初相位不同。tiOy y =0=0y y =/2/2y y =-=-/2/2一般规定一般规定：|。一个电路中的许多相关的正弦量，计时

6、零点必一个电路中的许多相关的正弦量，计时零点必须相同。须相同。三、正弦量的性质：三、正弦量的性质：正弦量的微分、积分，同频正弦量的代数和等运算，正弦量的微分、积分，同频正弦量的代数和等运算，结果仍为一个同频率的正弦量。结果仍为一个同频率的正弦量。四、周期量的有效值四、周期量的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。用其大小工程上采用有效值来表示。用大写字母大写字母表示。表示。TttiTI02defd)(1物理意义物理意义：周期性电流：周期性电流 i 流过电阻流过电阻 R，在一周期，在一周期T 内吸收的内吸收的

7、电能，等于一直流电流电能，等于一直流电流I 流过流过R,在时间在时间T 内吸内吸收的电能，则称电流收的电能，则称电流 I 为周期性电流为周期性电流 i 的有效值。的有效值。均方根值均方根值正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imsin(w w t+)ttITITd )(sin1022m w w TtttttTTT2121d2)(2cos1d )(sin 0002 w w w w IIIITITI2 707.0221 mmm2m )sin(2)sin()(mtItIti w w w w TttiTI02defd)(1同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电

8、压有效值与最大值的关系：UUUU2 21mm 或或若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V；U=380V，Um 537V。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*注意注意 区分电压、电

9、流的瞬时值、最大值、有效值的符号。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。I,I,im五、同频率正弦量的相位差五、同频率正弦量的相位差(phase difference)。设设 u(t)=Umsin(w w t+y y u),i(t)=Imsin(w w t+y y i)则则 相位差相位差 即相位角之差：即相位角之差：j j =(w w t+y y u)-(w w t+y y i)=y y u-y y i j j 0，u 领先领先(超前超前)I j j 角，或角，或i 落后落后(滞后滞后)u j j 角角(u 比比 i 先先到达最大值到达最大值)；j j 0，i 领先领先(超前超前)u

10、j j 角，或角，或u 落后落后(滞后滞后)i j j 角角(i 比比 u 先到达最大值先到达最大值)。w w tu,iu iy yuy yij jO恰好等于初相位之差恰好等于初相位之差j j =0，同相：同相：j j =(180o)，反相：反相：规定：规定：|y y|(180)。特殊相位关系：特殊相位关系：w w tu,iu iOw w tu,iu iOj j =/2/2：u 领先领先 i/2/2,不说不说 u 落后落后 i 3/2；i 落后落后 u/2/2,不说不说 i 领先领先 u 3/2。w w tu,iu iO同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差

11、。8.3 相量法的基础相量法的基础正弦稳态电路的特点：激励和稳态响应统一频率。正弦稳态电路的特点：激励和稳态响应统一频率。相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。加一个小圆点是用来和普通的复数相区别加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正强调它与正弦量的联系弦量的联系)，同时也改用，同时也改用“相量相量”，而不用，而不用“向量向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。量。)sin(2)(IItIti )sin(2)(UUtUtu 为正弦量为正弦量 i(t

12、)对应的相量。对应的相量。II 正弦量的相量表示正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的相量的模表示正弦量的有效值有效值相量的幅角表示正弦量的相量的幅角表示正弦量的初相位初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：1、相量：、相量：已知已知例例1 1.试用相量表示试用相量表示i,u.)V6014t311.1sin(3A)30314sin(4.141oo uti解解：V60220A30100oo UI例例2.试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解：A)15314sin(250 ti.50Hz A,1550 fI已已知知 2、相量图相量图(相量

13、和复数一样可以在平面上用向量表示相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：IItIti)sin(2)(UUtUtu )sin(2)(U Iejw w t 为一模为为一模为1、幅角为、幅角为w w t 的相量。随的相量。随t的增加，模不变，的增加，模不变，而幅角与而幅角与t成正比，可视其为一成正比，可视其为一旋转因子旋转因子，当，当t从从0T时，时，相量旋转一周回到初始位置，相量旋转一周回到初始位置，w w t 从从02。电流电流投影即为正弦投影即为正弦其旋转一周在虚轴上的其旋转一周在虚轴上的的旋转相量。的旋转相量。为为初始角度初始角度是模为是模为)tsin(Ii ,IIeeeIeI)tj(tjj

14、tj y y w w w ww ww w 222223、相量运算相量运算(1)同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。i1 i2=i3321 III这实际上是一种这实际上是一种变换思想变换思想)2Im()sin(2)()2Im()sin(2)(j2222j1111tteUtUtueUtUtuw ww w w w w w)(2Im()22Im()2Im()2Im()()()(j21j2j1j2j121ttttteUUeUeUeUeUtututuw ww ww ww ww w U21UUU 可得其相

