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1、多元统计分析,党耀国 经济与管理学院 I,第三章 多元正态分布均值向量和 协差阵的检验,一、均值向量的检验 二、协差阵的检验,1、霍特林（Hotelling） 分布,由于这一统计量的分布首先由霍特林提出来的，故称为霍特林T2分布。值得指出的是，我国著名的统计学家许宝騄先生在1938年用不同的方法也导出T2分布的密度函数。,在一元统计中，若 来自总体 的样本，则统计量,其中,显然,与上面给出的T2统计量形式类似，且 ，可见T2分布是t分布的推广。,在一元统计中，若 分布，则 分布，即把t分布转化为F分布来处理，在多元统计分析中统计量也有类似的性质。,这个公式在后面检验中经常用到。,2、一个正态总
2、体均值向量的假设检验,这里需要对统计量的选取做一些解释，说明为什么统计量服从 分布。根据二次型分布定理，若,则,显然,而,故,在处理实际问题时，单一变量的检验和多变量的检验可以联合使用，多元的检验具有概括和全面的特点，而一元的检验容易发现各变量之间的关系和差异，能给人们提供更多的统计分析的信息。,例1：对某地区农村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得样本数据如表所示：,根据以往资料，该地区城市2周岁男婴的三个指标的均值为（90，58，16），假定总体服从正态分布，问该地区农村男婴与城市男婴在上述三个指标的均值有无显著性差异？显著性水平取0.01。,这是一个假设检验问题：,3、两个
3、正态总体均值向量的假设检验,当两个总体的协方差阵未知时，自然会想到用每个总体的样本协方差阵 和 去代替，而,又由于,所以有,以后假设统计量的选取和前面统计量的选取思路是一样的，只提出待检验的假设，然后给出统计量及其分布，为节省篇幅，就不再重复解释。,例3.2 为了研究日美两国在华投资企业对中国经营环境的评价是否存在差异，今从两国在华投资企业中各抽取10家，让其对中国的政治、经济、法律、文化等环境进行打分，其结果如表3.2和表3.3。（数据来源于国务院发展研究中心APEC在华投资企业情况调查）,表3.2 美国在华投资企业的打分,表3.3 日本在华投资企业的打分,解： 比较日美两国在华投资企业对中
4、国多方面经营环境的评价是否存在差异问题，就是两总体均值向量是否相等的检验问题。记日美两国在华投资企业对中国4个方面经营环境的评价可以看成是2个4元总体，因此可设两组样本分别来自于正态总体，分别记为：,且两组样本相互独立，有共同未知协方差阵,假设检验,构造统计量,经计算得,进一步计算得,对于给定的显著性水平 ，查F分布表，临界值,由于 ，则拒绝H0，即认为日美两国在华投资企业对中国经营环境的评价存在显著性差异。,(1) 单因素方差分析（复习）,Wilks（威尔克斯分布） 在一元统计分析中，方差是刻画随机变量分散程度的一个重要特征，而方差的概念在多变量情况下变为协差阵。如何用一个数量指标来反映协差
5、阵所体现的分散程度呢？有的用行列式，有的用迹等方法，目前用的最多的是行列式。,这里需要说明的是，在实际应用中经常把统计量化为T2统计量，进而再化为F统计量，利用F统计量来解决多元统计分析中有关检验问题。,（3）多元方差分析,类似一元方差分析办法，将诸平方和变成离差阵有：,例3.3 为了研究某种疾病，对一批人同时测量了4个指标： 脂蛋白（X1），甘油三酯（X2）， 脂蛋白（X3），前脂蛋白（X4）， 按不同年龄、不同性别分为三组（20至35岁女性、20至25岁男性和35至50岁男性），数据见表3.4表3.6，试问这三组的4项指标间有无显著性差异？（=0.01）,表3.4 20至35岁女性身体指标
6、化验数据,表3.5 20至25岁男性身体指标化验数据,表3.6 35至50岁男性身体指标化验数据,解： 比较3个组（k=3）的4项指标（p=4）间是否有显著性差异问题，就是多总体均值向量是否相等的检验问题。设第i组为4维总体 ，来自3个总体的样本容量 。,检验： ： 至少有一对不相等。,因统计量 ，可利用 统计量与F统计量的关系，取检验统计量为F统计量：,其中,由样本计算得：,，,，,进一步计算可得,计算F统计量的2个自由度为8和108。,对于给定的检验水平 ，查F分布表，得临界值 。由于样本值 ，则拒绝H0。 说明三个组的指标间有显著性的差异。 进一步若还想了解三个组间指标的差异究竟由哪几项
7、指标引起的，可以对4项指标逐项用一元方差分析方法进行检验，我们将发现三个组指标间只有第一项指标（X1）有显著性差异。,事实上，用一元方差分析检验第一项指标（X1）在三个组中是否有显著性差异时，因,对于给定的检验水平 ，查F分布表，得临界值 。由于样本值 ，说明第一项指标（X1）有显著性的差异。,例4 ：对例3中给出的3组身体指标化验数据，试判断这3个组的协方差阵是否相等？（ ）,解： 这是3个4维正态总体的协方差阵是否相等的检验问题。设第i组为4维总体 ，来自3个总体的样本容量 。,检验：,至少有一对不相等。,在 成立时，取近似检验统计量为,统计量：,由样本值计算3个总体的样本协方差阵：,，,
8、进一步可以计算出,则得,对于给定的检验水平 ，查,分布表，得临界值,。由于样本值,则接受H0。 说明这3个组的协方差阵之间没有显著性的差异。,3、多个正态总体均值向量和协差阵同时检验 设有k个p维正态总体分别为,每个,，且未知，,从k个正态总体中分别取ni(,）个独立样本如下：,第2个总体：, 第k个总体：,我们考虑假设检验：,且,第1个总体：,或,至少有一对不相等。,构造统计量,其中,记,在实际应用中，将统计量中的,改为,n-k改为n,，得到修正的统计量，记为,则统计量,在n很大，H0成立时，,统计量近似服从,其中：,给定检验水平 ，由样本值计算出 值，,若,，或,否则拒绝H0，否则接受H0。,例3.5 对例3.3中给出的3组身体指标化验数据，试判断这3个组的均值向量和协方差阵是否相等？（ ）,解： 这是3个4维正态总体的均值向量和协方差阵是否同时相等的检验问题。设第i组为4维总体 ，来自3个总体的样本容量,，,至少有一对不相等。,成立时，取近似检验统计量为 统计量：,由样本值计算3个总体的样本协方差阵及总离差阵T，进一步 可以计算出,则得,对于给定的检验水平 ，得临界值,由于,说明这3个组的均值向量和协方差阵之间有显著性的差异。,检验：,且,或,在,，则拒绝H0。,
多元正态分布均值向量和协差阵的检验
