《《高等数学》教学课件：5-4 定积分的换元法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》教学课件：5-4 定积分的换元法（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第二类换元法第二类换元法定理定理 设设)(tx 是单调的、可导的函数，并是单调的、可导的函数，并且且0)(t，又设，又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，则有换元公式则有换元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函数的反函数.第二类换元公式第二类换元公式定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在,上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；则则 有有dtttfdxxfba )()()(.一、换元公式一、换元公式 证明 由假设知，f(x)在区间a,b上是连续，因而是可积的；f(t)(t)在区间,(
2、或,)上也是连续的，因而是可积的 假设F(x)是f(x)的一个原函数，则F(b)F(a)dxxfba)(另一方面，因为F(t)F(t)(t)f(t)(t)，所以 F(t)是f(t)(t)的一个原函数，从而 F()F()F(b)F(a)dtttf)()(因此 dxxfba)(dtttf)()(应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）换元必换限换元必换限例例1 1 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x,0 t0 x,1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t.61,sin xdxdt 例例2 2 计算计算解解.sinsin053 dxxx
3、xxxf53sinsin)(23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 例例3 3 计算计算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex.6 例例4 4 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x,0 t,co
4、stdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 例例 5 5 当当)(xf在在,aa 上上连连续续，且且有有 )(xf为为偶偶函函数数，则则 aaadxxfdxxf0)(2)(；)(xf为为奇奇函函数数，则则 aadxxf0)(.证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为为偶偶函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdx
5、xfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为为奇奇函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0 奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积 证明 (1)20f(sin x)dx20f sin(2 t)d t20f(cos x)dx；f(sin x)dxtx202f sin(2 t)dt 例6 若f(x
6、)在0，1上连续，证明(1)20f(sin x)dx20f(cos x)dx；(2)0 x f(sin x)dx2 0 f(sin x)dx 证明 (2)0 x f(sin x)dx0(t)f sin(t)d t 0f(sin t)d t0t f(sin t)d t0f(sin x)d t0 x f(sin x)d x，所以 0 x f(sin x)dx2 0 f(sin x)dxx f(sin x)dxtx0tx0(t)f sin(t)d tt)f sin(t)d t0(t)f(sin t)d t 例 6 若 f(x)在0，1上连续，证明(1)20f(sin x)dx20f(cos x)dx
7、；(2)0 x f(sin x)dx2 0 f(sin x)dx 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 例求：20sin1 cosxxdxx 例 4 计算dxxx40122 2131(t 23)d t 21(3279)(313)322(t 23)d t 2131t 3313t21,0,1,4,3txxtxt解：令当当40221xdxx231122ttdtt()f xT,a0()()a TTaf x dxf x dx周期函数积分的性质周期函数积分的性质是以一个以则对任意常数有设简要证明00()
8、()aaf t dtf t dt 0()af Tt dt()a Tx T tTf x dx 00()()()()a TTa TaaTf x dxf x dxf x dxf x dx0()()a TTaf x dxf x dx故为周期的连续函数，几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法定积分的换元法dxxfba)(dtttf )()(二、小结二、小结思考题思考题指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的错错误误，并并写写出出正正确确的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332:t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansecta
9、nsec14332 dt 4332.12 思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.txsec,43,32 t,0tan t.tantan12ttx 正确解法是正确解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 一、一、填空题：填空题：1 1、3)3sin(dxx_；2 2、03)sin1(d_；3 3、2022dxx_ _；4 4、2121221)(arcsindxxx_；5、55242312sindxxxxx_.练练 习习 题题二、二、计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、203cossin d；2 2、312
10、21xxdx；3 3、14311xdx；4 4、223coscosdxxx；5 5、02cos1dxx；6 6、224cos4 dx；7 7、112322)11(dxxxxx；8 8、203,maxdxxx；9 9、20dxxx （为参数为参数）.三、三、设设 时，时，当当时，时，当当0,110,11)(xexxxfx求求 20)1(dxxf.四、设四、设 baxf,)(在在上连续，上连续，证明证明 babadxxbafdxxf)()(.五、五、证明：证明：1010)1()1(dxxxdxxxmnnm.六、证明：六、证明：aaadxxfxfdxxf0)()()(,并求并求 44sin1xdx.七、设七、设 1,0)(在在xf上连续，上连续，证明证明 2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.练习题答案练习题答案一、一、1 1、0 0；2 2、34 ；3 3、2；4 4、323；5 5、0 0.二、二、1 1、41；2 2、3322 ；3 3、2ln21；4 4、34；5 5、22；6 6、23；7 7、4；8 8、8；9 9、417；10 10、时时当当0 ,238；当当20 时时,32383 ；当当2 时时,238 .三、三、)1ln(11 e.六、六、2 2.
《高等数学》教学课件：5-4 定积分的换元法