15、量关系为：可得其相量关系为：例例V)60314sin(24)(V )30314sin(26)(o21 ttuttu同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。V604 V 306o2o1 UUV )9.41314sin(264.9)()()(o21 ttututu60430621 UUUReIm301U9.41UReIm9.41301U602UU首尾相接首尾相接46.32319.5jj 46.619.7j V 9.4164.9o 602U(2).正弦量的

16、微分，积分运算正弦量的微分，积分运算 )sin(2iiIItIiy y y y w w )2sin(2 )cos(2 )sin(2 y y w ww w w wy y w w w w iiitItItIdtddtdi)2sin(2 )cos(2 )dsin(2d y y w w y y w w y y w w iiitItIttItiIjIdtdiiw w y y w w2w w y y w w jIIidti2微分运算微分运算:积分运算积分运算:IjdtIdw w 相量微分相量微分:相量积分相量积分:w w jIdtI（3）、）、相量法的应用相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解求解正弦电流电

17、路的稳态解(微分方程的特解微分方程的特解)例例 )sin()(mutUtu w w 一阶常系数一阶常系数线性微分方程线性微分方程自由分量自由分量(齐次方程解齐次方程解)：Ae-R/L t强制分量强制分量(特解特解)：Imsin(w w t+y y i)sin()()()cos()sin()sin(2m2mmmmtLIRItLItRItUiiiu Ri(t)u(t)L+-22mm2m2mm )()(LRUILIRIU2 )()()(dttdiLtRitu 解解:用相量法求：用相量法求：)arctgsin(2222RLtLRUiuw w w w ttiLtRitud)(d)()(w w jILIR

18、U)arctgsin(2222RLtLRUiuw w w w 22)(LR Rw w LRi(t)u(t)L+-取相量取相量LRUIw w j RLarctgLRUuw w 222RLarctgiuw w y yy y小结小结 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。N线性线性N线性线性w w1w w2非非线性线性w w

19、不适用不适用正弦波形图正弦波形图相量图相量图8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式VCR、KCL和和KVL一、电阻、电感和电容的一、电阻、电感和电容的VCR1.电阻电阻时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：iRiRIUII 相量模型相量模型)sin(2)(itIti 已已知知)sin(2)()(iRtRItRitu 则则uR(t)i(t)R+-有效值关系：有效值关系：UR=RI相位关系相位关系 u=i (u,i同相同相)R+-RU IUR u相量关系相量关系：IRUR UR=RI u=i瞬时功率：瞬时功率：iupRR 波形图及相量图：波形图及相量图：iw w tOuRpRRUI u=i

20、URI瞬时功率以瞬时功率以2w w交变。但始终大于零，交变。但始终大于零，表明电阻始终是吸收（消耗）功率。表明电阻始终是吸收（消耗）功率。)(sin22i2tIUR )(2cos1 itIUR 2.电感电感时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量形式：t d)t(i dL)t(u L 相量模型相量模型jw w L+-LU ILUI iILjULw w 有效值关系：有效值关系：U=w w L I相位关系：相位关系：u=i+90 (u 超前超前 i 90)1.相量关系：相量关系：w w=0时，相当于时，相当于短路短路功率：功率：)(2sin )cos()sin(miLiimLLL

21、tIUttIUiup 波形图：波形图：w w t iOuLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2w w交变，有正有负，交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。一周期内刚好互相抵消。3、电容电容时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：t d)t(udC)t(i C 相量模型相量模型有效值关系：有效值关系：IC=w w CU相位关系：相位关系：i=u+90 (i 超前超前 u 90)UCI uiC(t)u(t)C+-UC I+-Cj1ICjUCjUUCjIw w w w w w 11w w=0时，相当于时，相当于开路开路功率：功率：)(2sin )cos()sin(2 uCuuCCCtUIttUIuip 波

22、形图：波形图：w w t iCOupC2 瞬时功率以瞬时功率以2w w交变，有正有交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。负，一周期内刚好互相抵消。4、受控源受控源VCCSgu1+_u2i2+_u1i1时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：gui 12 12UgI VCCS+_+_1.I2.I2.U1.U1.Ug二、二、基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 0 0)(0 0)(UtuIti同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和和KVL可用相应可用相应的相量形式表示：的相量形式表示：由由KVL：.1j.j.ICILIRUUUUCLRw w w w CLRuuuu 其相量关系也成立其相量关系也成立LCRuuLuCi+-+-+-+-uR.Ijw w LR+-+-+-.ULU.CU.Cj1+例例1：列列KVL，一般一般设电流相量为参考相量设电流相量为参考相量AII.00 例例2：列：列KCL方程方程书上例书上例8-4，187页页列列KCL，一般一般设电压相量为参考相量设电压相量为参考相量VUUS.S00